Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 7
Текст из файла (страница 7)
будем пренебрегать составляющими скорости, направленными перпендикулярно оси трубы, я будем считать все величины (плотность, скорость, давление) зависящими лишь от расстояния, отсчитываемого вдоль трубы, но одинаковыми в любом нормальном сечении трубы и не зависящими от времени. Напишем для всего потока уравнение сохранения количества вещества, которое приводит в интересующем нар)> случае стационарного истечения к простому условию> чтобы через любое сечение трубы в единицу времени протекало одно и то же количество вещества. Обозначая площадь сечения через г'', мы получим уравнение сохранения вещества в виде: (Ш-1) риг = сопят. Таким же образом мы напишем уравнение сохранения энергии, выражающее постоянство суммы потока энергии, вытекающего через некоторое сечение, и работы сил давления в этом сечения для любого сечения: ( ) на 1 Е-б- — ) ЭиГ-б- риР= сопя(.
2у' (Ш-2) У Наняло процесса — ивменение формм волны б — восприяимается как изменение спектралвиого состава внука, как появление обертонов (в нем моюю убедиться, ранлагая кривую б в ряд Фуроа) н нвменение тембра прн распространении звука на большое расстоянве (см. Туран, Дмеинвнс и Нейлв и др. (94, 52, 53), а такие подробную статью Эйксивалвда (34)).
гиваться (6).' Формулы акустики второго приближения при- водят с течением времени к бессмысленной форме волны (в), при которой в одной точке одновременно имеют место три значения плотности и давления. Заключенное в скобки вмраженне представляет энергию единицы массы, весь первый член — энергию единицы массы, помноженную на количество вещества, протекающее в единицу времени через все сечение трубы. Второй член представляет собой работу сил давления в этом сечении в единицу времени.
Второе уравнение мы преобразуем с помощью первого к следующему виду: ит 1 +- — = сонат,т 2 (И1-3) где ! есть так называемая энтальпия, !=Е-+-ро, (Ш-4) З=сопз1= уо. (Ш-6) Вспомним термодинамическое выражение Ч= тгз — ар. (Ш-7) При постоянной внтропии У вЂ” то= ) ос(р=) ~ > Ре Ре что в соединении с (1П-5) дает скорость движения У к (Ш-8) (Ш-9) т Ср.
Ландау н Лнержнп 1151, отр. 41-43, ф 13 „Стационарный нотоа". 3 я. Б. Зе ьдеь о одна из основных термодинамнческих функций. Для вывода (!И-3) достаточно (И1-2) разделить на (И!-1). Задавшись аднабатическнм законом изменения состояния вещества в потоке, из приведенных двух уравнений мы сможем найти, как распределяются скорость и плотность вдоль трубы. Для определения входящей в уравнение (Ш-3) константы выпишем ее значение для входа в трубу, т. е. для того места, где сечение Г весьма велико и где соответственно скорость движения и можно считать очень малой.
Величины в этом сечении будем обозначать индексом О: о, ит (И!-5) г =~'! Добавим сюда условие адиабатичиости потока, отсутствия теплообмена со стенками и потерь на гидравлическое сопроти- вление. Это условие даст для удельной энтропии вещества При малом изменении давления пренебрегаем изменением подинтегральной функции 2 = п(Рз Р) =Ро Р (И!-10) че ез е нип сечения, оказывается пропорциональным корню квадратном из авности авлени . днако при ольших перепадах давления, при малом давлении в струе, падение плотности истекающего газа оказывает все более и более сильное действие. В то время как рост скорости ограничен величиной и=~24 (И1-11) при 1= О, плотность газа может упасть до величины, сколь угодно близкой к нулю. При втом произведение ои обращается в нуль.
При данном р, количество вещества, протекающее через единицу площади сечения, достигает максимума при некотОром значении давления в потоке Р, меньшем Р„и далее снова падает при дальнейшем падении р. Покажем, что максимум расхода на единицу площади сечения достигается как раз тогда, когда око ость вижения равна 'ко ости з ка в истекаю Ищем максимум произведения (И1-12) Составим логарифмическую производную по давлению от выражения (И1-12) и приравняем ее нулю (все производные при Я = сопИ): ~~~я =О, д ~КР 2(1а — 0 +=(Р) =с ' сэйр=с=0 '; 2(1 — 1)=п', (И1-14) -з с — 1 — — — =0 с=и о и" (И1-15) что и требовалось доказать.
Для идеального газа постоянной теплоемкостн зависимость расхода от давления легко может быть прослежена аналитически. (И1-10) представляет не что иное> как закон Бернулли течения несжимаемой жидкости. ПРи Р, близком Рм мы можем пРенебРечь изменением плотности, и так же, как для несжимаемой жидкости, получаем, что количество газа и протекающее в единя в емени В этоах случае имеет место соотношение /о — д оо В адиабатическом потоке х — х с= — ц,~~-); 7=1,(~~); ~~=/с Р =с о (~~) ° (Ш-17) Ро Введем безразмерные переменные, относя соответствующие величины к их значениям в состоянии покоя; скорость отнесен к скорости звука в исходном газе.
Обозначим безразмерную плотность г=р/до, давление от=р/ро„ скорость звука г=%о скорость движения 3»=-и/с расход на 1 смо сечения »р =г9»=со = оп/ро со. Для них получим следующие уравнения: 1 х — 1 г=и"; у=и ох ' » (Ш-18) На рис. б представлен ход кривых г, у, ф» ф в зависимости от от для двухатомного газа (например воздуха), у которого с„у 1=-- = — =1.4.
с» 5 При изменении от от 1 до 0 величина г падает от 1 до О, хр монотонно растет от О до 1/5=2.24; у падает от 1 до О. Величина»Р достигает максимума 0.58 при хо = 0.53; »Р = 0 при от=О и от=1. В точке максимума»р при от=053» у=ф=090.. На примере истечения воздуха комкатной температуры и атмосферного давления в пространство с пониженным давлением покажем, как следует пользоваться графиком рис. б, составленным в безразмерных величинах.
ри 17с С, ро= =1 ата, ро воздуха=1.2 кг/м', с„=340 м/сек. Найдем режим истечения при р = 0.7 ага, хт = 0.7. На графике находим г=0.785, откуда о=0,785 ° 1.2=0.93 кг/мо; у=О.б7» откуда и= 0.67 ° 340 = 227 и/сеид у= 0.94; с = 324 м/сек. Падение скорости звука при истечении есть следствие охлаждения при 3» 35 П ри максимуме >р скорость достигает 306 м1сек, — прн этом максимальный расход равен 236 кг/ма-сек.
Величины, относящиеся к тому состоянию газа, при котором достигается — — максимальный расход на единицу сечения (макси- ! ~ , мум оп, максимум 1р), ! >, называем критическнми и хамнечаем ниже индексом и — "-- -» т- Рассмотрим схему опыта по истечению газа — (рнс. 7). гг --! " -~- ! .1 Левый сосуд, содери, „жащий газ под давлением ро, снабжен простым сург! ~ - .....
-- ' . - + — > лом). При уменьшении — ю >. >- Г ~ >о, р> --: ~+- -- -" вытекает газ, количество пу — — вытекающего газа, согласно формуле Венцеляг ' ' ~ ~;. , 'Сен-Венана (11!-12> П!-18), растет. Однако, если дг -.( —.~-- ' — ' ~ "— следовать формуле Венце+ ', ля-Сен-Венана, при всех режимах принимая давлеб п~ аг рг О» гд >гг гг гу г>у ш ние в выходном сечении сопла р равным давлению в правом сосуде ра, то, начиная с некоторого значения противодавлеиия, дальнейшее снижение протнводавлеиня должно было бы привести к уменьго газа1 в частности для истемысленный вывод что секунд- ъгг --~ Рнс.
6. Зааиснмоста беараемериой плотности (г), скорости (Е>), саоростн сауна (Г) в расхода (>р) ст беареамериого дааления (и) а даухатомном гале с постоииной теплосмассте>о, й = 1.4, при етайиоиар. иом ад .абатичесном истечении. шению' количества вытекаю ченяя в вакуум получится бе ный расход газа равен О. То обстоятельство, что п чества истекающего вещества 36 ще сс рн достижении максимума коли- скорость истечения как раз равна адиабатическом расширении.
Наконец, ар= — 0.54, чему отвечаег сек ндный расход 054 ° 1.2 ° 340=220 кг(м'сек. аксимальная скорость при стационарном истечении з вакуум достигает 340 1>'5= 760 м,'сек. скорости звука (см. 1И-15), позволяет объяснить этот парадокс и Предсказать, чтб в действительности будет происходить при рк, меньшем р критического (т. е. при р„, меньшем 0.53 р, для воздуха).' Действительно, г того момента, как достигнуто критическое истечение, никакие сигналы не могут быть сообщены обратно истекающему газу через слой гяэа, движущийся со скоростью, равной скорости звука.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
