Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Действительно, в силу линейности операции осреднения (3) и равенства (4), имеем: << =и — 6=0. (6) В дальнейшем придется иметь дело исключительно с квазистационарными турбулентными движениями. В атом случае осредненное э 93] основныв тяавнвния осявднвнного движения значение в будет функцией только координат, так что, если ф означает еще одну пульсирующую функцию времени и координат, то, согласно (3), получим (черта сверху означает операцию осреднения (3), проведенную няд всем выражением, стояпгим под этой чертой): (6) Если турбулентное движение не квазистационарно, то равенство (6) приходится лостулирояать как дополнительное свойство осреднения (3). По определению осреднения (3) сразу следует, что среднее значение производной от некоторой функции по координате равно производной от среднего значения функции по той же координате — — ит.
д., дт дт дх дх (7) так как операции дифференцирования по координате и интегрирования по времени независимы. Таким же свойством обладает и производная по времени. Действительно, по известной формуле дифференцирования интеграла с переменными пределами получим: г+ т 2 1 д я; )г1т= — 3 ~ о(х, у, я; т)а=в и, следовательно, д.~ дя г)г бг ' (3) Пользуясь частью постулированными, частью выведенными из определения закона осреднения (3) свойствами,' можно получить дифференциальные уравнения осредненного движения несжимаемой жидкости. Возьмем для этой цели основную систему (14') гл. ЧП) уравнений т Закон осреднения (3), использованный для турбулентного движения впервые Рейнольдсом, является простейшим пз возможных законов осрелнения.
Несколько подробнее вопрос об осрелненпи (сглажяванпи) пульсирующих функций изложен ао втором томе курса Кн бе ля, Ко ~ива я Розе (стр. 575, изд. 134З г.). (гл. гх ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ движения вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии объемных сил: ди — — + т7аи, 1 др Р дх — — + У7ае, 1 др Р дт — — Г- т7аи, 1 др р де дге — = — О, дх и, пользуясь уравнением несжимаемости, перепишем первое из уравне- ния системы (9) в виде: ди, д (ии) > д (ио) < д(им1 де ' дх ' ду г дх 1 д + 7зи. ;. дх Произведем над обеими часгями этого равенства операцию осреднення (3), тогда, согласно (7) и (8), при р= сопя(, у=сопя(, будем иле гш ди дии, дио диж 1 др (9') дг дх ' ду де; дх Рассзго грим входящие сюда средние значения от произведений проекция скорости. Заменим в ннх и, о и те разложениями на осредненные и пульсационные скорости (2), тогда по определению операпин (3) н (6) будем иметь: ии (и-л и ) (и+ и ) = ил+сии'+ и' =- ил+ 2и и'-ьл и', ие = — (и+ и ) (о+ е') = — ив+ ио'--, '- еи' —.
и'о' - —. .—— и е+ ио + оп'+ и'о иа' —.— (и + и') (те+ те') == и те+ ия' + тли' -1- и'те' = =па+осе +ал — иа ялн, используя (5): ии = и'+ и', ие = ие+ и'о', иге= ите+ и'г' . Уравнение (9') может быть после этого переписано в форме: да + див, дий дйте ди ди — +и— дг дх до до — + и— дг дх дю дю — +и— дг дх +е — + ю ди ду +о — + те до ду +э — + те дю ду ди, до — — -(- — + дх ду 1 др „- ди'Я ди'о' дл'мт + у7аи —— а дх дх ду дх 9 93) основные тьавнвння оснвднвнного движения 599 Замечая, по осрелнение уравнения нес»тямаемостп лает ди до дм (10) + + дх ду д» перепишем предыдущее уравнение в виде: ди — ди — ди — ди 1 др я- ди'в дики д~с'и' — +и — +э — + те — = — — — -ьр >>зи — — — —— дг дх ду д» я дх ' дх ду д» Г!овторяя совершенно аналогичные преобразования с остальными двумя динамическими уравнениями (9), получим искомую систему дифференциальных уравнений осреднеиного движения (уравнения Рейнольдса): >'ди — ди — ди — да ' р 1 — + и — + 'о — + ти — 1 = ' (,дг дх ду д»> = — — + 9 >'ти + — ( — ри' ) + — ( —;.>>то') --'- — ( — ои'ш'), дх ' дх ду ' д» вЂ” — +г~"-, ! — Рие)+ ( — 1ш ) — — ( — Рви) >'дю — де — дй — дш; о( — +и — +о — +ш — )= др я — д —,, д —, д,г = — — +рая + — ( — йи' ')+ — ( — (о' ')+ -„( — ! ') д» ' дх ду ' д» да, до дй — — + — = О.
дх ' ду д» > (11) Сравнивая зти уравнения с общими уравнениями „в напряжениях' (30) гл. П: !ди, ди ди дит др „др а др, > — „'- и — + в — ~- и — > "+ и (.дг дх ' ду ' д») дх ' ду д» ' ди 'да , до можем представить себе правые части системы (11), как результат подстановки в уравнения .в напряжениях" на место величин р р „...
суммы вязких напряжений, определенных обобщенным законом Ньютона, и дополнительных турбулентных напряжений, возникших за счет наличия в потоке пульсаций: 1гл. зх ттввтлвнтнов движвнив причелг дополнительные турбулентные напряжения образуют, так же как н вязкие напряжения, свой симметричный тензор второго ранга: — ри'е — ри'и' — ри тв l (12) — ри'~' — рп то гя — ртв — ри'ю' — ро'тв' Итак, приходим к выводу: уравнении осредненного турбулентного движения могут быть написаны в той же форме, что и уравнения действительного движения, если только, помимо вязких (ньютоновских) напряжений, учесть енсе дополнительные турбулентные напрялкения.
Система уравнений (11), состоящая из четырех уравнений, содержит в себе, кроме четырех неизвестных — давления и трех проекций осредненной скорости, — еще шесть неизвестных турбулентных напряжений р „, р ..., относительно которых остается сделать какие-то дополнительные предположения; в противном случае система (11) будет неопределенной. Уравнения Рейнольдса (11), так же как и входящие в них компоненты турбулентных напряжений, можно было бы представит» я любой системе криволинейных координат;' для дальнейших целей достаточно уравнений в декартовых координатах. Если попытаться подчинить турбулентные напряжения закону, представляющему впало~ обобщенного закона Ньютона, то, например, в случае плоского прямолинейного и параллельного оси х осредненного движения со скоростью и, являющейся функцией только от у, будем иметь: — ай раз =- — ри'и' = А —, (13) Величину А можно при этом рассматривать как коэффициент некоторой воображаемой „турбулентной" вязкости, обусловленной не иикропереносом количеств движения молекул, а возникающим между слоями осредненного движения за счет поперечных пульсаций ьгакропереносом количеств движения конечных объемов жидкости, и назвать коэффициентом турбулентного обмена.
Если в данном частном случае движения в плоской трубе предположить, что А есть некоторая постоянная величина и, подсчитав сопротивление трубы, подобно тому, как это было сделано ранее в случае ламинарного движения, непосредственно измерить действительное сопротивление и сравнить з Л. Г.
Л о й ц я н с к и н, Аэродинамика пограничного слоя. Гостеяизлат. 1941, стр. 273, а также „Современное состояние гндроазродипамикн вязкой жидкости", т. 1. 1 остехиздат, 1943, стр. 224. в 931 основныв хвлвнвния осввднвнного движвния 601 р., = (р+ А),—, (14) Только в непосредственной близости к стенке трубы слагаемое р сравнимо по величине с А, причем на самой стенке А = О, и напряжение трения совпадает с принятым в теории ламинарного движения (см.
предыдущую главу) выражением Гйи~ (Р в)и — е и р' "У,'в=о (15) При удалении от стенки величина А очень быстро возрастает, доходя до тех больших значений, о которых была речь ранее. В связи с этим почти повсюду в потоке, исключая только область, непосредственно прилегающую к стенке трубы, можно пренебрегать вязкими напряжениями по сравнению с турбулентными; в дальнейшем этим выводом придется пользоваться постоянно. Подчеркнем, что высказанное положение совсем не означает возможности вообще пренебрегать вязкостью жидкости в турбулентных йи процессах; дело идет лишь о пренебрежении членами вида р — по иу йи сравнению с А —, где и — осредиенная скорость. Влияние же иу ~ Заимствуем этот обрат из локлада И. А.
Кибела ва совещании по «урбулеятяостн в Научно-нссл. яя.че гидротехники в январе !9ЗЗ г. (См. Известия НИИГ, т. 1Х.) результаты между собой, то полученные таким образом величины А окажутся в десятки тысяч раз превосходящими величину коэффициента молекулярной вязкости р. Образно говоря, коэффициент турбулентной вязкости А воздуха оказывается равен коэффициенту обычной молекулярной вязкости сиропа, а соответствующий кинематический коэффициент турбулентной вязкости е = — — кинематиче- А р скому коэффициенту молекулярной вязкости ч сапожной ваксы.' Однако измерения показывают, что величина А, кроме того, в отличие от р„не является постоянной, характерной для жидкости или ее турбулентного движения.
Коэффициент А резко меняется по сечению трубы от очень малых значений вблизи стенки трубы до некоторого максимума примерно на расстоянии полурадиуса трубы от ее стенки н затеи вновь убывает до некоторого минимума на оси трубы. Рассматривая осредненное движение в трубе, можно написать выражение полного касательного напряжении „трения", понимая под последним как ламинарное (молекулярное), так и турбулентное трение, в виде: >гл. >х тувву>шнпюе дВижение вязкости на внутренние процессы (затухание и зарождение возмущений, нагрев потока и др.) сохраняет чрезвычайно важное значение в любом пункте турбулентного потока.
Предположение (13) (илн аналогичные предположения, относящиеся к турбулентным потокам общего типа) содержиг величину „коэффициента турбулентного обмена" А в качесгве переменной по сечению трубы неизвестной величины, нуждающейся для своего определения в дополнительных теоретических соображениях. Современная измеригел>,нзя техника в гидроаэродинамике позволяет получа>ь не только осредненные во времени и пространстве, но и мгновенные значения скоростей и д>аления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
