Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Коэффициенты в (1-13) подобраны так, что Т;~-Т -+-Т вЂ” О. В одномерном случае ди дии и уравнение двнження (1-12) упрощается: а~ии др 4 д ~ди 1 о — "= рХ вЂ” — -+- — — ц ( — "~) ° И ди 3 дх (ди/ (1-14) 11 где величины Х, 1; Е суть компоненты объемной силы, отнесенной к единице массы, а величины Т„и, Т„и т. д. компоХф ненты тенэора напряжений, происходящих от действия сил вязкости.
Действие вязкости зависит от относительного движения соседних частиц жидкости. Из условий симметрии тензора, ограничиваясь членами, пропорциональными первым производным скорости по координате> принимая инвариантную сумму нормальных напряжений на три взаимно перпендикулярные площадки равной утроенному давлению и выделяя давление из тензора напряжений, как это уже сделано в формуле (1-12), мы приходим к следующему выражению тензора напряжениЙ: Энтропию отнесем к теплоемкости газа: У=5/с . Переходя к безразмерным переменным, найдем: (1-20) Л 11дт 1дт1дЛ сУс Ы ГТ дхч T дх' ч дх' Внешние силы входят в безразмерные уравнения умноженными на характеристический размер.
Для движений не слишком большой пространственной протяженности, ио большой скорости, ими можно пренебречь; изучение движений сжимаемой жидкости в поле силы тяжести представляет предмет динамической метеорологии, которого мы не касаемся. Члены, описывающие влияние вязкости и теплопроводиости, в соответствии с утверждением стр. 9, вошли с коэффипиентами я 1 Л 1 рУИ йе рУс Д Ре (1-21) где Ве и Ре — число Рейнольдса и число Пекле. Предположение о том, что инваряаитная сумма нормальных напряжений на три взаимноперпендикулярные площадки не отличается от утроенного давления, содержит элементы произвола. Конечно, всегда можно определить давление р именно таким образом, как одну треть суммы трех нормальных напряженн1, но в действительности мы в последующем идем дальше и делаем физическое допущение, что определенное так давление при данном состоянии вещества (определяемом его составом, плотностью, энергией, энтропией, температурой) не отличается по величине от давления р„, измеренного в статических условиях, в покоящемся газе.
Между тем, с требованием инвариантности физических законов относительно преобразований координат вполне совместимо более общее предположение, что инвариантная сумма напряженсй зависит от инварианта, составленного из производных от компонент скорости по координатам. Таким инзарнантом является выражение расходимости (дивергенции) скорости: ди ди дис Ь)и и = -+- —" -+- — ° дх ду дх В предположении, что можно ограничиться старшим членом 13 в разложении (так же, как это было сделано выше при соста- влении выражения вязких напряжений), мы получим: (1-22) Для полной характеристики поведения вещества необходимо, таким обравом, задание двух независимых коэффицизнтов вязкости 9 и $.
В самом общем виде, совместимом с инвариантностью уравнений, выражение тензора напряжений гласит: , /ди дии дии ~ ди„ /ди„ди„'~ Т, =.6'~ — '-+- — й-+- — '! — 29 — "; Т = — 6( — *-+- — ") (1-23) ~ ди ду ди ! ди' ии (, ду ди) ' где й †величи размерности вязкости, которая, также как н й, должна быть определена на опыте. Произвольно полагая ц' =- й.2~3, мы получили (1-13). В общем случае, не делая этого предположения, получим из (1-23) и (1-22) й = 3ту' — 29.
(1-23а) Т, =й — * пстн — лГ рс1 —; и рс1, (1-24) ди, ди д» . иа ду ду ду ' где и — число молекул в единице объема, т †мас отдельной молекулы, с' †скорос движення молекул. Каков смысл второго коэффициента вязкости $Р $ входит множителем при величине п1ч и, которая уравнением сплош ности тождественно связывается со скоростью изменения плот ности вещества: 1 йз — — ==Йчи.
Л (1-25) 14 Молекулярно-кинетическая теория легко описывает и вычисляет первый коэффициент вязкости (й), одинаково существенный и прн наличии н при отсутствии сжимаемостн. Величина 9 вводится из рассмотренна срезывающего напряжения в потоке, в котором и„=и,=О, и„=а.+-Ьу. Это напряжение обязано обмену количеством движения между слоями, скользящими один над другим с разной скоростью, благодаря хаотическому поперечному движению молекул из одного слоя в другой. Из этих соображений, рассматривая слои, находящиеся на расстоянии длины свободного пробега 1, так что средняя скорость (скорость массового движения и„) разнится на велиди чину †' 1~ подсчитывая число молекул, переходящих в единицу времени из одного слоя в другой, и переносимое ими количество движения, легко найти (ср.
(1-9)р Таким образом, с описывает зависимость давления от скорости изменения плотности, т. е. описывает тот факт> что при изменении объема не сразу устанавливается статическое значение давления. Тот случай, когда второй коэффициент вязкости $ того же порядка, что и >1> не нуждается в специальном сбъясненяи: этот случай отвечает времени установления статического давления порядка времени свободного пробега молекул между дзумя столкновениями, Сс.
В некоторых случаях, однако, мм встречаемся с аномально большим значением $. В $ И мы подробно рассмотрим важнейший пример молекулярного механизма подобного поведения вещества: при наличии внутренних степеней свободы, дающих добавочную теплоемкзсть и возбуждаемых сравнительно медленно, давлеияе при данной плотности и данной энергии газа зависит от степени возбуждения внутренних степеней свободы. Прн сжатии (увсличенни энергии) давление несколько больше, прн быстром расширении несколько меньше статического (отвечающего равновесному возбуждению).
Влияние этого эффекта при медленных процессах может быть описано формулой (1-22), причем чем труднее возбуждаются внутренние степени свободы, чем больше время нх реласкации, тем при меньшей скорости изменения состояния стакет заметным рассматриваемый эффект, тем больше второй коэффициент вявкости 5. Однако при быстрых процессах достигаются условия, в которых уже недопустимо пользование линейными формулами (1-22, 23), так как время изменения состояния становится сравнимым или даже меньше времени релаксации внутренних степеней свосоды.
При этом необходимо в явном виде вводить энергию возбуждения внутреняих степеней свободы и находить ее зависимость от времени, решая дифференциальное уравненне кинетики установления равновесия, без упрощающего предположения (допустимого при малой скорости изменения параметров), что отклонение от равновесия пропорционально скорости изменения параметров. Рассмотрение таких задач см. в ф П (акустика) и ~ Х1!1 (ударные волны в газе с замедленным возбуждением). Трактовка второго козффизиента вязкости принадлежит Леонтовичу и Мандельштаму(1б, 17).
й П Начала акустики; скорость звука Во введении и в предыдущем параграфе мы уже много раз упоминали характеристическую величину скорости,именно скорость звука. Рассматривая распространение малых возмущений> покажем, как из уравнений газовой динамики получаются з пределе уравнения акустики и как в уравнениях газовой динамики заключена скорость звука. 15 (П-1) Е=ре-~-в, где рв — начальную плотность — мы будем полагать величиной постоянной, а изменение плотности в, связанное с распространением звука или вообще возмущений по газу, мы будем считать величиной малой. Уравнение сохранения вещества перепишется в следующем виде: де де ди — -е- и — — -в- (рв -е- в) — = О. «Е дх В «» (11-2) Пренебрегая величинами высшего порядка малости, т.
е. произведениями двух мадых величин, мы получям: дв ди р де ' ох (11-3) Пренебрегая таким же образом членами высшего порядка малости в уравнении движения, получим: ди др др др др де и В «Е дх др дх др дх (11-4) Дифференйируя уравнение сохранения вещества по времени, а уравнение движения по координате, получим окончательное основное уравнение акустики: дее др дее ом ор дхе (11-5) Обозначая — =с' др до У (И-5а) 16 Мы преобразуем уравнения газовой динамики, написанные выше, полагая скорость движения и и изменение плотности малыми.
Скорость движения полагается малой по сравнению и со скоростью звука, — (< 1„изменения плотности и давления— малыми по сравнению со средними значениями плотности др Лр и давления, — — (<1. Того же порядка и колебания темр р пературы в волне в газе. Далее, в уравнениях дзиаения мы пренебрегаем членами порядка выше первого в разложении уравнения состояния вещества по степеням Ар или Лр (они относятся к оставленным, как е$р/р); мы также пренебрегаем ие по сравнению с ис (отношенве отброшенных членов к оставленным равно и(с). Приведенные ниже значения амплитуды давления в звуке определенной мощности показывают безоговорочную допустимость зтих пренебрежений в акустике.
Плотность мы разбиваем следующям образом: мы видим, что уравнение допускает две группы решений: первую группу е=е(х — се); р=р(х — с4 и=и(х — сг) (и-б) р=р(х — сг), и вторую группу е =а (х-о-сг); р = с(х-о- сЕ)1 и = и(х-ю-сд)1 р = р(х-+- сд), (П-ба) отличающуюся от первой тем, что под знаком функции везде, вместо х — сд, стоит х-+-сд. Под с мы везде понимаем положи- тельный корень нз —,1 с= -+- у — ° Заданное состояние распространяется в направлении возрастания х со скоростью с, что н требовалось доказать.
Для этой волны нетрудно, подставляя найденный вид решения в основные уравнения, получить из (11-3)о' — се = — р и Г о > (П-9) где штрихом обозначено дифференцирование функции (Н-6) по переменной х — сд. Полагая при больших значениях х, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
