Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Н. Н. Андрееву, Б. П. Константинову, Л. Д. Ландау, М. А. Садовскому, О. М. Тодесу и Ю. ь. Харитону зв просмотр рукописи н ценные указания. Литература: популярное сведение в гидродинамику !22];1 некоторые общие руководства по гаводнвамике !4, 23, 24, с7, 35, 39, 10б!. Г Цифры в квадратных скобках соответствуют порядковым номерам Литературы. $1. Уравнения газовой дииамнии Составим уравнения газовой динамики, пренебрегая действием массовых сил (снлы тяжести), а также (см ниже) действием диссипативных сил, т. е.
вязкости и теплопроводностн. Для простоты запишем уравнения для одномерного случая; обобщение на двух- и трехмерные случаи не составит труда. Начнем с уравнения неразрывности> т, е. уравнения, выражающего закон сохранения вещества. и Обозначая, как обычно, через — субстаипиальную производи» ную по времени> т. е. производную, взятую для данной частипы д вдоль ее пути> и через — локальную производную по времеви, характеризующую изменение рассматриваемых величин в дан ной точке пространства, мы напишем: др оо оо ди — = — '->-и== — о — > д> д> ди - ди (1«1) нля иначе до д (ри) ди др ди " д» дх (1-2) Обе формулы, конечно, совершенно вквивалентны.
Для вывода первой мы следим за движением слоя вещества, заключающего постоянное колпчество вещества. Вторую мы выводим, рассматривая изменение плотности в данной точке пространства. Уравнение движения не отличается от уравнения движения для несжимаемых жидкостей. Оно гласит: Ии ди ди др о — = — р — ->- ои — = —— д> д> д>: ди (1-3) Наконец, третье уравнение является существенно новым и представляет характерную особенность газовой динамики Это есть уравнение изменения состояния. 7 В гидромеханике несжимаемой жидкости мы к первым двум уравнениям добавляли уравнение несжимаемости р = сопя$. Как найти связь между плотностью и давлением в сжимаемой жидкостиР Плотность, давление и температура жидкости связаны т. н.
уравнением состояния. Зная теплоемкость, мы свяжем температуру и ввергаю. Для того чтобы определить связь плотности н давления, необходимо составить еще одно уравнение †уравнен энергии движущейся жидкости. Прн отсутствии диссипативных сил †вязкос и теплопроводности— мы имеем: где о †удельн объем, величина обратная плотности р. Энергия того или иного рассматрнваемэго элсмента вещества может изменяться лишь ва счет работы сжатия, которую производят над ним окружающие объемы жидкости (газа). Вспоминая основную формулу термодинамики с(Е= Тгьу — рс(от (1-5)' из уравнения внергии мы легко получим для рассматриваемого случая отсутствия диссипативных снл естественный вывод: ТИБ = О; —,г — — О.
ИЯ (1-6) Другими словами, состояние вещества меняется по адиабате, меняется при постоянной внтропни. Для идеального газа постоянной теплоемкости, как известно> уравнение адиабаты гласит: г р=Ао, (1-7)' с где м=-а, 1=сопя). Оно может быть найдено и без расее ' смотрения энтропии и исторически впервые было найдено Пуассоном в 1818 г. именно так, интегрированием уравнения л Уравнение (1-4) относится к определенной совокупяости молекул мягкости (лагранмево представление). В ейл .роном нредставленнн для определенного элемента объема, фвксироваяного а пространстве, уравнение вяергвн имеет более слоняый ввд.
т Уравиеяне (1-5) прамевяется вами к вежеству, состолвчс которого вполне определяатся вадаииам удельяого объема о и удельной ввтропвв Я. Оно неприменимо например, к сястеме, ие вакодяжсйся в химическом равиовсскг, в которой во время двямения провскодвт необратимая химическая реакция, ((-4), в которое для идеального газа подставим выражение закона Клапейрона; Е=с, Т= — "Ятг'= фро1 е(Е= — 'реЬ-|-фелер. (!.8) Каковы условия применимости написанных выше уравнений,' и которых не учтено действие вязкости и теплопронодности? Прежде всего очевидно, что для применимости этих уравнений необходимо, чтобы были велики число Рейнольдса и число Пекле. Как известно из теории подобия и гидродинамвки несжимаемой жидкости, число Рейнольдск характеризует отношение инерционных сил к силам вязкостным. Число Пекле играет аналогичную роль, характеризуя отношение молярного переноса тепла движущейся жидкостью к потокам тепла, переносимым молекулярной теплопрозодностью.
Таким образом, большое значение числа Рейнольдса означает возможность пренебрежения силами вязкости в уравнениях газовой динамики. Большое значение числа Пекле означает возможность пренебрежения теплопроводиостью, означает, что вдоль линии тока движение происходит практически адиабатически. Из молекулярно-кинетической теории следует, что для газов отношение теплопроводности к объемной теплоемкости (т. н.
температуропроводность) приблизительно равно отношению вязкости к плотности (т. н. кннематической вязкости). Поэтому для потока газа число Реянольдса весьма близко к числу Пекле и оба условия (большое число Рейиольдса н большое число Пекле) совпадают. Следуя Карману, мы можем дать иную формулировку условию большого числа Рейнольдса. Воспользуемся молекулярным выражением коэффициента вязкости: 1 т) =- тр = — дсЧ 3 ()-9) где 7 — длина свободного пробега молекул в газе, с' — скорость молекул, величина, равная по порядку величины скорости звука, в — кииематическая вязкость (см'/сек). Подставляя выражение для вязкости в формулу числа Рейнольдса, получим: ир1 иИ иУ 1че = —, = — = 3 — Ва — — — Ф1 где е1 †характеристическ размер, У вЂ характеристическ скорость рассматриваемого движения.
т Общие ураавеивя гаяодииамики е учетам вязкости и теплопроеодиоети вмвееевм в приломеиио и копне ваетоящего пчраграфа, которое читателе монет пропуетить беа ущерба для повимаевя даловейшего, привяв ва веру утееридевия об уелоеияк примеивмоети ураввевий (1-1) — (1-б), 9 Отношение скорости движения к скорости звука носит наззание критерия Барстоу У вЂ” =Ва, с (1-11) 10 В интересующей нас области газовой динамики, где скорость движения порядка скорости звука Ва 1, число Рейнольдса оказывается по порядку величин равным отношению равмеров системы Ы к длине пробега молекул 1.
Высказанное выше условие КеРь1, в котором возможно пренебрежение диссипативными силами (вязкостью и теплопроводностью), приводит к требованию, чтобы размеры системы были значительно больше дляны свободного пробега молекул. Однако, как мы увидим дальше, выполнение этого условия, т. е. большой размер системы, в действительности не всегда обеспечивает малость диссипативных сил и возможность рассмотрения только алиабатических процессов. Как мы увидим дальше, при наличии ударных волн в потоке возникают чрезвычайно большие градиенты всех рассматриваемых величин, причем величина этих градиентов уже не зависит от размеров системы и не падает с увеличением размеров системы.
В этих случаях, как бы велико ни было число Рейнольдса, нам придется считаться с возможностью изменения энтропии. Однако, несмотря на то, что и в этих случаях принципиально возможность роста знтропии связана с диссипативными силами, зсе наблюдаемые макроскопические свойства потока, в частности численное значение прироста энтропии в ударной волне, от величины вязкости и теплопроводности не зависят (автомодельны относительно теплопроводности и вяакости); законы изменения состояния в ударной волне могут быть получены без рассмотрения структуры фронта ее, из одних уравнений сохранения материи, количества движения и энергии, примененных к состояниям до и после прохождения волны. При больших числах Рейнольдса мы могли бы ожидать значительного влияния турбулентности.
В действительности, исследования совместного действия турбулентности и весьма высоких — порядка скорости звука — скоростей оченьнемногочисленны. С одной стороны, в этом повинна, повидимому, сложность такой пограничной области. С другой стороны, в большинстве типических задач газовой динамикк мы имеем дело с короткими трубами и соплами, короткими обтекаемыми телами; в короткой тру е турбулентность не успевает равиться и при большом значении Ке. Наконец, в гидродинамике малых скоростей при Ва (1 образование вихрей и турбулентность представляют единственный механизм сопротивления при Ке ~~1; учет их абсолютно необходим для рассмотрения сил, действующих на движущееся в жидкости тело.
При сверхзвуковой скорости появляется так называемое волновое сопротивление и воэможность необратимой диссипации энергии в стационарных ударных волнах; отличное от нуля сопротивление может быть найдено и без рассмотрения турбулентности. Приложение Для суждения о применимости уравнений (1-1) — (! 6) приведем общий вид уравнений газодинамики (см. например [23, 271). Уравнение движения имеет вчд: Ии,„др д Т,„д Т„и д Т и ц — * = оХ вЂ” — — — '" — —."" — — ", (1-12) сй ди дх ду дг (1-13) Уравнения движения по двум другим координатам получатся иэ (1-12) и (1-13) циклической перестановкой индексов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
