Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Благодаря втой связи оказывается возможным в общем виде получить соотношение между выделением н отводом тепла в пограничном слое. Произведенный Польгаузеном расчет(741 показывает, в согласии с опытом, что тангенцнально расположенная пластинка также примет в газе температуру, весьма близкую к температуре покоя (ср.
также [б, 311). От 10,) до 85е)о кинетической энергии перейдет в тепловую энергию газа в пограничном слое вблизи пластинки. Соответственно температура пластинки будет колебаться между температурой покоя и 0.85 температуры покоя плюс 0.15 истинной температуры газа (Ю-3) Т „.„> Т„л. ) 0,85Т„...„-+-0.15 Т„.„. Для того чтобы измерить истинную температуру газа, движущегося со звуковой илн близкой к звуковой скоростью, необходимо прибегнуть к способу, в котором термометр двигался бы вместе с газом с той же скоростью. Практически удобным способом является развитая в последнее время методика измерения температуры по явлению обращения спектральных линий.
Однако зта методика применима лишь при сравнительно высоких температурах, ио всяком случае выше 1000" С. т Как мы увидим в й ХЧй, при наличии ударной волны давление полностью не воеетаиавЛиваетея; однако температура попрежнему палиоетью воеетаиааливавтев до величиим „температуры покоя" при торможении.
т Мм рассматриваем теплообмен плаетиики только е газом. Отвод тепла внутрь плаетиики илн излучение е повертноети плаетинкн понижают температуру по еркиоетн (еж Кисель (И))). Вопрос о температуре, которую принимает поверхность, обтекаемая движущимся с большой скоростью газом, имеет большое техническое значение, ибо развитие газовых турбин и их к. и.д.
определяются в настоящее время именно максимальными температурами, которые способны выдерживать лопатки газовой турбины. Как мы видим, недопустимо приравнивать температуру лопаток к температуре газа. Температура лопаток всегда будет несколько больше за счет кинетической энергии движущегося газа. й т'. Течение газа в длинной цилиндрической трубе Рассмотрим движение газа по длинной цилиндрической трубе, теплоизолированной снаружи. Мы ввели теплоизоляци|о для того, чтобы иметь возможность счигать полную энергию потока постоянной во всех сечениях.
Однако в противоположность тому, что мы делали прн рассмотрении сопла Лаваля, коротких сопел и насадок, мы здесь не будем больше пренебрегать трением газа о стенки> т. е. сопротивлением движению потока. Совместное действие выделения тепла> трения вблизи стенок и теплообмена между стенками и газом приведет к тому, что температура стенок не будет отличаться от начальной температуры газа в резервуаре, из которого он истекает (см.
предыдущий параграф), а следовательно, в том частном случае, когда газ в резервуаре находится при комнатной температуре, теплоиэоляция в действительности не понадобится. Вводя гидравлическое сопротивление движению потока, т. е. вводя необратимые процессы внутреннего трения, мы ие можем больше считать энтропвю потока постоянной, в силу чего наши результаты и методы будут несколько отличаться от результатов и методов рассмотрения й Ш. Составим уравнения рассматриваемого движения, считая сечение трубы постоянным.
Из постоянства полного расхода газа в любом сечении трубы мы получим первое уравнение: ди = — Лт = сопз$. (ч- ) Также постоянным является полный поток энергии (плюс работа сил давления), отнесенный к единице сечения трубы: си" рп-+. оиЕ-+- = = сопМ. 2 (Ч-2) Но так как постоянно и само количество протекающего вещества, то, разделив второе уравнение на первое, мы получим постоянство суммы энтальпии > и кинетической энергии единицы массы в потоке: У->- — = сопз$ = У„, 2 (Ч-3) Здесь, так же как н раньше, мы обозначили через 1, эн- тальпию газа до входа н трубу, т.
е. в резервуаре, таы, где скорость движения газа весьма мала. Замечательно, что из двух УР ""Р УР " " Р нения вещества и уравнения р, у р сохранения энергии — мы можем исключить скорость и по- 1'-рх.тр лучить, таким образом, опреде- тпнт 'ю7 "ю;": тру ж:. рнзующими состояние газа Рис. 13. Влсиентьриый внликдр, величинами (давлением и объе вырееенный в длинной трубе. не не зависит от механизма и ве не боковой поверхности действуют личины трения 1У51Р 89т1. Гра- силы трения о стенки трубы. бУически эта связь изображается кривыми в плоскости р, о нли кривыми в плоскости 1, 5, так называемыми линиями Фанно (рис.
14). От сопротивления трубы, ,7,7 у,-. РРР т. е. от' величины днссипатйвр,~.: а ных сил, будет'зависеть лишь " ус скорость движения по линии Финно точить нзобража)оп)ей 1 р ь~- состояние вещества. .-"Е ассмотрим влемент длн- 1 у ны трубы У$х (рнс. 13) и ,у т 7' выясним, как меняется на протяжении р(х скорость и ь' ьб давление газа вследствие дей- ствия сопротивления. Об1 щее количество вещества, протекающее в единицу вре! жени через сечение трубы, Р =нт= Количество движения, Рис. 14. Линии Феууууо в коордн переносимое потоком в единетак еитропин — теплосодернк- ницу времени, Мг и= оп г. ние (о, у'). Вдоль втик линий ие- Согласно второму закону няетсв состояние тквк при точении его по трубе постовниото сечении в отсутствии теолообиеик, но честна движения при г.рохопри нклноин сопротивлении.
Не- ждении расстояния Лх мекодятси ив условвй сокреиения по- жду двумя Контрсльиыми тока вещества н потока висртни плоскостязди у н 2 равно в трубе импульсу сил давления, действующих нормально контрольным плоскостям у и 2, и силы сопротивления (трения) Ф, действующей на боковую поверхность 3 цилиндра, вырезанного плоскостями у и 2 в трубе: МР" (ит — и,) = (р, — р,) Г-+- рксИх Ф.
(Ч-4) 47 Вводя коэффициент сопротивления обычным способом, принятым в гидродинамике несжимаемой жидкости, напишем для круглой цилиндрической трубы диаметра х( силу сопротивления Ф на единицу боковой поверхности: Ф= — Ь"рп~ и ~)8. Найдем из (Ч вЂ” 4), переходя к бесконечно малым и к единице се ченяя, уравнение количества движения, в которое войдет сопротивление трубы. В противоположность первым двум мы не можем написать его сразу в интегральной форме. Дифференциальное уравнение имеет вид: д(аиии-р) Ы(Л1и-гр); Ои (и ( ии) Н иЫи иЫр ТЙБ идти 1 Ыр ТИЮ и а~и э Ж Ых Б = — — -+- — -+- — = О. (Ч-7) Подставляя определенное законом сохранения вещества (Ч-1) значение скорости, выраженное через постоянную по всей трубе величину М, получим для энтропии следующее уравнение: (Ч-8) Самый вид последнего члена, несколько отличающийся от обычного написания, связан с тем, что знак силы сопротивления зависит от знака скорости.
Сила сопротивления всегда направлена против направления скорости движения газа что р 2 теряется при обычном написании -р =ьоп')2Н, или Ф=~ди')8. В плоскости 1, 5 линии Фанно, отвечающие различным значениям расхода М (см. ф-лу Ч-1), имеют внд, иаображенный на рис. 14. Для идеального газа энтальпня 1с точностью до множителя совпадает с температурой.
! — 5-диаграмма отличается от Т вЂ” 5-диаграммы только масштабом. Величина М постоянна вдоль каждой линия и является параметром, меняющимся от одной линии Фанно к другой, уменьшаясь слева направо, так как при данной температуре с ростом энтропии падает плотность. Выясним, как дзижетс» точка, изображающая состояние газа, вдоль линии Фанно под действием сопротивления по мере движения газа по трубе. С помощью известного термодинамического выражения дифференциала внтальпии, напишем уравнение сохранения энергии в дифференциальной форме: Используя уравнение (Ч-б), найдем окончательно: ТЙБ== ) п~ и с(х. 2Н (Ч-9) Из уравнения неразрывности (Ч-1) следует: Ыи Ир — -+- — = О; и р 1р с~и= — и = ° Р (Ч-11) 49 4 я.з.э ° Если знак с~я совпадает со знаком скорости движения потока и, т.
е. если мы следуем, меняя х в направлении движения жидкости, приращение энтропии всегда положительно, так как положительно произведение пс(х. Движение вещества при наличии трения сопровождаетсЩ превращением механической энергии в тепловую; в тепло- изолированной трубе при отсутствии отбора тепла этот процесс сопровождается ростом энтропии текущего по трубе вещества. Правая часть (Ч-9) представляет ие что иное, как работу, совершаемую силамн сопротивления на элементе длины с(х, отнесенную к единице массы протекающей жидкости. При атом выше максимума энтропии, на отрезке АВ линии Фанно (в дозвуковой области, как мы сейчас увидим), движение сопровождается падением давления также, как в несжимаемой жидкости, как видно нз сопоставления наклона линии Фанно и линий р= сопя! в правой части рис.
14. Напротив, ниже точек В, Р, Т при сверхзвуковом течении сопротивление вызывает рост давления вдоль потока; сила сопротивления и рост давления преодолеваются потоком за счет динамического напора, за счет падения скорости, связанного с ростом плотности и со сжатием газа при повышении давления. Соответственно в дозвуковом потоке в направлении движения и растет, а 1 падает. В сверхзвуковом потоке и падает, а У растет. Покажем, что в точке В максимума эятропии скорость движения равна скорости звука Это легко показать на рис.
14, если провести в точке В вертикальную касательную. Мы замечаем, что в точке В, где В=шах(шпш при йт=сопз! (движение вдоль линии Фанно), имеет место также М=шах(шпш прн Я=сопз1 (движение вдоль касательной). Что последнее условие приводит к равенству скорости движения н скорости звука, было показано в ф Ш (формулы !П-12 — П!-5). Впрочем, доказательство нетрудно провести непосредственно: вблизи точки В, очевидно, В уравнении (Ч- г)г переходя от дифференцирования по коор- динате х к дифференцированию по плотности й, получим в точке касания: 1" Ыр ЫХ йю 1 1 — —, — -+- Т вЂ” -+- и — -э — сх — — ит = О р 'г(р яр ~)р р о па=с', (Ч-12) что и требовалось доказать. Нам нетрудно теперь построить физическую картину движения газа по длинным трубам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
