Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Разность количества движения вытекающей жидкости рг и,' и количества движения втекающей жидкости (т. е. приращение количества движения) должна равняться импульсу сил давлевия, который составляет, также на единицу поверхности, р,— р. Так мы получаем второе уравнение сохранеиияг + рг иг =рг + ц иг. г г (г1Ш-2) Наконец, составим уравнение сохранения энергии. В нем мы должнм будем учесть три пары величин: внутреннюю энергию втекающего и вытекающего вещества, кинетическую энергию того и другого и работу, производимую силами давления на контрольные поверхности А и В. Окончательно, количество втекающей энергии вместе с работой, производимой силамн давления на поверхности А, равно р, и, (Е, -+- — г -г- р, и, = тг и,г Е, .+- — -г- — 1 = ~1-'~ рг вггг Рг = о, и, (1г -+. ~ — ') (УШ-За) Это выражение мм должны приравнять такому же выражению с индексом 2, которое даст иам количество энергии, уносимой вмтекающим веществом в единицу времени, и работу, производимую газом против сил давления на контрольной поверхности В.
Сокращая полученное уравнение на величину рг и, = 0г и„т. е. относя все величины ие к единице поверхности ударной волны и единице времена, как это мы делали раньше, а к единице массм протекающего вещества, мы получим третье основное уравнение в следующем виде: ~с~ 1 и~~ 2 -' 2 (г1И1-3) Здесь мы снова ввели энтальпию 1= Е-г- ро = — Е-+- ~ ° о Все уравнения симметричны относительно перестановки индексов 1 и 2.
Из трех уравнений нетрудно исключить две скорости и, н и, с тем, чтобы получить связь между велнчне4 нами давления и плотности до и после волны, так называемое уравнение аднабаты Гюгонио. Из первых двух уравнений„ не привлекая уравнения сохранения энергии, найдем: 02 . пг Р1 ' 2 02Р2 Р1. г Р> Р> Рг, 01 Рг — О1 Рг 01 Рг ц 2 г (Р> -+- 02)(Р> — Рг) 01 02 (Ч1П-4) Подставляя эти выражения в последнее уравнение> получим искомое уравнение адиабаты Гюгонно: 1 >г 2 (О1 + Ог) (Р1 Рг)> (ЧШ 5) или мы получим посредством простых преобразований закон связи плотности и давления для вещества, проходящего через разрыв, уравнение адиабаты Гюгонно: (х + 1)рг +" % 1)р>, Р> (й + 1)02 (л 1)01 (Чц( 7 >О> Ж вЂ” 1)рг- (й~-1)рг' Р1 (Ф-~1)Р1 — (й — 1)Р2' Уравнения приобретают более простой вид, если повсюду, вместо плотности, ввести обратную величину удельного объема: 2 2 Р> Рг .
1 2 — 2 , г огра Р>. и> О1 1'г ег' (ЧП!-8) пг =(™1 + ог)(Р2 Ргвв 1 11 12= 2 (о1 + ог)(Р1 Рг)1 1 Ег = о ("г ~1)(Р1 Рг)) (ЧШ-9) — — (ЧШ-1 ) (й- 1)Р>- (й — 1)Р1) Р1 (й- 1) "2-(й-1) 1 1 Поотояииое слагаемое, которое появится в Д если теплоемкоетв киме Т1, отлиааетея от теплоемкоети в иегервале от Тг до Т1, входящей 5 я. Б. звлвлвввв 65 Е,— Е,= —,, '- (о,— Ог)(Р> -Р>).
(ЧШ-б) ~1 Р2 Для того чтобы отсюда получить в явном виде связь плотности и давленая после сжатия в волне, необходимо выразить витальпию или энергию через давление и плотность. Для идеального газа, теплоемкость которого мы считаем постоянной в интересующем нас интервале температуры между Т, и Т„ о Ср й р )'= с„Т= — Р Т= —,со=в к — 1 Р Может быть, логически более простым является другой, >Ьизически совершенно эквивалентный предыдущему, вывод уравнения адиабаты Гюгонио, в котором мы непосредственно исходим из рассмотренной ранее задачи о движении поршня в газе. В етом случае нам не придется оперировать понятиями потока энергии и потока количества движения, что может представить некоторые преимущества для неискушенного читателя.
Рассмотрим трубку поперечным сечением в 1 смт, закрытую поршнем в начале координат. В момент времени г= 0 начнем двигать поршень с постоянной скоростью и> и будем искать режим движения, изображенный на рнс. 24, при котором впереди поршня с постоянной скоростью лл распространяется разрыв всех величин — плотности, скорости, давления. Справа, впереди разрыва, вещество совершен>> но не возмущено, сохраняет свое начальное давление рм к> начальную плотность (>, и неподвижно. В промежутке между поршнем и разры- А ,уу 4 ж вом вещество имеет какие-то другие, постоянные на всем Рие.
24. Раопределение давлении протяжении между поршнем в проетрапетве при движении и разрывОм значения плот- ударной полны, вывванной сжатием ности д н давления газа пор>пнем. движется со скоростью, равной скорости поршня и=п>. Рассмотрим состояние, которое получится при таком режиме через время б За это время разрыв уйдет на расстояние Х)г. Количество вещества, которое подверглось сжатию за это время, равно Р,л>т.
Мы должны приравнять его количеству веЩества, котоРое мы найдем в сжатом до плотности Рв газе между поршнем, продвинувшимся на расстояние и8, и разрывом: о, йг=ре(л1 — и) г. (ЧП1-11) Указанное количество вещества приобрело скорость, равную скорости движения поршня. Общее количество движения, приобретенное газом, заключенным в трубке, за время 8 составляет 0,1)иб Мы должны приравнять приращение количества движения импульсу сил давления, т. е. произведению силы> равной разности давления, оказываемого поршнем, и противостоящего ему давления невозмущенного газа, на время действия силы: (Ч!П-12) а Формулы, может быте уотраиено соответству>ожив выбором точен от>чета энергии. По вевиом случае, поетаявное слагаемое выпадает ив уравнения вида (Чй>-5) и (Ч!й-б). 66 Наконец, приращение анергии вещества при сжатии мы приравниваем работе, производимой поршнем, т.
е. работе, которую произвела внешняя сила, перемещающая поршень, за время 1. Численно сила для площади поршня в 1 смз равна рм пройденный поршнем путь равен ий работа равна р,,ий Так мы получим последнее уравнение — уравнение знергин: и> Ъ,Р1 (Е>.+- 2 — Е ~=Р>пс (Ч111-13) Очевидно, что зги уравнения совершенно тождественны ряду уравнений, которые мы вывели раньше> и получатся из них при переходе к системе координат, равномерно движущейся относительно системы, выбранной сейчас. При этом скорость распространения разрыва Р у нас ранее обозначалась и„ так что теперь Р=и„ а скорость движения поршня и= и, — и„. Мы представляем читателю доказательство того, что последние три уравнения (ЧШ-11, Ч1П-12, Ч1П-13) приводят к такому же выражению адиабаты Гюгонио (ЧП1-5, Ч111-6).
ф 1Х. Свойства адиабаты Гюгонно. Ударные волны в воздухе и в воде Выведенное выше уравнение адиабаты Гюгонио обладает рядом чрезвычайно интересных особенностей. Прежде всего, нетрудно видеть, что прн беспредельном повышении давления сжатия р, плотность идеального газа постоянной тепло- емкости ие будет расти беспредельно, а стремится к опреlн- 1 деленному пределу, равному р> = — — рг Для двухатомных газов с невозбужденнымн колебаниями внутри молекулы с„= 5 кал>>моль ° град; с = 7 пал~моль град; >г= 1.4 и предельное значение плотностй не превышает начальной плотности, умноженной на б.
Для одноатомного газа предельное объемное сжатие равно 4. Таким образом, мы вадим, что по крайней мере при сильных сжатиях, т. е. при больших давлениях сжатия, плотность растет сравнительно медленно, чему отвечает медленное падение объема и соответственно быстрый рост произведения ре, определяющего температуру газа. Численные расчеты вполне подтверждают этот вывод о быстром росте температуры газа с ростом давления сжатия в ударной волне.
Приводим составленные О. И. Лейпунским графики (рис. 25 и 26), дающие, з зависимости от отношения давлений р>/р„ все интересукнцие нас величины: плотность после сжатия, все скорости и„им и,— и, и скорость звука в сжатом газе, 67 причем все скорости отнесены к скорости звука в исходном невозмущенном газе. Темгературу сжатого газа легко найдем по кРивой скоРости звУка Тг)Тг=(а~с,)в. Расчеттд пРоведены в предположении постоянной, не зависящей от температу- ры, теплоемкости с,=5 Р. пал~моль ° град, с„= 7 кал~моль ° град. У Бек- с," кера [381 мы находим д таблицу состояния возсг духа, сжатого ударной волной. Расчет Беккера проведен в предположении линейной зависимости теплоемкостн от температуры; средняя тепло- емкость в интервале от 273о до Т выражена формулой смтп-.у = 4.78 '+ -+- 0.45 ° 10 " Т.
(1Х-1) Поверочные расчеты показывают, что в интервале от комнатной температуры до 3000о К с эта простая формула .Л с точностью до Зе/с совРие. 25. Зсвисимоств скорости респросгрвиеиии волны Р, скорости двимейкп значением спетого вещества и и скорости волны теплоемкости воздуха, относительно спетого веществе Р— п от рассчитанным на осноемплитуды дввлеиив в ударной волне ва ванин спектроскопнчев двухетомпом гсве с посговиной теклаемкастью. скнх данных.
В таблице Беккер приводит для сравнения температуру, достигаемую при адиабатическом сжатии (вдоль адиабаты Пуассона, при постоянной энтропии) до того же давления. Как видно из таблицы, сжатие ударной волной приводит при равном повышении давления к значительно более высокой температуре сжатия. Непосредственный расчет для идеального газа с постоянной теплоемкостью показывает, что при сжатии в ударной волне, т. е. если рв)дй р,)рй п,<.е,; и,)0; и,)0, имеют место следующие соотношения: и,)сц и,(св! Юв)5г (1Х-2) бо В волне разрежения, если бы она распространялась в виде разрыва, в идеальном газе и,)0; их)01 17в(0т1 рх(рт1 ов) и, соотношения были бы обратными: ит (сб ив) ст1 51 (Ув. (1Х-3) При отсутствии отбора тепла наружу падение энтропии невозможно, откуда следует невозможность распространения волны разрежения в виде 0 разрыва (так называемая рт теорема Цемплена 199, 551).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
