Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Турбулентный пограничный слой на продольно обтекаемой пластине. Сопротивление пластины В начале настоящей главы было показано, что в развивающемся вдоль поверхности крыла пограничном слое наблюдается как лами- нарная, так и турбулентная части. Расположенная между ними пере- ходная область, внутри которой законы движения жидкости еще мало изучены, при больших рейнольдсовых числах невелика и в первом приближении может быть заменена „точкой перехода". Это позволяет порознь рассчитывать сначала ламинарный участок пограничного слоя, для чего применяются методы, изложенные в конце гл. ЧШ, затем турбулентный слой — по законам „установившейся" турбулентности н, наконец, сращивать оба решения вдоль сечения, проведенного через точку перехода.
Обобщим прежде всего на случай турбулентного пограничного слоя основное интегральное соотношение (91) 9 87 предыдущей главы. Для этого заметим, что уравнения турбулентного пограничного слоя могут быть составлены из уравнений Рейнольдса (11) совершенно аналогично тому, как уравнения ламинарного пограничного слоя были составлены из уравнений движения вязкой жидкости.
Будем иметь аналогично (89) 9 87: ди ди й17 1 дя сс — +о — = 77 — + — — ', дх ду Лх Р ду ' (44) дл ду ) ! где -. обозначает касательное напряжение трения между струями осредненного течения, причем -. заключает в себе как турбулентное, так и обычное, зязкостное трение. г Более подробное изложение теории турбулентного движения жидкости пря наличии шероховатости стенок можно найти в следующих статьях: Л. Г.
Лойцявскнй, Об универсальных формулах з теории сопротивления шероховатых труб, Труды ЦИГИ, вып. 250, 193б; К. К. Ф едя ев с кн И Примерный расчет интенсивности трения и „допускаемых' высот шероховатости для крыла. Расчет трения поверхностей с местной я общей шероховатостью. Там же, вып.
250, 1936; К. К. Ф е д я е в с ки й и Н. Н. Ф о ми я а, Исследование влияния шероховатости на сопротивление и состояние погранячяого слоя. Там же, вып. 441, 1939. 622 (гл. ~х туввулвнтнов движвниь Повторяя рассуждение начала 9 87 предыдущей главы и вводя те же самые обозначения для условных толщин слоя 8в и 8ьь, получим вновь уравнение (91) с той лишь разницей, что бв и а** должны составляться при помощи осредненных скоростей.
Величина напряжения трения на стенке т„будет определяться обычной форму/ди т лои вязкого трения т„,=в! — ), так как на стенке турбулентные (, ау)„„ пульсации, нормальные к стенке, вместе с турбулентным трением обращаются в нуль. Таким образом, действительно, уравнение импульсов сохраняет в случае турбулентного пограничного слоя тот же вид, что и в случае ламинарного слоя.
Рассмотрим задачу о продольном обтекании пластины. В этом случае 17 = 1г , У' = О, н уравнение (91) 6 87 приведется к виду: (45) Следуя принятому в теории ламинарного пограничного слоя приближенному методу и предполагая, что во всех сечениях турбулентного пограничного слоя наблюдается установившаяся турбулентность, выберем в качестве семейства профилей продольных скоростей в сечениях турбулентного пограничного слоя те же логарифмические профили скоростей: г — .= 2,о !и — '+ о,б, н г уев 'и р ' (46) ь" зв, Г1' В е„~ — — =- 2, 5 ! и — "' + 5,5 = 2.5 !и ! — ° — ") + 5,5 =.— !' в й;,= —.
(47) = — 2,5!п(рч;, ° — ")+5,5, Простые выкладки приведут к выражениям: — 2,5 !и — „. У что и в сечении трубы, но в отличие от трубы будем считаться с переменностью величины напряжения трения -.„, а следовательно, и пт вдоль поверхности пластины. Составим входящую в уравнение (45) величину очь. Для этого применим сначала соотношение (46) к внешней границе у =8 турбулентного пограничного слоя; тогда будем иметь: ; 97) ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПА ПЛАСТИНЯ 623 После этого найден: о' ' и 1 о' ~' и ( и ) гу) о ~' и 17 — и (У) о "о причем постоянные А„н Аэ легко вычисляются: 1 А,—.— — 2,6 ~ !п(У)а'( —.)= — 2,5.
о 1 А =- — 6,25 ~ 1пе(~ )а'! «) =- — 12,5. о Переходя в предыдущей формуле к рейнольдсовым числам " о." 1 о 1 получим: Определяя отсюда 171 н подставляя в равенство 147), найдем связь между — и 1соо: оо ооо — =2,5!и( )+б,б. 2,5 — 12,5 — "' Заменяя в этом выражении натуральный логарифм на десятичный и — на †,, получим: — = 5,75!Од!7оо — 5,75 !Ой(! — б )1гт !РР"-' )+ 3,22. (49) )г 11оФ' Равенство 149) представляет в неявном виде связь между местным коэффициентом сопротивления пластины сг —— 2 Р 624 [гл. гх туввулвнтиов движвиив и рейнольдсовым числом К»'".
Соотношение (49) может быть значительно упрощено, если, определив !' т 'оИ из (49) путем последовательных приближений или графически, заметить, что последние два слагаемые представляют слабо изменяющуюся функцию К"*; их сумма в широком диапазоне чисел К' " от 10з до 10а может быть заменена своим средним значением 3,3. Это приведет к следующему простому выражению коэффициента местного сопротивления пластины через рейнольдсово !исло К'"': — сг —— (50) 2; !г" (5,75!опйч"' + 3,8)е Обработав большое число экспериментов различных авторов над длинными пластинами при больших значениях рейнольдсовых чисел, Фолкнер' предложил простой эмпирический степенной закон скоростей и сопротивлений, который при пересчете на принятые у нас величины может быть г.д(с гл) представлен в виде: гч т~в З,Π—.— 0,00655 Кч"" '".
(51) Ь Эта формула при больших К"ь с успехом г,! заменяет более сложное !Ю 3 * 1 выражение (50). Рис. 197. На рис. 197 приво- дится в логарифмическом масштабе для сравнения прямая (51) и несколько точек, рассчитанных по предлагаемой выше формуле (50). При больших рейнольдсовых числах совпадение можно признать более чем удовлетворительным и в дальнейшем пользоваться формулой (51). Уравнение (45) после этого легко интегрируется.
Имеем: пачь ляча !г х~ — — 0,00655Квч '", (К = — )' лх дй м ч ~1 интегрирование дает: К" ' '= — ° 0,00655 К + С. 73 (52) Предположим сначала, что ламинарный участок пренебрежимо мал и турбулентный слой устанавливается прямо с передней кромки пластины. Тогда при х= 0 3-"ч =0 или, что все равно, при К =О, К' ": =0; это означает, что С=О. ! Ч. М. Г а ! К п е г, А!ге!ай Епя!пеег!пя, Матей, !943. $97) туРБулентный погРАничный слой нА плАстинг 625 При таком предположении будем иметь: Я = 0,0153 К,~'. Рз) Возвращаясь от рейнольдсовых чисел КТ1 н К к толщине потери импульса бее и абсциссе х, получим: е" е = — 0,015( — „, ) ху'. (54) Отношение толщины потери импульса к абсциссе представляет слабую функцию рейнольдсова числа Ке: аее — = 0,015 к (54') ьч Н= —., = 1,3.
о** (55) С убыванием рейнольдсова числа величина Н несколько возрастает; некоторые авторы принимают Н= 1,4. Определив Кч":, по (51) и (53) найдем: 1 1 1 с = "' =-0,0131 нее ' =0,0131 ° 0,0153 ' К. т 1 2 '"' что дает следующую формулу честного коэффициента трения с,,=0,0263 К.. ~'. (56) Отсюда уже легко получить и выражение полного коэффициента сопротивлении пластины длины 1: И' Сг —— — Р У'~! 40 и .вп.л.г.лы гь Толщина потери импульса в турбулентяом пограничном слое иа пластине растет пропорци11яально абсциссе в степени шесть седьмых; этот закон мало отличается от линейного. Вспомним, что в случае ламияарного слоя на пластике толщина потери импульса возрастала пропорционально корню квадратному из абсциссы, т. е. гораздо медленнее, чем в турбулентном слое.
Соотношение (53) дает хорошее совпадение с формулой Фолкнера, полученной в результате обработки опытов на воде, и подтверждается опытами, проведенными в аэродинамических трубах. Для определения толщины вытеснения 6а при больших значениях числа Рейнольдса можно предложить эмпирическую формулу: ТУРНУЛ РНТНОИ Д НИЖ ИНИН с с с5 с сс сс' ~ сс" с'5 Рф с, с сГ сТ с 2.
ссс~ с Йс со Йс с5 сс сс с» й сэ О 627 $ 97~ ттввхлантный погвлничный слой на пластина Иогеем: 1 ма'х о СГ= 1 — оУ 1 г в ~ сгг1( — ))= — ~ с,дК о о и в силу (56): Сг =- 0,0307 К ", где под гс понимается рейнольдсово число обтекания пластины: У 1 К= —. (57) и прекрасно соответствует опытным точкам чисто турбулентного обтекания пласгинки без ламинарного участка в носовой части. Показанная пунктиром степенная зависимость г =074 Й (59) пригодна лишь при сравнительно малых К, примерно до К=5 ° 10о. При больших 1т эта прямая резко отходит от эксперимегггальных точек, как это хорошо видно на второй половине рис. 198.
Полуэмпирическое обоснование формулы (59) связано с использованием стеленного профиля скоростей в сечениях пограничного слоя, соответствующего сгепенному профилю скоростей в трубе, приводящему к ранее упо- 15 мянутой формуле сопротивления Блязиуса й = 0,3164 К т Современное состояние гидроаэродннамики вязкой жидкости, т.
11. Гос. издат. иностр. л-ры, 1948, стр. 40 — 42. о См., например, Л. 1', Лойцянский, Аэродинамика пограничного слоя. Гостехнздат, 1941, стр. 306. Теоретические (правильнее сказать полуэмпирнческие) формулы (56) и (57) хорошо совпадают с результатачи различных опытов при больших значениях чисел Рейнольдса и могут с успехом применяться для расчета сопротивления пластин при тех режимах обтекания нх, когда ламинарный участок мал. На рнс. 198 приводится сводный график, на ко~ором нанесены экспериментальные точки, относящиеся к самым различным условиям опытов в воздухе и в воде на пластинах, как полносгью гладких, так и со специально помещенными вблизи нзсовой точки шероховатостями, служюцнми для преждевременного создания турбуленгного пограничного слоя; опыты проведены в широких пределах рейнольдсовых чисел.' Предлагаемая сгепенная формула (57) практически совершенно не отличается от старой логарифмической формулы Прандтля (на рисунке — сплошная кривая) С~ — — 0,455 (1о К)" (58) (гл.
гх ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ К'"" — Й; = — 0,00765 (ʄ— К,,), причем, согласно 9 85, Й) =0,664 $' К о (60) (60') Не осганавливаясь на простых деталях, укажем, что учет влияния величины К, на полное сопротивление пластины приводит к переходным кривым, показанным на рис. 198 жирными пунктирными линиями. Для различных аэродинамических труб илн других искусственных потоков положение и форма этих переходных кривых зависят от изменения значений параметра К ,, Величина К , определяется, как уже указывалось в 9 92, в зависимости от турбулентности набегающего потока, шероховатое.и поверхности вблизи передней кромки и других причин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
