Я.Б. Зельдович - Теория ударных волн и введение в газодинамику (1123908), страница 17
Текст из файла (страница 17)
$ И. Графические методы траитевки теории ударных вели. Волны вблизи критической точки Очень удобным подспорьем для простого и наглядного разбора теории ударных волн является представление процессов и состояний на диаграмме, в которой по осн абсцисс отложен удельный объем е, по оси ординат †давлен р.
Уже указывалось, что каждому заданию начальной точки (точка А, рн е, на рис. 27) отвечает одна определенная кривая Гюгонио. Покажем на рис. 27, как на графике найти скорость распространения ударной волны. Используем формулу, которая давала нам скорость ударной волны в функции давлений, и удельных объемов до и после сжатия: дя п2 е2Г~ Р1 = "1 (Х1-1) Для данного исход~того состояния вещества рн пь множитель перед дробью о, есть постоянная величина, и скорости распространения ударных волн, отвечающих различным степеням сжатия, различным конечным состояниям, зависят от отношения р — р,/е — пн т.
е. от тангенса угла наклона соответствующкх прямых, соединяющих начальную точку рн н, с точками, изображающими состояние после сжатия рн нт. Так, из рисунка непосредственно ясно, что точка Се отвечающая большему давлению, чем точка В, отвечает ударной волне, распространяющейся с большей скоростью, ибо угол наклона прямой АС больше угла налт клона прямой АВ.
Весьма существенно, что выражение (Х1-1) выведено нами как следствие только первых двух уравнений — уравнения сохранения вещества и уравнения сохранения количества движения, независимо от уравнения сохранения энергии. Поэтому оио будет верным во всех слуо чаях, когда не нарушается уравнение сохранения количества движения, т. е. когда нет внеш- Р- .....,.
к. -.* - ° .,у. *, в частности и при наличии неяяк ударной колям опредеРке. 27. Скороете Реепроетре химической реакцин или при ляется наклоном хорды, яе- наличии внешних источников прямер, АС, АВ, АЕ; скорость тепла н подачи энергии извне, звука — наклоном кееетелъкой. меняющих только уравнение энергии, но не уравнение количества движения, соотношение между плотностью и давлением в начальном и конечным состояниях и скоростью распространения остается н силе. В частности„ выражение (Х1-1) относится и к скорости распространения детонации по взрывчатым газовым смесям 18, 59, б01. Особенно следует отметить, что уравнение Х1 — 1 получается в результате состхвления уравнений сохранения вещества и количества движении только для начального и конечного состояния газа в волне.
Использование прямых АС или АВ для расчета скорости вовсе не обозначает предположения о том, что промежуточные состояния (ср. рис. 23б) изображаются точками этих прямых. В случае, если нас интересует промежуточное состояние, через которое проходит сжатие внутри тонкого фронта ударной волны нли внутри фронта детонационной волны или иной волны, распространяющейся стационарно по газу, то наряду с внешними 7а ю (Р )г 9 Р~ — Рг ь,-е, (Х1-2) выражение совершенно симметричное выражению для скорости волны относительно исходного газа.
На рис. 28 через точку В 79 силами, могущнмя нарушить закон сохранения количества движения, — необходимо учитывать также возможные действия внутренних сил вязкости газа, выпадающие при сопоставлении начального и конечного состояний. Если по тем или иным причинам можно пренебречь действяем вязкости, действием внутреннего трения, наше уравнение (Х1-1) может быть применено ко всем промежуточным состояниям, которые проходит вешество на пути от начального состояния к своему конечному состоянию. Именно так обстоит дело в детонационной волне, где шарипа волны зависит от скорости химической реакции и, вообще говоря, довольно значительна, вследствие чего действие сил вязкости невелико.
Подробное обсуждение вопроса и полная библиография находятся в работе автора(8) 11031. На рис. 27 легко найти также графическое изображение скорости звука. Мы получим распространение звука как предельный случай распространения весьма слабых ударных волн. Таким образом, скорость распространения звука на диаграмме рис. 27 будет дана предельным положением наклона секущей, когда вторая точка, изображающая конечное состояние вещества, подойдет на бесконечно малое расстояние к первой точке, т.
е, наклоном касательной к адиабате Гюгонно в точке, изображающей начальное состояние рассматриваемого вещества. Сопоставляя выражение (Х1-1) при малом р, — р, с выражением скорости звука аз= — о -- ~ мы заключаем что в начальдр дч ф Ф ной точке А адиабата Гюгонио касается линии постоянной энтропии (адиабаты Пуассон; ). Из рисунка непосредственно видно, что для идеального газа с постоянной теплоемкостью, для которого адиабата Гюгонио имеет вид, изображенный на рис. 27, скорость распространения ударной волны больше скорости распространения звука в исходном газе Р= и, ) с,. В пределе, неограниченно увеличивая давление ударной волны, мы можем получить сколь угодно большую скорость распространения ударной волны.
Напротив, для волны разрежения, в которой конечное состояние Е на рис. 27 лежит ниже начального состояния, мы получили бы скорость распространения, меньшую скорости звука. Проводя в конечном состоянии сжатого газа в ударной воляе, например в точке В, адиабату Пуассона илн же касающуюся ее в втой точке адиабату Гюгонио, мы можем таким же способом разобрать соотношение между скоростью ударной волны и скоростью звука в сжатом газе. Для скорости распространения волны относительно сжатого газа имеем: проведена адиабата Гюгонио Нв > для которой состояние В принято за начальное; по симметрии уравнений, если В лежит на Нд> то Нв проходит через точку А (см.
ф-лы 1Х-10> 11).' В точке В кривая Нв касается адиабаты Пуассона. Из расположения на рнс. 28 ливий Нв н прямой ВА следует, что с ъ ил= Х) — и, скорость звУка в газе> сжатом волной, пРевыптвет скорость волны относительно сжатого газа. Рнс. 29.
Рост энтропии прп сматнн в ударной волне АВ эавяснт от анака н велнчяяы площадн АРВСРА; А Н — адяабата Гюгояно; АРС— аднабата Пуассона. АЕ= Ев — Е, = Между тем в общем виде с(Е= Тг(Б — рг)о. Вдоль аднабаты Пуассона (изэнтропы) мы имели бы при изменении объема " Н н Н еокращавные яанменоаанвя кривых — аднабат Г>огоняо д в (Нотон(о!), для котовых укаваняая индексом точка (А, В,' является началеной.
т у ааневве (Х! — 3) получается нв (Ч((! — 6), если от плоткостн н перейтн к удельному объему. Ряс. 28. Соотношение скорости распространенна волны относвтелэяо нсходяого состоянвя А н скоростн ввука в состояннн А дак>тся отношенвем наклона хорды АВ н касатслввой к кривой Нлв точке А. Соотношение екоростм волны отяосятелэно сма>ого вещества в состоянии В н скоростн ввуке в состовннв В дается отвошеявем наклона АВ н касателввой к врнвой Нз в точке В. Прямое сравненяе скоростей относвтельно равным состоявяй недопуствмо, так как коэффн:Зневт, входящий прн переходе от наклона к екоростя, зависят от уделвного объема е.
В Ро-анаграмме может быть разобран вопрос о росте энтропии в ударной волне. Сопоставим выражение для изменения внутренней энергии газа в ударной волне с общим термодинамическим выражением дифференциала энергии. В ударной волне в тех же пределах (Х1-4) Сопоставляя выражение для изменения энергии вдоль адиабаты Пуассона (Р) с выражением для изменения энергии при ударном сжатии по адиабате Гюгонио (Я), мы получим уравнение для величины л55 изменения энтропии при ударном сжатии: (Х1-5) Интегралы (Х1-4) и (Х1-5) берутся вдоль вдиабаты Пуассона. Рассмотрим соотношение двух членов последней формулы на подробном рис.
29. На этом рисунке АРС есть адиабата (изэнтропа) Пуассона, АО — адиабата Гюгонио, изменение энтропии прн сжатии ударной волной равно Яз†'зд=Вв — Юс и, согласно формуле (Х1-5), зависит от разности площади трапеции АРВгтМ и площади, ограниченной адиабатой Пуассона АРСг"1М.
Произведение абсолютной температуры ' на приращение энтропии равно разности этих площадей, т. е. площади фигуры АРСВР. Разобьем эту площадь на две части прямой АС. Первая часть †сегме, крайние точки которого А и С замкнуты отрезком АРС адиабаты Пуассона и хордой АС, вторая часть — треугольник АВС. Запишем уравнение в следую.цем виде, обозначая Р площадь фигур: (Х1-б) тл Лс=рслгк дгс + Ртрлгл дзс. Площадь треугольника легко найти: примем отрезок ВС за основание, тогда высота равна е, — о .
Длина отрезка ВС !др~ в р, о плоскости равна (зВ)~ ДВл и площадь треугольника 2 (дЯ) ( г Значение Т в фоРмУле (Х(-5) заключено междУ Т» и Тз, Длн доказательства перейдем ив состояния А в В (рнс. 29) изентропическям сжатием (АС) и последующим нагреванием сжатого газа в постоянном объеме (СВ).
б я. з. зсл лч Подставляя в исходное уравнение, найдем: Т вЂ” а а При малых изменениях объема практически ТЛЮ=У„т„, поправка на площадь треугольника мала. Если Л5 (и,— пт)", то площадь треугольника а5(о, — пт) (п, — ет)"" высшего порядка малости по сравнению с А5 и, следовательно, высшего порядка малости по сравнению с площадью сегмента. Следовательно, з н а к изменения энтропии полностью определяется знаком площади сегмента, т. е. взаимным расположением адиабаты Пуассона и ее секущей, которое, в свою очередь, завксит от выпуклости яли вогнутости адиабаты Пуас/ дтр1 сона, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
