Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 11
Текст из файла (страница 11)
На рис. 15 представлены кри- М Рис. 15. Зависимость расхода (М) от противодавлевия (р) для труб равной длины пря данном давлении на входе (рс). Верхняя кривая — для короткого сопла, ввмння — для самой длинной трубы. Прямая отдаляет слева область критического истечения со екороствю, резней скорости звука на выходе; пря макетом критического протяводавленни М яе вавнснт от р. вые зависимости количества М газа, вытекающего в единицу времени, от давления в конце труби р при заданном давлении рс в резервуаре, из которого происходит истечение. Различные кривые относятся к трубам различной длины. Верхняя кривая относится к случаю короткого сопла, рассмотренного в начале В )П. Чем длиннее труба, тем меньше протекающее через нее (прн данной разности давлений) колкче"тво гаев.
Во всех случаях понижение давления ниже некоторого критического значения яе вызывает больше увеличения расхода газа. Однако это критическое давление само тем меньше, чем длиннее труба. При критическом истечении на выходе нз трубы во всех случаях скорость равна скорости звука; отношение температуры газа к начальной его температуре в резервуаре н соотношение между скоростью гана и скоростью звука в исходном газе в резервуаре также неизменны, независимо от длины трубы. Однако в зависимости от длины трубы меняется плотность истекающего газа, которая при данной его температуре прочорционаллна давлению.
Таким образом, критические точки для различных труб на рис. о соединяются между собой прямой, выходящей из начала координат. Согласно Стодоле, при обычном значении коэффициента сопротивления техническях труб критическое (максимальное) М при переходе от короткого сопла к трубе, длиной 360 диаметров, падает в 2 раза, при 1000 диаметрах — в 3 раза, при 5000 диаметрах в в б раз.
Как бы мы ни уменьшали давление на выходе ив цилиндрической трубы, мы не сможем осуществить сверхзвуковую скорость в трубе. Для того чтобы осуществить ее, необходимо, чтобы гаэ входил в трубу, уже обладая сверхзвуковой скоростью. На У вЂ” В-диаграмме рис. 14 процесс входа газа в трубу через короткое соединительное сопло АВ' (рис. 1ба) иэ резервуара описывается вовсе не линией Фанно, а адиабатой, вертикально опускающейся из точки М (рис. 14), описывающей начальное состояние вещества.
При про- В стон суживающемся сопле со- б стояние вещества на входе в трубу изображается какой-либо Рне. 16. Соединение трубы е точкой на отрезке ЛУВ, напри- еужающнмон еонлом (а) и е еонмер Р или Рю Состояние веще- лом Л валя(б), Только ео в остэа иа выходе из тру ы опреде ам случае можно иолтчнть ляется заданным противодавлением р; изображающая точка должна лежать на изобаре ЕЕ,. Выбор той линни Фаине, по которой мы перейдем с адиабаты Л)В на изобару, н соответствующей величины расхода газа при данных ро и р, зависит от длины трубы, зависит от того, чему равен рост энтропии вдоль трубы.
При увеличении длины трубы мы перейдем от режима ФУ~Ел к режиму ИГЕ, — расход уменьшится. Если противодавлеиие на выходе трубы меньше критического, осуществится критическое истеченде, режим, описываемый отрезками Л1Р; Е, Р нли ИГЕТ, — в зависимости от длины трубы — с последующим расширением газа, ср. Б Ш, рис. 9. Помещая у входа в трубу сопло Лаваля (рис.
1бб), мы осуществим иа входе в трубу сверхзвуковую скорость, осу- ~ Буквы АВ рне. 1ба, б не имеют отношение н точкам А и В рне. 14. 4* 51 ществим состояние, изображающееся точкой на отрезке В1:Г рис. 14, например Ь. При получении сверхзвукового потока з сопле Лаваля устанавливается режим истечения с вполне определенным расходом М (см. ф 111); положение точки Ь на отрезке Вл1 вполне определяется конструктивными данными — сечением сопла в наиболее узком месте и сечением трубы. Далее, вдоль трубы происходит движение от точки В вправо по линии Фанио. Йезависимость режима истечения от противо- давления р вполне естественна для сверхзвукового потока. Сверхзвуковой режим, осуществляемый в схеме рис.
1б5; требует достаточно низкого противодавления. Однако в длианой трубе возможно, что рост энтропии вдоль линии И~И упрется в к итическую точку Р. аким образом, в случае длинной трубы со значительным сопротивлением, снабжеиней соплом Лаваля на входе, мы не получим сверхзвуковой скорости на выходе из трубы, как бы мало ни было противодавление. Детальное рассмотрение возникающего режима истечения показывает, что в трубе или в сопле возникает так называемый скачок уплотнения — ударная волна, теория которой будет изложена ниже. Разбор различных режимов течения в трубе при наличии скачков уплотнения аналогичен теории сопла Лаваля(см.
$ Х1Х). Мы можем здесь только сослаться на работу Буземаниа~4Ц. Подробная библиогра~рия, доведенная до 1938 г„ дана у Франкля, Христиано- вича и Алексеевой 1271. ф Ч1. Движения, зависящие ет етиеьхеиии иеерджиат мо времени Уже во Введении мы говорили о том, что в газовой динамике основной константой движущегося вещества является некая скорость — скорость распространения возмущений, скорость звука.
Если отвлечься от диссииатнвиых процессов, вещество не имеет ни характеристической длины, ни характеристического времени. Из молекулярно-кинетической теории газов следует, что при введении диссипативных величин, таких, как вязкость или теплопроводиость, в комбинации с характеристическим значением скорости звука, мы получим в качестве характеристических значений длнны и времеви длину свободного пробега молекул и время свободного пробега, т.
е. длину и время чрезвычайно малые. Отсюда следует, что если нас не интересуют микропроцессы, протекающие на расстоянии и за времена порядка длины и времени свободного пробега молекул, если, далее, мы зададимся начальными и граничными условиями движения, не содержащими ни характеристической длины, ин характеристического 52 времени, то мы придем к особому, весьма важному классу движений. Поскольку в уравнениях движения н в начальных и в граничных условяях мы имеем только характеристические значения скорости, но не длины иля времени, сами независимые переменные — координата и время — смогут войти в решение уравнений лишь в комбинации размерности скорости х/б Иными словами, мы ожидаем решений, которые будут меняться, оставаясь подобными самим себе (автомодельными).
С ростом времени, отсчитываемого от момента начала движения, сам характер движения меняться не будет, а будут лишь пропорционально времени увеличиваться масштаб и размер области, охваченной движением. В соответствии с этим мы ожидаем, что все величины будут завнсегь от одной лишь комбинации переменных х/1, и сможем от рассмотрения дифференциальных уравнений в частных производных для функций .двух переменных †координа и времени — перейти к обыкновенным дифференциальным уравнениям в случае движения вдоль одной координаты.' Напишем эти уравнения; обозначим $=х/1 и составим сразу формулы преобразования к новой переменной: д 1 а> дх г >>к >т' д »г дг — > и д х» бг гт а'д (Ч1-1) д 1 дх à —.=-(и — 0— »Е / =/(х, г) =/(- -) =/(ф), (и-» то мы элементарно получим следующие формулы: ду 1 >(г", дУ с >1(»г и —,"- »У — — — — — — — — — — (Ч1-3) дх г о>4> дг г гх> Гг Преобразуя с помощью этих формул наши основныз урав- Такой прием упрощении уравнений мм ветреклем у Влаоовя(3).
Ок попользовав такие Щелкиимм и автором(9). 53 д Как это принято в гидродинамике> — есть знак локальной (в данном месте) производной по времени, — — субстанциальиая (т. е. для данного, движущегося со скоростью и объема) производная. Если некоторая интересующая нас величина 1 есть функция от новой переменной $, т. е. пения (ч 1), мы получим уравнение сохранения вещества и урав- нение движения в следующем виде: д <~о ди д — -»(и — ь) == — о ~й ,й - Ж~ др Ыи др дз ~е с1е (Ч1-4) с6~ ~й (Ч1-5) е р т~Е Ф ~ф ~ц (Ч1-6) н отсюда далее (Ч1-7) Последнее уразненке дает возможность построить два вида решеншп первый вид — совершенно тривиальный, р=сопз1— 54 Как и следовало ожидать, сами величины х и ~ удается полностью исключить из уравнений.
Построенные уравнения могут быть удовлетворены в сделанном нами предположении, что все величины и, р, д суть функции только комбинации $=л7», но не х и 8 в отдельности. Покажем теперь пример начальных и граничных условий не содержащгх также величин х, ~ в отдельности. Представим себе бесконечную плоскость, которая начинает двигаться в момент г= О с равномерной скоростью ш, так что координата плоскости х„=ти~, †"= то, где ш(0 (что означает движение плоскости влево).
Рассматриваемый газ находится справа от плоскости н расширяется при ее движении (см. рис. 18). Будем искать решение наших уравнений, полагая до момента г= 0 весь газ покоящимся и имеющим одинаковые постоянные значения плотности и давления. После начала.движения поршня при ~)0 мы налагаем условие, чтобы частицы газа, прилегающие к поршню, двигались со скоростью поршня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
