Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 107
Текст из файла (страница 107)
' Пример такого рода замеров был показан в начале насгоящего параграфа 1рис. 187), П дальнейшем при сравнении результатов георгзических расчетов осредненного туроулснгного дан>кения с опытными материаламн всегда в скрытом виде будет предполагаться, чго пространственно-временное осреднение, производимое приборами, совпадает с принятым законом осреднения 13).
1>оне п>о, гакое предположение является новым дополнигельным допун>ениеч и может вызвагь сомнение в возможносги сравнения результатов георети>ескп расчетов турбулентных течений и опытных замеров. Згог факт, а также встречающаяся в дальнейшем необходимость принятия ряда других дополнительных попу>ценив, поникаю цзя по ходу изложения тсорегических методов расчета турбулецпшг«п>токов, паклздываег нз Все содержание настоящей >лавы об>ций о|печагок ~>еэзкон>еннос>и и несгрогости.
На современном этзне своего развития динамика гурбуленгного движения является, без сомнения. однич из наиболее эмпирических разделов творе гическг>й гидроаэролпнампки, Ак гуальпос,, практических приложений теории турбулен>Ного движения, относящихся к самым разнообразным разделам совремепнои техники. заставляет исследователя не пренебрегать и такими эмпирическими путями.
8 94. Турбулентное движение жидкости в плоской и круглой трубе. Логарифмические формулы скоростей В основу всего последующего положим рассмотрение осредненного турбулентного движения в плоской трубе >рис. 188). Принимая движение установившимся, будем считать единственную составляющую осредненной скорости и (черточку сверху в дальнейшем опускаем, так как неосредненные скорости больше всгречап ся не будут) функцией только поперечной координаты у.
' Рекомендуем для оэнакомзе>шя с этям вопросом помещенный иа стр. 387 — 396 нашей мовографпя „>>эрадннамика пограничного сэоя" параграф .Методы экспериментального исследования турбулентных течений', составленный Е. М. Минским, Ем, также заклю штельный пзраграф пзстоящей книги. 9 94) движанив жидкости в плоской и квгглой ггхве 603 Разобьем' осредненный поток в обласги от стенки до оси трубы на параллельные оси слои ширины 1» и рассмотрим каждый такой слой отдельно с его скоростями и(у) — и(у<) по о.гношению к „дну' слоя у =у,; верхняя половина потока симметрична нижней и может отдельно не рассматриваться. Если пренебречь влиянием вязких членов, роль которых, как ага дгдггм это указывалось в предыдушем ) и< > параграфе, при удалении от стенки резко убывает, то ) ' а»к' можно попытаться подобрать величины 1» так, чтобы кривые относительных скоростей в раз- Рнс.
188. личных слоях были бы подобны между сооой. <»ля етого составим о ~евндное разложение и' (уг) ( г — у;) + — ии ( гз) Π— у,)з+,, и (у) — и (у<) и (у; г) — и (у») и'(г;) 1; — — ии(у,) 1;. +... »и (у,) г у„) 1,и (у,),у у 1 у — у, 2 1+ (16) 1» 1 1<и" (г») 1 1'и"'(гг) 1+ — ', '+ — — ',— ' 2 и'(у) 6 и'(г) и потреоуем, чтооы в сходсгвепных »очках слоев, г. е.
при одинаковых для всех слоев знзчеииях отношения - ., величины у у< и (у) — и (у») также имели бы одно и го же значение. Отсюда вытеи (у»,,) — и (у») кает требование, чгооы каждая нз величии: 1»и (у») »-,и (г») и' ( гг) ' и' (уг) оыла одна и та же для всех слоев 1е Это требование можно переписать в виде (опускаем индекс „<" и обозначаем символом пропорциональность): и' и" (16') г Л.
Г. Л о й ц я в с к в й, Турбулентное движение жидкости и внутренняя задача. Изв. Научно-неслед. ив-га гидротехники, т. ! Х, 1933 и того же автора ,О некоторых приложениях метода подобия в теории турбулентности", Придя. матем. и механ,, т. !!. вып, 2, 1935, 604 (гл. |х тхввзлвнтноа двнжанив Не составит труда убедиться, что всему этому бесконечному ряду условий удовлетворяют как степенная, так и логарифмическая функции вида: и=А(у уо)"'+В, и = — С!п(у — уо)+йг (17) и при этом длина интервала 1 оказывается линейной функцией 1= х (У Уо). (17') Здесь А„В, С, 77, уо и х — некоторые константы. Линамическим следствием такого подобия будет служить, как было указано в конце 9 78, одинаковость для всех слоев коэффициента сопротивления, определяемого как отношение напряжения трения (или перепада давления) к характерному скоростному напору: г(и(уг,) — и(ут)Р,„А( )1о)1+ 11 и" Ьд+ 2 ' и'(УД По предыдущему отсюда следует яи та х = сопя! о)Я( — 1 .
иу (18) Ьр ° 2Ь = 2т Р., получим: , (1 У) (20) Сравнивая (20) с (19), убеждаемся, что логарифмическим распределением скоростей (17) можно пользоваться приближенно в области значений у, значителюю меньших 7г, но в то же время в некотором удалении от стенки, где влияние вязких членов пренебрежимо. Подставляя в выражение напряжения трения (18) полученные степенные и логарифмические выражения (17), будем иметь: ; = — сопя! йле (у — у )Я лгоАа (у — у )эи-а = сопя! ° (у — у )Я~, ) са (19) -.
= сопя! ° Рхе (У вЂ” Уо) ° — я = сопя!. (у — уо)' Сравним эти выражения с легко непосредственно выводимым распределением напряжения трения в плоской трубе. Для этого применим теорему количеств движения к объему жидкости, заключенному между двумя линиями тока, находящимися на расстояниях у и 2й — у ог нижней стенки трубы, н двумя сечениями трубы, расстояние между которыми Е; будем иметь: йр ° 2 (л — у) = 2 -. ° Е. Леля это равенство почленно на частный его внд при у=0, т.
е. для полного сечения трубы, когда т=т„(трение на стенке), $94) движение жидкости в плоской и кггглой тягая 605 Примером движения, в котором условия подобия выполняются точно н действительно имеет место логарифмический профиль скоростей, может служить предельное движение жидкости вдоль одной из стенок трубы, когда вторая стенка удалена на бесконечность (й- оо при фиксированном у). Ле~ко убедиться, что в этом случае во всем потоке будет выполняться условие т = сопя! = т, и логарифмический профиль скоростей станет единственно возможным.
Что же касается степенного выражения (17), то оно, как оудто, 1 может дать совпздение (19) с (20) при уз= ге и т=-, но приводит при этом к профилю скоростей с бесконечным наклоном на оси трубы. При малом т величина е будет слабой функцией у, что приближает степенной закон к закону т= сопя!. Итак, точное выполнение системы равенств (16') невозможно. Если пренебречь влиянием производных от осредненной скорости порядка выше второго, то условия точного подобия (16') заменятся одним приближенным условием подобия относительных осредненных скоростей в слоях ди Йу ази дгз иг 1= — х — =— и» (21) где х — некоторая постоянная, а знак минус выбран нз условия, чтобы при выпуклости профиля скоростей в сторону положительных у (и' ) О, и" < 0) величина 1 была бы положительной. При этом формула напряжения трения (18), если константу вкшочить в определение величины 1, может быть переписана в виде: т =Ргя( — ) .
(22) 1 !.. Рга ой!1, Ппгегзисйаяяеп гиг аячдеЬ!йе!еп ТшЬа!епг. Ле!!гсвг!1! Гвг апйечапй!е Магвеш. ипй Месвапйп 5 (1925), и обзор того же автора ,Результаты работ последнего времени по изучению турбулентности', помещенный з начале сбориика статей,Проблемы турбуленткостн", Гостехиздат, 1936. Предлагаемая интерпретация длины 1, как величины, выражающей приближенный закон дробления потока на слои с подобными распределениями относительных осредненных скоросгпей, оказывается совершенно достаточной для построения решения задачи о турбулентном движении жидкости в трубе и пограничном слое.
Формула (22) была предложена Прандтлем, ' исходившим из представления о сходстве между явлением переноса количества движения прн турбулентном перенешивании и при столкновении молекул в ламинарном движении. Величина 1 трактуется Прандтлем как турбуленнгный аналог „пути свободного пробега молекулы' н называется путем перемешивания. 606 (гл. гх ттввклентнов движениг. Уравнение это может быть переписано в форме (знак минус в правой части выбран в связи с тем, что и" (О): н» и 1 (23) где обозначение г.. Р (23') введено для величины, имеющей размерность скорости, но не являющейся вместе с тем скоростью какой-то конкретной точки; в силу своего чисто динамического определения через величины т„н р, величина о„могла бы быть названа динамической скоросглью.
Уравнение (23) легко интегрируется н дает первый интеграл: — — ' = 2 —" й 1с ! — -'+ С. 1 х / 1 л' е,„ л (24) Для определения постоянной интегрирования С потребуем, чтобы при малых у, когда подобие становится выполнимым точно, величина 1, определенная по формулам приближенного подобия (21), (23) н (24), совпала бы с формулой (17') точного подобия. Подставляя значения и' и и" из (23) н (24) в (21), будем иметь: Л! ол У с— у =- — 2хй~! — =) — Сна х/ 1 —— и, согласно поставленному условию, при любых у(~уг должно выполняться равенство: — 2хЬ(1 — — ! — Со.
(1 — — — ) — — х(у — у ). Л) "(, 2 Л) ! Т. К а р ма н, Механическое подобие и турбулентность. Сборник статей „Проблемы турбулентности', Гостехиздат, !936, стр. 271 — 28б. На наш взгляд, нет необходимости придавать величине 7, входящей в формулу (22), именно такое физическое истолкование. Формула, аналогичная формуле (21), была на основании неоправданно сложных теоретических построений выведена Карманом. ' В связи с равенствами (20) и (21) формула (22) приводит к следующему дифференциальному уравнению для определения и(у); 94) движение жидкости в плоской и ш гглой тгэве 607 Отсюда следует: 2кв с,'— о, Уг --11 и по 124): 2яа / у м 15 14 На рис.
189 приводится сравнение теоретической кривой (26) при х = — 0,40 с экспериментальными точками, полученными Никурадзе в круглой цилиндрической трубе в широком диапазоне значений чисел Рейнольдса (от К = 4 ° 10з до К =- = 3240 10а), построенных по средней скорости в трубе и ее диаметру а'= — 2л. ' Как видно из графика, теория, относящаяся к плоской трубе, оказывается пригодной и для круглой трубы; некоторое отклонение экспериментальных точек вблизи стенки при сравнительно малых рейнольдсояых числах объясняется отмеченным уже ранее влиянием молекулярной вязкости, не учитываемым теорией.
Заметим, что более простое, чем выражение распределения скоростей основное равенство (22), положить в га з а д1 огоздьцз дзйг йв оа гд Рис. 1Ф. (26), и очень близкое к нему можно получить, если, используя нем приближенно Тогда будем имепс .а я~ля~' ' И, Н и к у р а дз е, „Закономерности турбулентного движения жидкостей в гладких трубах' — указанный на предйдущей странице сборник статей „Проблемы турбулентности, стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
