Стевин, Начала гидростатики (1123894), страница 3
Текст из файла (страница 3)
равно весу воды, заключенной в отрезке шарового сектора, ограниченном сферической поверхностью земли н параллельной ея, и.ш концентрической, шаровой поверхностью. Можно было бы привести и соответствующие доказательства, подобные предыдущим; однако мы от этого отказались по причинам, изложенным в пояснениях к постулатам У1 и 711. 'ХЕОРЕ11А 1Х. НРЕДН1ОЖЕННЕ Х1 Давление на правильную стенку, высшая точка которой лежит на поверхности воды, равно весу половины столба воды, имсвяпего своим основанием указанную стенку и высотою отрезок перпендикуляра, заключенный между уровнями, проходящими через наивысшую и наинизшую точки указанной стенки.
Пример Х. Дан сосуд АВ, наполненный водою, и стенка АСРЕ, которая пусть будет сперва параллслограмом, не параллельным, как ранее горизонту, а к нему перпендикулярным; пусть верхнян сторона его АС лежит на поверхности воды, и линия АЕ является отрезком перпендикулнра, закл1оченпым между двуми уровнями, проходящими через иаивысшуго и наинизшую точки указанной стенки. Отметим на линии РВ, параллельной горйзонту, точку Н так, чтобы РХХ было равно Р С, и проведем СН так, чтобы тело АСНРЕ являлось половиною столба, имеющего основание АПРЕ и высоту РН, равну1о перпендикуляру АЕ.
Требуется доказать, что давление на стенку АСРЕ равно весу половины столба воды, т. е. весу объема АСНРЕ, так что зта стенка может быть удержана в данном положении (еслц допустить, что она подвижная) грузом,7, равного веса, прикрепленным к нити КХ„ параллельной РН и укрепленной в точке К вЂ цент давления воды на стенку 1каковой центр может быть найден согласно предлонсению ХУШ). нАчАлА гидРОСТАтики Это задание может быть изложено и иным способом. Пусть МООР— стенка.
равная АСЕАН, так что МР равно ФИР. 23. ЛС и МЕт' равно АГ, н пусть на ЗЕВСЕ-' давит вес твердого тела МЕЕОР9, подобного и равного ЛОНЕ!Е. Линия ЯО, равная Е)УЕ, пусть будет перпендикуляром к горизонту. Утверждаю, что давление тела М)УОР9 на дно ЛЕЕЕОР (большее по направлению к ХО и меньшее к МР, потому что так располагается объем и все тела), равно давлсшио воды на дно АСЕИ (бог!ьшему по направлени!о к ЕО и меньшему к ЛС). Разделим АЕ на четыре равных части точками Н, 8, Т и проведем прямыс О ЕЕГ, 8Х, ТУ параллельные ЛС, а также прямые Ра, ХЬ, Ус, параллельные НН, пересекающие СН в точках И, е, Е н име- м в ющие таку!о длину, что каждый из отрезков оа, еЬ, Ес равен отрезку ГРЕ. Проведем далее через точку д линию уЬ„ Ь параллельную СО н пересекающую ХЬ внс.
Ра. в г, а Ус в Ь, через точку е линию а1, пересекающу!о Ус в вы через точку Е лини!о Ьв и наконец лини!о сН ДОКАЗАТКЛЬСТВО Давление на часть стенки АСУРР не может быть равным нулю; последнее имело бь! место лишь в том случае, если бы она была вся расположена на поверхности воды; она находится однако ниже, н потому давление на нее должно быть ставя н болыпе нуля. Указанное давление должно быть вместе с тезг менее веса воды АСдйГВ, так как это последнее давление имело бы место согласно предложению Х лишь в том случае, если бы стенка располагалась параллельно горизонту в уровне ВГ; она находится однако выше, а потому и давление на нее должно быть меньшим.
Далее утверждаю подобным же образом, что давление на площадь ВГХЯ больше веса воды АСдйГВ, так как эта площадь лежит ниже уровня Гй, или равного веса воды РГйьХЯ; однако это давление меньше веса воды АСфХЯ, так как стенка ВХ лежит выше уровня ЯХ~; но тело АСдгХЯ равно телу ВГаеХЯ, почему давление на стенку РХ менее веса воды РГаеХЯ. Точно так жс давление на стенку ЯУ больше, чем АСдгХЯ, так как она расположена ниже уровня ЯХг; а так как указанный объем равен объему ЯХеиУТ, то на стенку ЯУ будет давить вес болыпий, чем ЯХеиУТ. Далее утверждаю, что давление на указанную стенку меныпе, чем АСдзУТ, таь как она ле'кит выше уровня ТНс; но указанное тело АСдйУТ равно ЯХо1УТ, почему давление на стенку будет менее ЯХб~УТ. Аналогично давление на стенку ТВ больше, чем ТУ~пВЛ, но меньше, чем Ав, так как она лежит выше уровня ВВЬ," но указанное тело АЬ равно телу ТУсНВЕ; поэтому на стенку ТВ давит груз меньший, чем ТУсНВВ.
Итак да- вление . АСдйдк КГ ае ХЯ зх ь| ут ~ТУ НВЕ О И'й ХЯ 8Хьлв тТ ТУ ~в ВВ. АГ ВХ ЯУ стенку ТР больше чем Отсюда следует, что давление на всю стенку АСВВ больше, чем совокупность тел РГйыт~пВН, вписанных в половину столба АСНВК, но меньше совокупности те.1 АСдйаеб~с НВВ, описанных около нее. Если разделить стенку АСВВ более, чем на четыре части, например на восемь, то мы увидим, что разность межи~ объемами описанных и вписанных тел будет равна лишь половине ранее найденной; поэтому стенку можно разделить на такое число равных частей, что разность ме'кду объемами тел, вписанных в половину столба и описанных около нее, будет меньше любого данного объема, как бы последний ни был мал.
Отсюда прихо;ку к следующему заключени1о: зз нАчллА Гидеоствтики ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Давление на часть стенки АГ должно быть болыпе нуля, так как она лежит нин~е уровня Ад, на котором давление было бы равно нулю. Вместе с тем зто давление на стенку АФ' меньше веса тела АЮ, так как зта стенка расположена выше дна ЕЮ, на которое согласно предложению Х давит ь О и т и я Фвг. 2В.
ц Фнг. 26. указанное тело Ай, высотою которого является Ар. Рассуждая подобно предыдущему, докажем, что давление на стенку АСВЕ равно весу половины столба АЕВН (предполагая, как и ранее, что ВН равно ВС). Но параллелограм ЕН всякое давление, отличающееся от испытываемого стенкой АСВЕ на величину, меньшую любой данной, равно давлению, испытываемому стенкой АСВЕ; вес половины столба АСНВЕ есть давление, отличающееся от груза, давящего на стенку АСВЕ, на величину, меньшую любой данной; поэтому вес половины столба АСНВЕ равен весу, давящему на стенку АСВЕ. Пример 11. Дан другой сосуд АВ, наполненный водою; боковая стенка его АСВЕ есть параллелограм, наклонный и горизонту, верхняя сторона которого АС лежит на поверхности воды АСЕС; пусть зтот параллелограм разделен, как и в первом примере, на равпыс части, и пусть 40 есть перпендикуляр к горизонту, достигающий уровня ЕВ.
Требуется доказать, что вес воды, давящей на степку АСВЕ, равен половине столба, имеющего основанием стенку АСВЕ и высотою ЛО. Разделим ЛО на четыре. равных части точками р, д, г. ставня равен АССЕ; поэтому половина столба АН равна половинс столба, имеющего основанием АЭ и высотою АО. Итак давление на стенку АСЭВ равно весу половины столба воды, имеющего основанием АСЭВ и высотою АО. Пример 111.
Дана правильная стенка 4В, допустим„ эллипс; пусть наивысшая точка его А лежит на поверхности воды и через наинизшую точку его В проходит уровень, на который опущен перпендикуляр АС. Требуется доказать, что давление воды на стенку ВА равно весу половины столба, имеющего основанием АВ и высотою АС. Опишем около эллипса АВ параллслограм ЭЖР6 так, чтобы линия ЭВ лежала на поверхности воды и касалась эллипса в точке,А, а линии 6Р касалась его в точке В.
Проведем далее линию Р1, равную РЕ, лежащую в горизонтальной плоскости и перпендикулярную к РО, построим прямоугольник РОВ1 и проведем прямые ЕХ и ЭХХ. Возьмем теперь другое тело, подобнос первому и равное ему по весу, но расположенное таким образом, что линия Ес1 перпендикулярна к'горизонту, как это изображено на рисунке; при этом твердое тело ЭЬРОНХ будет давить на поверхность ЭЛР6. ДОКАЗЛТГЛЬСТВО Давление, которое твердое тело ЭЬРОНХ (фиг.
28) оказывает на дно ЭЕР6, равно давлению, которое вода оказывает на стенку ЭБРС (фиг. 27), как это было только что доказано. Поэтому давление, которое испытывает эллипс (фиг. 28), равно давлению, испытываемому эллипсом АВ (фиг. 27). Ио давление на эллипс (фиг. 28) (как мы покажем ниже) равно весу половины столба, основанием которого является эллипс, а высотою — линия АС (так как если опустить из точки К перпендикуляр на плоскость э~ыйпса, то он будет равенлинии АС); точно'так же и давление воды на эллипс АВ (фиг.
27) будет равно весу половины столба, оснонанием которого является эллипс, а высотою АС. То, что груз, давящий на элгпшс АВ(фиг. 28), равен половине столба, имеющего основанием эллипс и высотою АС, доказывается следующим образом. Проведем ВК, равную и параллельную РХ, и заставим ее перемещаться, оставаясь все время параллельной Р1 так, чтобы конечная точка ее В обошла весь эллипс АВ; она опишет при этом колонну, нА $АлА гидеостлтики ограниченную основаниями АВ, К1 и рассеченную плос- ностью, проходящей через и две однородно н диагонально располоязенных точки.
Но всякая колонна, нме. ющая правильное основание, делится такою плоскостью, проходящей через две диагонально протнвоположные точки, на две равные части. 1?оэтому часть ко- н лонны, расположенная ниже плоскости ЭЕЕП, будет половиною всей колонны АВКЕ, давя~пей на эллипс АВ. 11о колонна АВКЛ равна столбу, имеющему основание АВ и высоту АС, так как ее высота также равна АС.
Отсюда следует, что Фвг. 27. давление па эллипс, АВ равно весу половины столба воды, имеющего основанием эллипс и высотою линию АС, 11ример Х~. Вьппс мы привели три примера, содержа- щих математические доказательства и поясняющие сущ- ность вопроса; сейчас мы приведем численный пример, что танже будет невредно для цела, Дан сосуд АВ, наполненный водою, квадратная стенка которого АЭперпендикулярна к гори- г И Я й Фнг.
29. Фсг. 28. ставни зонту. Пусть высота его СХ>, так жс, как и линия АС, лежащая на поверхности воды, имеют по одному футу длины; величина А1з может быть произвольной. Требуется доказать, что давление воды на стенку АЛ равно весу половины столба воды, имеющего основание АВ и высоту АЕ, т. е. весу половины 1 куб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
