Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (1950) (1123863), страница 101
Текст из файла (страница 101)
В этом случае вместо (113) получим систему уравнений: 1Я+ аль+ — (/а — 1) М р" =О. ~ 4 (1 17) 7(ь)= 8 (7г — 1)Моб(".)+ 8. / (лч(б))'Н:+С,, (118) где введено обозначение 6(ь) = — 2 ~ Ь' (ь)) ~: ~ (мя(ья)) (119) а произвольные постоянные интегрирования С и С, должны быть определены из начальных условий (115) или (1168 Полагая ".=со, Первое из эгих уравнений, разрешаемое при граничных условиях (114), ничем формально не отличается от соответствующего уравнения (71) и граничных условий (71') задачи о пограничном слое на пластинке в несжизгаежой жидкости, гак гго дгш определения функции о(") можно пользоваться приведенной ранее табл.
14. Но тогда, интегрируя второе уравнение системы (117), подобно тому как это было сделано в конце 9 85, найдем значение 1(5) в форме: 9 89[ льминАРный слОЙ В сжимАвмом ГАЗЕ (и = 1) 569 найдем значение постоянной С, = 1; полагая ". = О, получим 1 — г„-[- — '(А — 1) м'„а (О) С— (120) 8 3 [Чч(:['-' 0 Обозначим теперь через г', и Тг значения теплосодержания и температуры пластинки в условиях (116) отсутствия теплоотдачи, т. е. тогда, когда пластинка играет роль измерителя температуры потока — лластинчатого термометра.
Условие отсутствия теплоотдачи будет: при г=О Р=О или, переходя к размерным температурам: т,=7 [1-,'- — „' Э(О)(7 — 1)М„'~, (122) где (128) Тогда постоянную С в общем случае наличия теилоотдачи с поверхности пластинки можно представигь, согласно (120) и (121), в следующем виде; 5 — гм (124) — „~ [еч (Т)[' К 1 о Проанализируем полученные результаты. Прежде всего легко убедиться, что при М -+ 0 соотношение (118) в переменной ". совпадет с ранее выведенной формулой (74) для несжимаемой жидкости в переменной ть принятой в 9 85; полученное таким путем равенство [ а (г)[а дг [ьч (1)[ю д= 4 Дифференпируя (118) и замечая, что по (119) будет 8'(0) = О, найдем в этом частном случае С= О, т.
е. по (120) при юч, = гг получим гь = 1 + — (7е — 1) М, 8 (0) (121) 570 динамика вязкой жидкости и газа !гл. ътгг дает распределение температур в пограничном слое на пластинке, обтекаемой несжимаемой жидкостью цри учете линейного закона связи между коэффициентом вязкости и температурой. Возвращаясь к случаю газа, движущегося с большими скоростями, когда влиянием сжимаемости (числа М ) пренебрегать нельзя, будем предполагать, что функция 8 (С) затабулирована для различных Для дальнейшего особенно важно знать величины 6(0); приводим их значения при нескольких о: а = 0,6 0,8 1,0 10 15 8 (О) = 3,08 3,58 4,00 11,86 14,14 Обращаясь теперь к формуле (122), видим, что она представляет для случая и = 1 решение задачи об измерении температуры газового потока Т= Т при помощи непосредственного замера температуры Т = Тм = Т, поверхности продольно обтекаемой этим газом пластинки, при условии, что тепло ог пластинки не отводится (нет теплоотвода через державку и проволочки измерительной термопары).
Как наглядно показывает формула (122), такой пластинчатый термометр будет вместо температуры потока Т показывать тем большую температуру Т„ чем больше число М . Это и естественно, так как пластинка тормозит поток н, вследствие перехода энергии потока в тепло, должна дополнительно нагревггтьсж Конечно, это торможение будет нс нзэнтпопическим, так как связано с переходом механической энергии к тепловую и повышением энтропии. Однако, как это сразу следует из формулы (122), при а = 1 и д(0) =- 4 термометр будет показывать температуру здиабати ~еского и нзэнтропического торможения /г — 1 з (7г)а 1 = Т ~ 1 М" ~) = 7о1 прн других значениях с это уже не гак: при " < 1 Т, < 7'о, при о ) 1 Тг) То.
Формула (122) может служить для вычислении поправок на указания пластинчатого термометра в газе с ззданным числом с, отличным от единицы. Температуру, определенную по формуле (122), будет также иметь поверхность самолета или снаряда в установившемся их движении. При больших значениях М эти температуры достигали бы катастрофических для металла и материалов значений; для борьбы с этим необходимо применять охлаждение поверхностей изнутри. Имеющее место при высоких температурах влияние лучеиспускания также способствует понижению поверхностной температуры.
' г И. А. К и б ел ь, Пограничный слой в сжимаемой жидкости с учетом излучения. Дока. АН СССР, т. ХХЧ, 1гт 4, Кййсй 9 89) ЛАыинАРный слОЙ В сжимАемоы газе (В ~ 1) 571 Для того чтобы определить коэффициент теплоотдачи пластинки, имеющей температуру Т= Т, вычислим размерную производную от дТ температуры по нормали к пластинке — на поверхности пластинки. ду Имеем, переходя к размерным величинам: им ! — дТ 2, / Ъх Р дТ Ж т дч т ~l и Р ду ' откуда следует: Но по (118) ( — '1 = — ' 1ььь (О!)', д~)с=.
8 кроме чого, в случае пластинки, по формуле Клапейрона: Т,. Т Используя ранее выведенное значение ьг !124) и исключая гь нли Ти получим: -1 1, 1+. в(о)(л — Имз 1т Т вЂ”; (126! отсюда уже нетрудно в гом илн другом виде рассчитагь геплоотдачу. Обращаясь к вопросу о сопротивлении пластинки, найдем сначала напряжение трения -.. Имеем, переходя к раамерным величинам: ,ь(г) д. / ьььх ! ', ди РГ Р'ьь Ь'ьь Рм д и ' откуда следует: ' 1,/ —" "(О), 2 Р" причем ььь(О) имеет то же значение, что в несжимаемом газе, и равно по предыдущему (и 85) оь(О) = 1,328. Итак, если при л = — 1 конСтанты р и 2 в формуле коэффициента местного трения определены 572 (гл. тап динлмика вязкой жидкости и газл для набегающего потока, то коэффициент местного трения остается техг же, что и е случае несжимаемой жидкости: 0,664 с,= — '=, ~~к„' /, рз те=0,332 ~/ Как можно заключить из проведенных выкладок, для вычисления коэффициента сопротивления и теплоотдачи нет необходимости иметь явные формулы связи между новым переменным ь и обычным уфх, так как в окончательные выражения входят лишь значения величин при у=-0 или у = сю.
Несколько сложнее решается вопрос о распределении скоростей и температур в сечениях пограничного слоя, так как полученные раси 1 пределения скоростей — = — ' ' (г) и температур (118) отнесены $;, 2 к переменному г, выражающемуся через обычные размерные координаты по формуле: з 1 1 // Р 1 т й в свою очередь зависвцей ог распределения температур. Дифференцируя по у, получим: иу 2 «/ з х г(".)' Связь между ".
и у(')/х определится интеграл~ими соотношением: 1(") а" = — а/ . / 1', 2 Р ч 1/х о На рис. 171 и 172 ' приводим графики влияния числа М на профили скоростей и температур при и = 1, з = 0,7 и й = 1,4 для пластинки, теипература которой путем охлаждения поддерживается равной температуре набегающего потока. На обеих кривых обращает на себя внимание факт возрастания с числом М толщины пограничного слоя г Графики заимствуем нз работы хантше н Вената (см. %. %.
н а и тгзсЛ е впй Н. цг епйг, Р)е 1аш)пате Огепгзсй(сЛГ бег еЬепег Р1апе пэ(г впй ойле цгаппейвег(гайипд ... 1аЛгпвсЛ 1942 бег Ревгзсйеп ЛиЫайгогзсйнпя, $.40 — 51). Отметим, что изложенный выше метод, основанный на преобразовании Дородницыпа, отличен от метода иностранных авторов н превосходит его по простоте н наглядности. 574 (гл. Яш динамикА вязкой жидкости и ГА3А К,0 0,5 40 Д0 30 40 ~0 60 Рпс. 174. ар х источника охлаждения — стенки — сначала возрастает, а затем возвра- Г,о щается к прежнему значению, причем максимум отношения (Т Т )'(ТО Т' )' ОХ где Те — температура адиабатически и изэнтропически заторможенного газа, следуя расширению пограничного слоя, отодвигается от стенки, но 4,0 0;0 сохраняет неизменной — свою величину.
Рис. 175. ф — ~ Сравнение этих криву и х вых с кривыми, показанными на рис. 173 и 174, соответствующими случаю сильного охлаждения пластинки ~ Т„, = — Т ), говорит о некотором уменьшении толщин пограничных слоев и естественном снижении максимумов температуры. На рис. 175 демонстрируется факт спрн ления кривых распредеГ~' Й„А ления скоростей в координатах (и1'г', у аг — '" ) по мере роста М ИА,Х в случае отсутствия теплоотдачи с поверхности пластины.
40 (скоростного и температурного). Нрофиль скоростей с ростом числа й1 урезываеглся, становится более пологим. Температура при удалении от У,70 г у„ 90) лАмннАРный слой В сжимаемом ГАза (о= 1) 575 $ 90. Ламинарный пограничный слой на пластинке при любом законе связи между вязкостью и температурой и при числе о=1. Обтекание крылоного профиля потоком больших скоростей .1,.и ! и.~ ..ь г.~,~ й — 1Мг .и г „з или, вычисляя производные и проводя сокращения: Тт" — т — — М' ч =О.
.и и ~ ! т .«З ,! сь ! Возвращаясь и скорости и =- — Ч', перепишем последнее равенство ввиде: 2 Ри" — и'М вЂ” (Ь вЂ” 1) Мз иг' = О и произведем в нем замену: ! = — и'а+ — и, Ф! а си и из а~и — и, аи ли тогда получим: — + (й — 1) М )! и' = О. ли 3" 3 низ СО Отсюда вытекает равенство: из! 3 и'ия — = — (ь — 1) м', ьь' интегрировзние которого приводит к важному соотношению, й — 1 1= — — М и +Си-4-Сь 2 Постоянные интегрирования легко определяются из условий: ! = Ггь г=!, и=О и=1 прн при так что буден иметь: 2 "' )( и+ 2 Ц (127) пли, переходя к размерным температурам и скоростям: Т й — 1 з('и')з (' Т, й — 1 з'! и Т,» — = — — Мз ( — ) +(! — — ~-',- — М" ! — + — ~.
(127') Откажемся теперь от ограничения и = 1 и рассмотрим систему уравнений (1!3) в предположении е = 1, что довольно близко к значению а = 072 для воздуха. О влиянии отклонений а от единицы можно в известной степени судить по результатам предыдущего параграфа при и = 1 и различных с. Исключим при ь = 1 из системы (НВ) величину т, для чего умножим первое равенство на И, второе — нз чм и вычтем одно из другого. Получим: (гл. хпп динамика вязкой жидкости и глзл 676 Последнему равенству можно прпдать простой н наглядный смысл. Обозначим значком (0) сверху ту температуру,:соторую газ получил бы, будучи каким-то адиабатическим и пзэнтропическим процессом переведен из данной гочки потока к покою. Тогда для любой точки пограничного слоя получим: Тсэс.=у(1-~- ' ')Ыэ)= Тс!+ — — ' — ' 2, ' 2 Дстуу й — ! )! Т а й — 1, 7' и = Т'(!+ .—.
—,) = Т(7+ — Ȅ— —,!) СО и, следовательно, на внешней границе слоя (и = (г ) и на поверхности пла- стинки (и = 0) будет: Т(".! = Т (7 + —, — '- Мт ), Тсэс !1грспигыазя (!27с) я форне: Т+, ' Меус.( — ") — Т,„ СО и Т (!+ — М 71 — Тк ! )г — ! полу шм рззенстао: (128) глу'кзщее обобщением известного уэко нам по й 85 соотношения подобия (74') на случай движения сжимаемого газа при больших скоростях. Согласно (!28), можно утверждать, что я лсобом сечении своя, при а = 1 и произвольном показателе степени и н законе зависимости вязкости от температуры, поле ссерепадое тгчперат>р гизи, ссдиабатссчегки и иээнтропичегки пгрег ттанных на покоящийгсс газ„!!одобно полю скоростей. Разыскание профиля скоростей по сечению пограничного слоя, а вместе с тем по (127) и профиля температур, представляет значительные трудности, гак как приводит и необходимости для каждого значения и численно интегрировать нелинейное уравнение второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
