Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. далеко впереди в иевозмущенном газе, и=0, е=0 и р=цм мы найдем для волны, распространяющейся вправо: е е и=о — =(о — о ) — ° ро ' ' Ео (11-10) ' Мы половуоиоя преобрввоввиияии д д — 7'(х — е8) = У'; — 7' (х — е8) = — е7'. дх до 2 я. Б. Зев лов 17 Первая группа решений> в которой все величины зависят от комбинации х †, представляет собой возмущение, распространяющееся вправо, т. е. по направлению возрастающих значений координаты х. Действительно, если в момент некоторое состояние (дн рь ио) осуществлялось в точке х„ то в следующий момент ~в это состояние будет осуществлено" в той точке хо, где переменная х — сд (от которой только н зависят все величины р„р„и, рассматриваемого решения) имеет то же значение хо — сдо=х, — сд„ хо = х, -+- с (го — д, ). Мгновенное значение давления также линейно связано с плотностью н скоростью: Р— Рп=+(Š— Рп) =Рп ар (П-И) Отметим особо, что давление пропорционально первой степени скорости в звуке; в стационарном течении, согласно теореме Бернулли, мы имели бы гораздо меньшее изменение давления: сося .
Р=Рп (П-12) Важнейший вывод из формул (П-10) и (П-11) заключается в том, что в волне, распространяющейся вправо, в сторону растущих значений координаты х, массовая скорость движения и положительна там, где вещество сжато, и отрицательна там, где вещество разрежено и плотность вещества меньше нормальной. Аналогично для второй волны, в которой,все величины зависят от комбинации х-+- сМ, т.
е. для волны, распространяю- шейся влево, в сторону уменьшения х, мы получим: и с и = — е — = — (с — оп)— еп еп (П-13) В обоих случаях там, где вещество сжато, скорость движения направлена в сторону распространения волны. Если в начальный момент задано некое произвольное распределение плотности и произвольное распределение скорости движения в пространстве 1= 0; в и ц (х); е = е(х) и ц(х) — йп) и = и (х), (П-14) и, (х) -и- и, (х) = — — =-.
и (х). пп(х)с пя(х)а пп сп Второе уравнение: (П-1б) получено применением (П-10) к е, и и, и (П-13) к е, и ия. Далее сразу получим 1 «и 1 е, (х — сЕ) = — е (х — сФ) -+- — "- и (х — сй) и 2п (П-16) и 1 с (х — с1) = — е (х — с6) -+- —, и (х — ст). 2 оп 2 У е (х -+- с1) = — е (х -+- ст) — ф и (х -а- ст)) и 1 ия (х -и- ст) = — — е (х -+- с т) .+- —. и (х -+- ст).
2еп 2 (11-17) 28 то для искомых двух волн: первой е,=е,(х — сг), и,=и,(х — с8) и второй е.= — еп(х-п-ст), и,= из(х.+-сф мы получим два уравнения: е, (х)-+-е,(х) =0(х) — о,=е(х), (П-15) и,(х„, г)-+- ие(х>о М)=0> (11-18) применяя (П.10) и (П-13), найдем в,(х„, г) =-в, (х.„г), (П-19) е, (х, Р) = ее (х-+- сЕ) = е,(хмь~ 1 — -ж- †" ~) = х, — х > \ =в хе' — 2 — ' — ) (11-20) в, — х> ие(х,г)= — и,(х,г — 2 ) ° е (П-20а) Как и следовало ожидать, плотность и скорость в отраженной волне (индекс 2) в данной точке в данный момент зависят от значений плотности и скорости в падающей волне в этой точке в момент времеви более ранний, причем интервал равен времени, необходимому для пробега от данной точки до отражающей поверхности и обратно со скоростью звука.
Превращение заданного в начальный момент произвольного распределения плотности и скорости в две волны, движущиеся в противоположных направлениях, и отраженяе одной из них от неподвижной стенки показаны на рис. 1; для примера выбрано начальное состояние, в котором в некоторой области создано повышенное давление, но вещество везде покоится. Последовательный ряд рисунков се Бе, а, Б» се Бе,..., отвечает моментам в=О, е=~е,... На графиках а представлено мгновенное распределение плотности (ось абсцисс д = ре), на гра иках Б — распределение скорости (ось абсцисс и= 0).
сория распространения сферических волн в трехмерном пространстве почти так же проста, как я одномерная теория, суммированная в уравнениях (П-1) — (П-20). Место координаты х заступит теперь г — радиус, т. е. расстояние, отсчитанное от центра симметрии движения. Мы рассиатриваем только сферически«симметричные движения, в которых каждая величина (скорость, плотность, давление) зависит только от времени 2Ф 19 Нетрудно рассмотреть также отражение произвольного возмущения от неподвижной стенки.
Для нахождения решения к распространяющемуся возмущению е,(х — сг), и, (х — сг) мы добавляем волну, как-будто приходящую с другой стороны стенки и распространяющуюся в обратном направлении, т, е. встречную волну е (х ~-сг), ие(х.+-сг). Вид функции ее определяется из условия непроницаемости отражающей стенки и=0 прн х=х, откуда и от расстояния г от центра симметрии и постоянна на сфере радиуса г, т. е не зависит от угла радиус-вектора, проведенного из центра симметрии, с координатными осями. Движение частиц газа совершается лишь по радиусам> проведенным из центра симметрии.
Благодаря атому нам нет надобности пользоваться векторными обозначениями. Уравнение сохранения вещества имеет внд' аг дг а, дг дс рс д дд гс дг (П-21) Уравнение движения не меняется: др др дс дс = — С' —. дг (П-22) Простыми преобразованиями най- дем аг ду да с д где ддт га дг дг (П-23) В таком виде уравнение отличается от простого .уравнения (П.5). Подставим рнс. 1. Распространение и отраиепие пркмоугольвого импульса давлении по одной координате в линейной акустике. 8 = —.
ч г (11-24) Тогда для функции т1 получим после сокращений волновое уравнение одномерного движения дгй, дс, —;;.=с (П-25) решения которого нам уже известны ~1 = т1, (г — с1) -4- т1с (г -е- с1). (П-26) т Поток вещества черен сферическую повар*носта радиуса г равен 4нгтп. Равность потоков вещества, прошедюик черев сферм радиуса г я г-+-аг, представлнет собой количество вещества, оставжевск в жаровом слое, объем которого равен 4 пгтог, в мепнет плотность ваключеивого в атом слое вещества. Таким образом, общее решение для амплитуды ивменения плотности в сферической волне имеет следующий вид: а= Ч1 (г — са) Ча (г-а-а» -$ (П-27) Легко убедиться подстановкой выражения (В-27) в уравнение (П-23) в том, что оно удовлетворяет уравнению при произвольных функциях »ь ца.
Первое важнейшее отличие сферических волн от плоских (т. е. одномерных, в которых все величины зависят только от одной координаты х, см. выше) заключается в том, что амплитуда волны при распространении от центра падает обратно пропорционально расстоянию от центра — см. (П-27); амплитуда волны, сходящейся к центру, растет по тому же закону. Падение амплитуды прн удалении волны от центра естественно; выберем функцию щ такую, чтобы она была отлична от нуля только внутри определенного интервала изменения величины г — гб а ~~ г — сК ~ Ь. Это значит, что возмущено, охвачено волновым движением в каждый момент только вещество, находящееся а шаровом слое постоянной толщины Ь вЂ” а, а-+-сг~г(а-+-с~-а-(Ь вЂ” а).
По мере того как с ростом времени увеличивается г, количество вещества, вовлеченного в движение, растет пропорционально объему слоя, т. е. пропорционально гз. Звуковая внергия единицы объема пропорциональна квадрату амплитуды. Таким образом, при отсутствии поглощения (превращения энергии звука в тепловую) закон сохранения энергии приводит к условию а'га=-сопз$, г г ', т. е. к уменьшению амплитуды по найденному выше закону. Второе отличие сферических волн закЛючается в том, что простое выражение (П-27) имеет место для амплитуды изменения плотности и давления, но не для скорости. Давление н плотность связаны уравнением адиабаты Пуассона, что пря малых амплитудах дает р — р = г(р — о )=/а — в=саа, др Ра 2 а — др а — ра точно так же, как в плоской волне.
Однако простая пропорциональность с к о р о с т и д в н ж е н и я и плотности или давления не имеет места в случае сферических волн (ср. ф-лУ (П-10)1. Подставим в (П-22) выражение плотности в сферической волне, бегущей от центра 21 Найдем от >У> (г — ой чл (г — еб( дц г — » о ч,(г о,) 3в~«')'~ о, ~(г-е0) (П-28) ре г гх ра ( гх В выражении скорости появляется дополнительный член, нарушающий простую пропорциональность (П-10), которая имеет место в распространении плоской волны. Это обстоятельство приводит к важным последствиям, отмеченным впервые Стоксом. Рассмотрим волну конечной ширины, бегущую в одном определенном направлении — в сторону роста координаты; после прохождения такой волны вещество снова возвращается к начальному значению плотности и покоится. В случае плоской волны зависимость плотности от координаты внутри волны (внутрн области, охваченной возмущением) не подчинена никаким ограничениям; благодаря простой связи (П-10) там, где возвращается к начальному значению плотность, скорость тождественно обращается в нуль.
Между тем, в сферическом случае условия в = — 0 недостаточно: для того чтобы скорость обратилась в нуль после прохождения волны, необходимо обращение в нуль также второго члена в (П-28) = 0; ~ >(, (чв) >(з = ) и в е(г = О. (П-29) Интеграл в (П-29) берется по всей инрнне волкы, т. е. по всей области, в которой в+ О. В формуле (П-29) мы усматриваем, что и с>рерической волне конечной ширины изменение плотности обязательно должно быть знакоперемениым: интеграл в (П-29) обратится в нуль лишь в том случае, если в одной части области интегрирования в положительно, а в другой — отрипательно. То же самое относится н к изменению давления в волне благодаря линейной связи малых изменений плотности н давления. Как влементарно представить себе причины невозможности сферической волны конечной ширины, на всем протяжении которой вещество было бы сжатор Дополнительное количество вещества,' заключенное в волне> равно ) згве(г.Амплитуда впадает как г ~; таким образом, дополнительное количество вещества > Сверх тогО колкчеетва, которое ваключеко в данком объеме нрк маковку>Земном значении плотности.
в волне, иа всем протяжении которой з вО, росло бы пропорционально г по мере распространения. Растущее в процессе распространения количество вещества в волне повышенной плотности и вызывает появление следующей эа ней волны поинженной плотности. Более подробное рассмотрение показывает, что у краев волны т. е. там, где весьма малы одновременно и и в, величина Ь высшего порядка малости, так что снязь и и а в пределе у краев волны такая же, как в плоской волне.
Наконец, можно показать, что не только изменение плотности, но и скорость движения и должна менять знак внутри волны: невозиожна сферическая волна конечной ширины, на всем р,и Рне. 2. Реепределенпе плотноетн н скорости в ефернчееной волне. протяжении которой вещество двигалось бы в сторону увеличения радиуса. Однако внутри волны точка изменения знака скорости несколько сдаинуга в сторону центра симметрии по отношению к точке изменения знака е (рнс. 2). Эти обстоятельства весьма важны для теории распространения волн, вызванных взрывом, которой мы займемся в последнем параграфе книги.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
