Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 13
Текст из файла (страница 13)
20. В точке касании А как раз достигаются критические условия стационарного истечения, 9з=у. Если вместо опыта, показанного на рис. 19, вынимать перегородку или пробку, закрывающую конец откачанной трубки (рис. 21), то во входном сечении лу Г' весьма быстро осуществится стационарное истечение (отрезок МА на рис. 20), дальше по трубке пойдет расширяющаяся волна разрежения (пунктнр рис.
20). Таким образом, в условиях опыта рис. 21 возможно достижение скорости истечения в вакуум еще большей, чем з опыте р уп рис. 19; в случае двухатомуг ф ного газа получим 5.5сс вме- сто 5с,. 2ус = Таким образом, относя- щиеся к опытам Кранца и Рис. 21. Схема опыта неставионар- Ша дина [441 расчеты попого итепаиип газа и вакуум. При запругленном входе возможно преем- следнего [84ут подлежат испрашсние скорости, достигаемой е опыте влению,так как в его опытах рис. 19.
входное отверстие было за- кругленным, как на рис. 21, тогда как расчет Шарднна, приводящий к предельному значению 5со, относится к условиям рис. 19. Впервые численное значение максимальной скорости истечения (5се) было найдено Ирншоу в 1860 г. [491. Спусти 17 лет, оно независимо было найдено Гюгонио в его известных мемуарах о распространении возмущения по жидкости [5бу. Гюгоиио указывает также на значение этого расчета для внутренней баллистики. Величина 2са(1 — 1) представляет собой, очевидно, максимальное значение скорости, которую может приобрести снаряд, выталкиваемый пороховыми газани, в том случае, если порох сгорает мгновенно и в начальный момент движения снаряда пороховые газы находятся в покое и скорость звука в покоящихся газах равна со [85).
Детальные расчеты движения снаряда в стволе орудия, расчет массы заряда, необходимой для создания заданной скорости снаряда при минимальной длине ствола, и учет не- идеальности продуктов горенив пороха были проделаны Ю. Б. Харитоном и автором. Любопытно, что максимальная скорость истечения в стационарном потоке значительно меньше: она не превышает — l 2 йО что в случае к=1.4 даст и =со'у'5=2.2сог вместо 5со вне . стационарном истечении.
В литературе встречаются ошибочные попытки отождествления максимальной скорости снаряда с величиной и' „, которая значительно меньше истинной (Лангвейлер [65]). При попытке найти в зависимости от хц режим, описывающий сжатие газа поршнем (тп ..и 0), мы сталкиваемся с непреодолимой трудностью: наше уравнение приводит Рис.
22. Не имеющае физвчесвого смысла распределение давления и скорости, полу чающееся пря решении уравяений без диссяяативных сил в случае сжатия газа яоршяем (ср. рис. 18). к режиму, з котором ряду значений координаты отвечают сразу три значения скорости и давления. Действительно, дп уравнения попрежнему дают —. ) 0; формально, следуя тем же путем, что и прн рассмотрении волны разрежения, мы приходим к распределению давления и скорости, изображенному на рис.
22. Очевидно, что такой режим физически неосуществим. Трудность, на которую мы наталкиваемся, явилась исходной точкой для построения теории ударной волны, к изложению которой мы теперь переходим. ф 70. Теория ударной ввлньх. Введехие В предыдущем наложении мы подчеркнули те случаи, когда классическая газовая динамика, оперирующая представлением о непрерывном распределении давления н польвующаяся дифференциальными уравнениями для описания явлений, зо не рассматривающая ни вязкости, нн теплопроводиостн, наталкивалась на те илн иные трудности. Напомним характер этих трудностей.
В параграфе о распространении звука мы выяснили, что звуковая волна в своем распространении должна деформироваться. „Гребни волн", т. е. те места, где вещество сжато н движется в направлении распространения волны, уходят 61 .вперед; наоборот, „впадины"> т. е. области разрежения, где скорость двяжения имеет направление, противоположное напразлению распространения звука, от холим в целом отстают, Таким образом, деформируясь, звуковая волна как бы захлестывает сама себя †явлен, аналогичное тому, которое наблюдается при набегании морских волн на пологий берег.
Как мы выяснили раньше, эта аналогия между газодинамнческими явлениями и явлениями в жидкости с свободной поверхностью носит весьма глубокий характер. В обоих случ>ях имеется тенденция к самопроизвольному увеличению градиентое, к самопроизвольному образованию разрывов при сжатии. В теории истечения в сопле Лаваля мы также выяснили невозможность, пользуясь одними уравнениями непрерывного потока с постоянной энтропией, описать ряд промежуточных режимов в ояределеяной большой области значений противо- давления. Наконец, особенно отчетливо эта ограниченность классической газовой динамики обрисовалась в последней разобранной нами задаче, именно в случае движения газа, вызванного внезапно начавшимся движением поршня.
В этом случае, если пор;пень движется в сторону газа> и>) О, дифференциальные уравнения газовой динамики приводят к бессмысленным трехзначным решениям, т. е. к таким решениям, когда в одном и том же месте одновременно должны быть три значения плотности, три значения температуры, три значения скорости. Все перечисленные случаи отчетливо показывают необходимость нахождения еще каких-то других видов решения газовой динамики, не вытекающих непосредственно изуравнений газовой динамики идеальных газов (здесь — идеальных в смысле отсутствия вязкости и теплопроводнасти). Можно ожидать, что для искомых режимов будет характерна большая величина градиентов, так что в известном приближе.нии их можно будет трактовать как распространение поверхностей разрыва скорости, давления, плотности — так называемых ударных волн.
Перед тем как изложить историю вопроса об ударных волнах, мы в элементарной форме выведем уравнения ударной волны, приблизительно так, как это сделано Гюгонио в его известных мемуарах еО распространении разрыва" ~56), заранее постулируя существование разрыва и не задаваясь вопросами его осуществления, устойчивости и т. п. 5 ЧШ. Адиабага Гюгонио. Вывод ее жв уравнений сохранения Рассмотрим распространяющуюся по газу ударную волну.
Здесь нас не интересует точная структура фронта ударной волны. Мы предполагаем только, что если на самом деле б2 и нет разрыва в строгом смысле слова (рис. 23а), то во всяком случае все изменение давления, плотности и т. п. происходит в очень узкой области (рис. 23 б). В элементарном выводе мы ограничимся рассмотрением состояния вещества до н после прохождения через него волны, применяя к этим состояниям уравнения сохранения. Прн этом мы предполагаем, что сама область волны А в В (рис. 23 б) не растет с течением времени, вследствие чего значения давления, плотности и других величин внутри самого „разрыва", растянутого на длину АВ, должны будут выпасть при составлении уравнений сохранения, поскольку волна перемещается, но количество вещества, количество энергии, количество движения, заключенные в волне между плоскостями А и В, малы, и изменением нх во всяком случае можно пренебречь.
Для простоты перейдем к системе координат, движущейся Ю вместе с ударной волной, иными словами, будем рассматривать рно 2З. Илевлввнровеннся (а) к покоящуюся волну, в кото- истинная (о) структура ударной рую, с одной стороны, через волки. плоскость А втекает вещество в состоянии, обозначаемом индексом 1, а с другой стороны, справа вытекает вещество„ все величины для которого отметим индексом 2. Для принятых контрольных поверхностей составим уравнения сохранения. Мы примем при этом, что вещество движется нормально к поверхности волны,' Скорость и, — скорость, с которой вещество втекает в покоящуюся ударную волну, — совпадает, очевидно, со скоростью распространения волны относительно несжатого исходного вещества, которую часто обозначают лг.
Скорость и, есть скорость движения волны относительно сжатого в волне вещества. Накипев, разность и,— иг, не зависящая от выбора движущейся нли покоящейся системы кординат, равна изменению скорости движения газа при прохождеяин волны; е частности, в системе, в которой исходное вещество (нидекс 1) покоится, величина скорости после прохождения волны (%11-1 а) 1 и ) ит ил\ ит 0 ~ ~и Г Скоросте двнженяя, твнгенцнвльвого к поверкнастям А н В, должна еолрвняться нрн нрохожденяя веществе черев волну, квк но велнчяяг, тек к ко явнрввленяю. Следовстельяо, твнгенцнельяое двнженке может быть колкостью вск*ючеяо кв рессмотренкв соответствующим вмоором равномерно дввжущейся снстемм коордняст.
63 Приравнивая количество втекающего в единицу времени вещества количеству вытекающего, получим первое уравнение: (71П-1) р, и,=о,и,. Далее составим для объема, заключенного между А и В, выражение 11 закона движения Ньютона, приравнивая изменение количества движения в единицу времени импульсу сил давления. Втекающее в единицу времени количество вещества дг и, обладает скоростью и„так что втекающее в единицу времени количество движения равно о, и,'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
