Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика (1123881), страница 31
Текст из файла (страница 31)
е. —, в чем нетрудно убедиться, если >>ц перейти к пределу при г= — со. Для точек нз поверхности шара, т. е. для г=г, получаеч после некоторых преобразований: а. э „ , , Р, — = — — гз — соз т> + —. аз соз 2 р — -'- аз + --, 2 аг ' .б ' 1б Определяя отсюда р и подставляя в вышеприведенное выражение для сопротивления, получаем после в,>полнения интегрирования '); 2 таа )г'.— — — — пр>. — . 3 а1 ал Если шар движется с постоянной скоростью, г. е.
— =О, то только гг что приведенная формула доказывает уже неоднократно упоминавшу>ося теорему, что шар, движущийся прямолинейно с постоянной скоростью, не встречает при своем движении никакого сопротивления. При эточ следует отмщи>ь, что отдельные частицы жидкости, вытесняемые шаром при своем движении в сторону, после прохо>кд ния шара не ззннмшо> своего прежнего положения в пространстве, таь как их траектории являются не зак>кнутыми линиями, з перекрещивающимися кривыми вндз, нзобра>кенного на фиг. 65 з).
Следовательно, шар при свои>> движении. кроме прехолюцего дей твия — - вытеснения встреча мых им на своем пути частиц жидкости в стороны, оставляет за собой еще сохраняю>цнйся след, правда, зна штельный лишь в н посредственной близости от себя. 77. Соирогивление тцара црц н< равномерном потенцизьтьн»м теченип. Однако, при ускоренном движении шара сопротивление получается и в потенциальном течении. Следовательно, для ускоренно>о движения шара в кндкости, не обладающей трением, необходима не только силл, равная произведению нз массы шара нз ускорение, но еще дополнительная сита для преодоления инерции массы жидкости, приводимой шаром в движение.
Из вышеприведенной формулы хтя сопротивления после полстзновкп в нее -- )Р вчесто -,-пг 1'к' есть об нем шара) выте. 1 з кает, что эта дополнительная сила равна произведению из половины массы зсидкостн, выгссняечой шаро», на ускорение шара.
Таким образом движение шара в неограниченной идеальной жидкости можно рассматри- ') 1>н>е>рсыы трсх посл днях слагаечых тождественно рази, нул>г. к1е с к е, ел Вс!>га е >иг Мул о ге. цзп) . 1ч.сьг. я, к. >>еь ц. т)>1зз. зц с>оц1зяеп, Ма1ц.-р1>уз, К1а> е 1888, стр. 347. пвиьшньние творамы импттсьсов вать так, как если бы жидкости совсем не было, но масса шарп увеличилась на половину массы вытесненной пиром жидкости. Такое кажущееся увеличение массы будет различным для тел различных форм и для различных движений. Прп двухмерном течении вокруг круглого цилиндра добавочная масса равна полной массе вытесняемой цилиндром жидкости. Кажущееся увеличение массы может быть вычислено и дли ь(плиндра с некруглым поперечным се <синем. Флт.
65. Абсолютвые траектории еастпп жвлкоств пр» авоекеквв шера в иаеальвой жвткоств (по Е. рвккев Однако, в действительности обтекание шара и круглого цилиндра происходит обыкновенно совершенно по-другому' ), чем это следует по ~сории( поэтому приведенные выводы как раз для шара и круглого цилиндра не имеют особо большого практического значения.
Тем не менее подобного рода исследования для некоторых случаев сохраняют свой интерес и иченно — для таких тел, при обтекании которых получается спектр линий тока, мало отличающийся от спектра при потенциальном ~ечении. Такие спектры линий тока дают тела сигарообразной формы (дирижабли), т((. Приттеиепатс теоремы импульсов.
Локазанная в предыдущем котлера теорема о рав нстве нулю сопротивления шара, равномерно движущегося в неограниченной идеальной жидкости, уже давно известнвя под нааванием „парадокса Дирнхле", легко может быть распространена прн помощи теоремы импульсов тактке и на случай тел произвольной '( Лти малых колебаний (пути малы по сравнению с се) результаты, даваемые теорией потенциального течении, подтверждаются хорошо. 10Ь' гоиготияльииз ов>сихем>>х >ь ! фг>рмы Если ирслп !пожить, >го тело ирн своем рав>!омер!и>м двизшнии в >нидкости испытывает сопротивлеиие, то в >кидлос>и до>ике> было оы оставаться некоторое увеличение импульса, вызваииое !слом, и это уве- личеиие можно было бы обнаружить во всех ко.>трольных поверхностях, проведенных около тела !см.
№ 100 первого >омзВ Предположим>, что дав>ксиве начинается из состояния покоя и пусть жидкое гь ззиимасг „ещр>ии >епное пространство; тогда потенциал скоростей течсиии бу.шт умсиьщагься иа достаточио большом расстоянии от тела пропорцио- 1 ! палы>о -, а скоросгь — пропорционально —.. Давлсиие оудст измещыьси г>' гл 1 гоже пропорционально —, так как, с одной сгороиь>, мы предполагаем! г" ' >то тело движется с постоянной скоростью, а с дру! ой стороны, давле- ние р по своей величине одного порядка с раж. До сих пор рассматривавшееся неустановившееся >сче>иш мы можем сделать ус>ввозившимся, если мы сообщим жидкости и тс.>у с>>прость, равную и прямоиротивоположную скорости телш Проведем вокруг теперь уже покоящегося тела контрольную поверхность в виде сферы С, и опре- делим, как было указано в № 100 перво>о тома, поток имиульсои через иее, а также интеграл давления, взимай но См Полу и>м; с; с, Составляя такое же выражение для следующих коитрольпых поверхностей С.„С,, радиусы которых г, .= П ( га ззмечасм, что оба интеграла с улалением от тела постепенно умсиьшз>отея, тьк >,ак скорости и давления, поскольку оии вызваны '!слом, убь>вшог нрсщорцио- 1 пальио —, площади же контрольных повсрощстсй >щзрастшот ири увс>щ>4 ' чгиии радиуса г только пропорцпоиальио ге, В пределе при г= см об.! иитеграла делаются равными нулю, откупа ледует, что их !умма, которая должка быть независимой от г, всегда равна иущо.
Вп>м до>,а.>,иы теорема, что тело, движущееся равномерна в иеограпиченной ид>з>ьзой жидкости, ие встречает никзкого сопротивления. Следует ззметить, что в приведенном доказагельстве иредпола>аггея, ч>о жидкость пичем не о>раиичеиа и что имеешя только одно ед>п>сгвеп. иое твердое тело, так как иначе был бы иевозмозген предельный верех д к г=ос. Если же в жидкости движутся несколько гол члн жидкость ограничена стенкой, то взаимодействие между огдельиьш ! телами или между телом и стенкой возникает а в случае идеальной .лидкосги; иа этом мы вкратце остановимся в следующем номере. Заметим также, что отсугщвие сопротивтеиия следует также из теоремы энсрющ.
гак как при ра . сматриваемых условиях энергия ие рассеивается, а остается сконцснтрпро. ванной около тела Единственным исключением является случай, логда имеются свободные поверхности; в этом случае, как мы видели в М 13, проис. ходит рассеяние энергии волнами, которые огбразуются при движении те,ю, >О. Взаимодействие веско.тьких движтщихся в жидкости тед. В с>у >зе, когда в идеальной жидкости движется несколько тел, меж:г отдельными телами возникает взаимодействие, правда, н большинстве случзев очень незизчительное. рассмотрим, например, погечпизльиое ге. и(о)пни ин). НР) ньлн)анно!) и))1)пиита()п)н ! гу Фиг. бу. Потенциальное т некие вокруг леух шараа, аасп ло'кениг т тлк.
1о линие саед н юшев нт пентрм, с в)алеет с неправ ен ен тенениа. В пра. странстве немау омрачи давление несколько бол п)е, )е» в по)оан) распалолсн«мх точках в перели и с!алн обоих шаров, повтону шарм «ак бм отталк). наютсе друг от Лруы. чсиис щ)кру) двух шаров, рлышг!ожеиных щк, ч(о лшиж, оели..як(ни)я их Венгры, г!ериеиликулярна к нзираьлсишо течения (фнг. 666 Б про- странстве ь(сжлу шарами линии токз рзсиолагаются теснее, чем В соответ- ствующих мсстзх ио другую сто° ' а" . 1'в рость злесь увели !сна, а аявление, нзоборот, согласно уравнеиин) бернулгш, понижено. Таким об- -- ††- .- -$- ---- — — в разом шары вслелствис большег) Внешнего лзвлеиия ириблиясаютсн лруг к другу, и иог(у жется нис!атлеиис, что Они взаимно ири!Нгинзютсн.
Если,ке пири рзсиол)нкщна лруг,!з лру(оы, тзк ч(о лиши, соьлииюои(ан их 1(нитры, — —.-..:.--- ".-- .-- — — ш сов!юлзсг с нзиранлсиисм течения ~ф . 6у~ „...,„,.... Фнг. вб иоганнов)ь*)ае )е инне в ьру) лв;х шар)в. ра.по.пм. ° инна гаь, Оо .пппш, спел . сосш(ниш1 линннчи тока и нр) - н)ю )ае ик це прм, пер)екали«!аврал н н)же, л ° ншо !стени иск у ш.)аа н ш нн.) та а рас.
ч-жргочноч НРОсг!)знс(ВО чщьлУ п лоне«и «сьа)ь«шсюе, ю» н с) )а тс)вую. июр!чи 7!с:щс!ся болщис стели )цнх»ес.ах по лр) )ю с)*р.ну ш,р е 1.)е).ва- натсль~и). Лсгн!ется Оольз!е и лзн- ннг неньше. »е» в са гв гс)нуюшпх с)ас с аруши; в ре)ульпте шарь) праоппкае тсн 1»г ление; В результате получас гся висчатлсиис О! ш.!кивания и;аров, Гилы Взничолсйствия чсуклу нюрами.
вг)зиик:иощис н рзсстщтрищечыь сг!унии!х, Очень малы Оии Обр!!но ироиорцэ)вильны (щпсрг( и с!с)нии) расстояния. Есгн! в илоскости симметрии (счения, илг)бражснно(О н,) фиг. 66, вообраз(ыь Осскоиечно тонкун) н(ср !унт с генку. то 11 се ир) . СЪТ)ТЯНЯ, ЛЗОТИН( Тс !СННЯ Г) )ЕВИТНО НС НЗСГЕИН(СЯ; СЛСЛОВНТЬСН,НО, Н НЛЕ!.1)п ной жилкости лвиуп и(нйся шар белет как Оы О.((зги,ииаться От степки 80. Соиротивлеиие ири разрывном потри!(иисуьиои гечеиии, Очсвилное несониалшше рс!ультзтов. л)пзсчых (сорной ЛВИ)КУЩНХСЯ В ИНЩК )С(И ! Л, с лействигсльио наблюлаечычи явлениями Ориясь) вскоре к — — уу »1, » Г) ) е .' е'ь леталей тс (синя, (О хо!я бы сопротивления) существование ло. торо(о нельзя было отрицать. Однако, изстоящая причина гилролиишиг!сск()го соиротивлс ния — внутрсннес трение, ло- ГОРОЕ, ЛаК ЧЫ (ИЛЕЛН В Лта 1)О, и обусловгшзаш сопротивление, не ирини !алась В соображение.
Зело В том, !(о грулности инте!рироваиия общего ура) ения вязкой жи!к сти тогла казались совершенно ненреололимыч . Они остаются щкими и сейчас, сели рзссщ(тривать указанное ураннение ао нсей его огииности 123 сопготивогение ивсвкаемых .оса 11оэтому пы~атись достичь цели, предполагая жидкость опять идеа ~вной, но допуская, что в поле скоростей рассматриваемого движения могут быть разрывности, как это, например, можно было наблюдать при истечении струи чер з огверстпе в стенке. допустимость такого предположения о поверхностях разрыва, на которых скорость изменяется скачком (см. о"ь 92 первого тома), вытекала также из следу!оано сооораокений. Вообразим бесконечно длинный круглый цилиндр, который равномерно движется со скоростью и в наорав:!внии, перпендикулярном к своей осн (двухмерное течение).
Тогда в точках Р, и Р. на поверхности этого цилиндрз, расположенных симметрично относительно обеих критич ских точек и в одном с ними поперечном сечении, скорость жидкости будет равна 2и. Для того чтобы давление в этих точках не было отрицзтельным, что физически невозможно, давление в бесконечности долокно иметь из основании уравнения Бернулли 3 значение, по крайней мере рав!юе — чрио или больше' ). Если вместо круглого цилиндра мы возьмем эллиптический с оольпшю осью, перпендикулярною к направлению течения, то скорости в точ!сах, соотвегсгву!оп!их только что упомянутым точкам Р, и Р, булут больше, чем 2и, и именно тем больше, чем меньше малая ось эллипса. Поз!по!у, если сделать радиусы кривизны в точках Р, и Рз достато !по малымн, то никаким повышением давления в бесконе шести нельзя буде~ воспрепятствовать появлению отрицательного давления в точках Р, и Р. Наконец, если сжать эллипс в прямую, перпендикулярную к напрзвлени!о течения, то скорости на краях, в точках Р, и Р,, а вместе с тем и отрицательное давление превысят всякие границы, Таким образом в некоторых случаях физические условия относительно давления не могут быть удовлетворены прн помощи методов теории непрерывного потенциального точен~и!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
