Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 108
Текст из файла (страница 108)
75 150, 1г1нтегрирование этого уравнения приводит к распределению ско- ростей 608 [гл. гх турвулентное движение или после интегрирования: и = — 1пу+ С. (27) Полагая здесь; и=и „ и исключая С„получим: и — и 1, у оа т. й (27') Полученная формула практически совпадает с (26) и так же хорошо согласуется с опытными материалами при значении х= 0,40. и„„, им 'а„ зг и ад рг гз гг г«га гв гд Дг з,» да Дз «о «г»««з ч Ряс. 190. Применим формулы (26) и (27') для круглых пилнндрических труб, считая Ь равным радиусу трубы а.
Определим среднюю скорость в трубе иар как а 1 иар — — „—., ~ и 2к(а — у)йу. а а = — — — ~ 1п ( — ) 2к (а — у) ггу = па кза' .! ~ а) о р — — — — ~ 1п(~)(1 — У )аг( — ) ='3,75. (28) Совершая указанное осреднение над обеими частями формулы (27'), получим при х = 0,40: 609 5 95) ФОРмулы сопРОтивлвния гладких тРув Эта формула связи между иаксимальной (на оси трубы) н средней скоростью по сечению трубы хорошо подтверждается на опыте, как это видно нз рис.
190. В отличие от' ламинарного движения в круг лой трубе, при котором Я 79) и:и,Р=2, в турбулентном двнже нии это отношение уменьшается с ростом рейнольдсова числа от 1,3 при малых его в пределення скоростей, Рлс. 19!. приведенные в настоящем параграфе, содержат величину ОФ, связанную с неизвестным пока трением на стенке трубы. Чтобы сделать задачу определенной, необходимо найти дополнительную связь между величинами о„ и и„,„ или и,„. Такая связь задается формулой сопротивления трубы турбулентному движению жидкости.
й 95. Формулы сопротивления гладких труб при турбулентном движении жидкости. Ламинарный подслой При приближении к стенке трубы турбулентное трение, как было уже ранее выяснено, должно быстро ослабевать и непосредственно на стенке обращаться в нуль, так как в силу непроницаемости стенки поперечные по отношению к потоку и перпендикулярные к стенке пульсации о' не могут осуществляться, Вместе с тем возрастает роль вязких членов, пропорциональных нормальной к стенке производной 39 Зкк !ВО.
Л. Г. Лоакккскк!. значениях (гс —.' 5000) до 1,15 прн сравнительно больших (К =- :=-3 000 000). Отсюда следует, что при турбулентном режиме профиль скоростей (рис. 191) располагается гораздо выше ламинарного или, как говорят, гораздо более „заполнен", чем при ламинарном, который является более „урезанным", причем заполнение увеличивается с ростом рейнольдсова числа; на рис. 191 этот факт виден достаточно отчетливо. Все формулы рас- о о,! ат аз ц» дз цз йт ав ав !в б1О 1гл. |х туззулентно е движение д === аввяьтс л "- ял где а — некоторая безразмерная константа. Составляя уравнение связи размерностей и сравнивая показатели степени при одинаковых размерностях слева и справа, получим систему уравнений; а + Ь + с =- О, — а — ЗЬ вЂ” с= — 1, — а — 2с=-О, имеющую корнями: а=1, 1 2 ' 1 с= —— 2 от продольной скорости.
Как видно из рис. 191, эти производные при турбулентном режиме движения е трубе имеют гораздо более высокий порядок, чем при ламинарном, что соответствует большему значению лал|инарного трения на стенке. Можно в грубом приближении предположить, что весь поток в трубе разбивается на две характерные области: 1) ядро течения, где поток чисто турбулентен и влияние вязкости пренебрежимо мало, и 2) пристеночный слой, где движение, наоборот, целиком определяется силами вязкости, а члены, представляющие турбулентное трение, ничтожны. В отличие от турбулентного ядра течения пристеночный слой называют ламинарным подслоем.
Не следует смешивать понятия пристеночного, ламинарного подслоя в трубе с ранее введенным представлением о ламинарном пограничном слое. Напомним, что движение вязкой жидкости в пограничном слое определялось как силами вязкости и давлений, так и инерционными влияниями: движение в пограничном слое не было равномерным, а сам слой нарастал по то:пцине вниз по потоку.
В рассматриваемом сейчас ламинарном подслое движение равномерно и происходит под действием только движущего перепада давлений и сил вязкости. Пограничный слой граничит с внешним безвихревым потоком, ламинарный подслой располагается под турбулентным ядром течения, законы движения которого не имеют ничего общего с потенциальным потоком. Нам придется в дальнейшем иметь дело с турбулентным пограничным слоем; в этом случае вблизи стенки, на дне турбулентного пограничного слоя, будет существовать ламннарный подслой.
Сделаем следующее допущение относительно толщины ламинарного подслоя 3,; будем предполагать, что толщина подслоя может быть представлена в виде степенно~о одночлена, зависящего лишь от физических констант жидкости р и р и напряжения трения на стенке ".: 9 95) ооеммлы сопготивлания гладких твтв 611 Из этих соображений вытекает, что толщина ламинарного подслоя о, должна определяться формулой: оа = айр Р нлн, пользуясь представлением о динамической скорости оо = 1 -Г, о,=.
а —. Оа ' (29) Представляя это выражение в виде — =а' птаха оь йы а н и,г т заключим, по при больших й, величина о, должна составлять ничтожную часть диаметра круглой трубы или расстояния между стенками плоской трубы. В связи с этим с пренебрежимо малой ошибкой можно считать на всем протяжении подслоя профиль скоростей прямолинейным и определить скорость и, на внешней границе подслоя, как и (.
уЛ,— ' Подставляя сюда выражение о„согласно (29), получим: (29') и„= — ао и =.—.— — 1л — -(- ао. — — 1и а, оо уоо к ъ а илн, переходя от натуральных логарифмов к десятичным, и 2,303 уоо 2,303 — = — ! оп — о + а — — ' 1од а. а а а (зо) 39* Формулы (29) и (29') заключают в себе новую константу а, которая вместе с уже ранее введенной константой а представляет совокупность двух характерных констант турбулентности. Определить эти две константы в настоящее время можно только из опытов, причем только опыты могут подтвердить тот основной факт, что х и а действительно представляют постоянные величины, не зависящие ни от физических свойств жидкости, ни от скорости движения, ни от размеров трубы, или, более точно, не зависят от рейнольдсова числа.
Используем для определения констант формулу распределения скоростей (27), правильность которой в турбулентном ядре течения вблизи ламинарного подслоя (у (( Ь) подтверждается и точными и приближенными соображениями подобия. Полагая в равенстве (27) у = о„ и = ил, определяя С и исключая его из (27), будем иметь: 019 1гл.
1х '!угвулентное движениь На рис. 192 приводится сводка результатов ранее цитированных опытов Никурадзе, проведенных в широком диапазоне рейнольдсовых и уо чисел и обработанных в координатах 9=- —, т) =1онУ *. Как это юь ч следует из графика, экспериментальные точки вполне удовлетворительно располагаются по прямой — = о,75 1о~ — + о,о. и . уо„ ж) Сравнивая экспериментально полученные коэффициенты в формуле 131) с соответствующими теоретическими величинами, входящими З4 ЗО 20 10 10 10 12 14 10 10 20 22 24 20 2В ЗО З2 24 Зб ЗВ 4,0 42 44 40 4В $0 Рис.
192. в коэффициенты формулы (30), найдем вновь х:-'=. 0,40, а значение а оказывается близким к 11,5. Невозможность чисто теоретического определения констант х и и делает изложенную теорию турбулентного движения в трубе полу- эмпирической. Располагая формулами распределения скоростей ивыражением для толщины ламинарного подслоя и скорости на внешней его границе, легко выведем и искомые формулы сопротивления. Напомним, что, аналогично тому, как это было сделано в теории ламинарного движения в трубах (9 79), задача сводится к определению зависимости коэффициентов сопротивлений А или 4, входящих 9 95) ФОРыулы сопготивлеии/! гладких ТРув 513 в формулы (29) или (32) 9 79, от рейнольдсова числа. Нег никакой необходимости повторять выводы этих формул для турбулентного движения, так как предыдущий вывод не заключал в себе ничего специфического для ламинарного движения н относился, очевидно, к обеим формам движения.
Согласно (32) $ 79, используя величину оь .= 1/ — '", будем иметь: 1/ 2 вью или: иьг 2 2г'2 о 1'! и„„„~ 2 Г о„)' 6 (32') — "" -= — !и( — '1+ а. — — !п а . 5,75 !од( — "' )+5,5, (33) и„„! /гав', !, Г гиь . которую, пользуясь (32'), можно преобразовать еще к виду.
= 5,75 !од (й,„фà — ) + 5,5, Будем иметь окончательный вид формулы сопротивления: — =- А' !од (!Х,„у' ф) + В'. (34) 1 Линейность связи между = и !ои(11 (' ф) хорошо подтвер- 1~6 ждается опытными точками, как об этом можно заключить из рассмотрения графика на рис. 193. Прямая 7 проведена при А'= 3,77; В' = 4,7 5, прямая 2 — при А' = 3,90; В' = 4,16. Переписывая (33) в тождественной форме Для получения формул сопротивления можно использовать любой из следующих двух путей: или применяя к оси трубы формулу скоростей (31), в которой коэффициенты определены при помощи значения скорости на границе ламинарного подслоя, или, наоборот, применяя к границе ламинарного подслоя формулу (27') с постоянными, определенными через скорость на оси трубы. И тем и другим приемом получим одну и ту же формулу 614 !гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
