Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 94
Текст из файла (страница 94)
е. пропорциональна квадрату скорости (Г. Еще нагляднее особые свойства ячейковых волн выявляются из формулы (64), особенно в том случае, когда Д = О. Легко видеть, что для всех волн с длиной Л, малой по Если на поле скоростей таких волн наложить поле скоростей У = — с, то получится установившееся течение с волнообразными линиями тока (рис.
299). Взяв для В определенное значение, мы можем вычислить при помощи формулы (65) для заданного значения (г соответствующее значение о, следовательно, и длину волны Л,. Так, например, для ~3 = О, чему соответствует Л, = оо или, иными словами, одинаковая фаза колебаний для всех з, мы получим: сравнению с 8лН, получается практически одинаковый, не зависящий от Л„ период колебаний Т = — = 2>г ~/ —. 2>г >Н И случае же волн на свободной поверхности воды период колебаний, как это следует из равенств (60) и (62) на стр.
129 и 129, равен =Ф т.е. зависит от длины волны Л,. В общем случае ячейковые волны имеют три измерения. Путем наложении друг на друга ячейковых воли с разными длинами Л„Л„и Л, получаются волны более общего вида, причем не всегда ячейковые. Эти волны до настоящего времени мало изучены. Практически интересный случай таких волн будет рассмотрен ниже, на стр. 501. Таким образом, мы видим, что в расслоенной весомой жидкости с плотностью, убывающей снизу вверх, возможны очень разнообразные колебательные движения, следовательно, поведение такой жидкости совершенно пе похоже на поведение однородных жидкостей.
Решения, получаемые при исследовании колебаний в расслоенной жидкости, в отличие от аналогичных задач длн однородных жидкостей, не однозначны. Они делаются однозначными только тогда, когда принимаются во внимание силы трения илн когда возникновение движения из состояния полного покол расчленяется на ряд последовательных этапов. Математическое исследование обоих этих случаев наталкиваетсн на большие затруднения. с) Внутренние волны в слгпжаежой среде. Исследование ячейковых волн, возника>ощпх в сжимаемой расслоенной среде, например, в расслоенном весомом газе, температура которого везде одинакова, труднее, чем изучение таких же волн в несжимаемой среде, так как при вычислениях необходимо учитывать, что каждан отдельная частица газа при колебательном движении адиабатически изменяет свое состояние.
Из уравнения (3) гл.?Л> следует, что в этом случае изменении давления >зр связаны с изменениями плотности Ьр соотношением >Л?> = с,,Ьр, где с„ есть скорость звука, равная Я (67) (68) В этих формулах о и 18 имеют тот же смысл, что н раньше, а жесть отношение удельной теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме. Мы видим, что формула (67) /гг — 1 отличается от формулы (64) только множителем )1,, если не считать некоторой разницы в последнем слагаемом знаменатели, которое нами в формулах (67) и (68) не выписано. От стоячих волн можно перейти к бегущим волнам совершенно так же, как это было сделало в пункте Ъ).
Скорость бегущих волн второго типа равна !'.!2 с= с„1+ — +..., а2 (69) В1 е г !г и ес "г'., Рьузпгппгсье Нуг!гог!упагп!Х, Вег!!и 1993, стр. 341. (- Как показывают исследования', в сжимаемой среде возможны два типа нчейковых волн. Волны первого типа характ терны тем, что они колеблются сравни!т, тельно медленно и что основной причи- Ъ ной их возникновения нвляются перемешенин центра тяжести частиц жидкос- ~'/ тн. Ячейковые волны, возникающие в несжимаемой среде, принадлежат к этому же типу. Волны второго типа колеблются значительно быстрее, и основной причи':,':;",~ :;,"г,", " '';..;;Р,',, Г,г4 пой их возникповеннл нвляется последо- вательное сл4атие и расширение частиц Рис.
ЗОО. Стоячие ячейковые жидкости. динии тока волн второго тиволны звукового типа па изображены на рис. 300. Если ггз+ !82 велико по сравнению с —,, следовательно, если Л, или Л„или оба они 1 Нг' малы по сравнению с 2лН, где теперь Н означает высоту однородной атмосферы, равную круглым числом 8000 ж (см. стр. 28), то для круговой частоты обоих типов волн получаются следующие приближенные формулы: т.е. больше скорости звука. Эти волны можно рассматривать, как результат наложения друг на друга двух звуковых воли, фронты которых наклонены относительно вертикали на углы Если ввести угол 7 в формулу (09), то мы получим: Сзе соа 7' Колебания в земной атмосфере а предположении, что она изотермическая, впервые подробно были изучены Маргулесом'.
С практической точки зрспнн представляет интерес возмущение, вызываемое в горизонтальном потоке воздуха, движущемся со скоростью У, препнтствием в виде горной гряды умеренной высоты, расположенной перпендикулярно к направлению потока. Лира' исследовал такой случай для изотермнческой атмосферы и показал, что возмущение выражается суммой бесселевых функций от аргумента —, ум2гп НОжЕННЫХ На КруГОВЫЕ фуНКцИИ От (а, И На ЕлГЗН, ГдЕ Г = ~/аз+ уз есть расстояние от центра возмущения на поверхности земли, 97 — угол (ЬдЬо = л) и Л вЂ” длина волны, которая приближенно равна зг Н (70) Полученное решение — неоднозначное, но оно делается таким, если ввести дополнительно требование об аяериодическом характере результирующего движения на наветренной стороне горыз.
Заметим, что такое же требование вводится в родственных задачах гидродинамикн4. Формула (70) приближенно применима также к случаю политропнческой атмосферы (р р"), необходимо только подставить в нее вместо ~ величину пм, э Н принять равным высоте соответствующей зе — 1 м — и' г М л г 6 и )ее М., Яиг.-Вег. г1. гЧ)епег А1гагь На. т. 99 (1890), стр. 204, т.
101 (1892)., стр. 697, т. 102 (1893), стр. 11 и 1369; см. текже К озсйш)ел ег Н., Вупапи*сйе Мегеого!ой)е, изд. 2, Ье)рый 1941, стр. 297; в атой книге имеются подробные библнографяческие указания (первое издание переведено нв русский язьпг; К о ю м и де р Г., Динамическая метеорология, Москва 1938] з Ь у г а С., Вецг, з. Рйуж1г. г1. йг1сп Аыповрйаге, т. 26 (1940), стр. 197; см, глюке Коз сй гп)е бег Н., Вупагп)лойе Мссеого!ой)е, изд. 2, стр.
318. зЬ у га С., 2АММ, т. 23 (1943), стр. 1. Из етой работы взят приводимый ниже рис. 301: в ней имеются также многочисленные другие рисунки. лсм в салзн с этим рис. 272Ь вЂ” ! О 1 2 3 Рис. 301. Волны над краем плоскогорья однородной атмосферы (стр. 28). На рис. 301 изображено длл политропической атмосферы распределение вертикальных скоростей, вызванных препятствием в виде плоскогорьн высотой Ь.
Длл наглядности масштаб вдоль вертикальной оси взят в три раза больше масштаба вдоль горизонтальной оси. Мы видим, что перван зона восходящего движения воздуха расположена непосредственно около крал плоскогорья. За первой зоной, на расстоянии примерно одной волны от кран плоскогорья, расположена вторая зона, а за нею — на расстоянии 21г, Зй и т.д.— следующие, более слабые зоны восходящих движений воздуха. Такие восходнщие движения воздуха около гор, как известно, представляют большой интерес для полетов на планерах.
Скорость восходящего движения аоздуха пропорциональна хг — п Б' ~/ и» Й' где й есть высота плоскогорьн; множитель пропорциональности следует отсчитывать по рис. 301. Мы видим, что скорость восходящего движения не зависит от скорости ветра У. От скорости ветра зависит только А, т.е.
горизонтальное протяжение восходящих движений. Заметим, что результаты, полученные Лирой, применимы только к таму случаю, когда скорость восходящего движении мала по срааненшо со скоростью ветра У, следовательно, только для ограниченной высоты Ь плоскогорья. Как показал 111тюмке', при встрече ветром на своем пути плос- 3 Г й иг Хе Н., Веиг. х. Рьу*. д. Егегеп.
Ахж., т. 26 (1940), стр. 207. когорьн горизонтальная составлеощая и скорости возмущения отнюдь не затухает полностью по мере удалении от края плоскогорьн. Кроме того, эта составляющан при увеличении высоты х переходит от поло>кительных к отрицательным значенинм, затем от отрицательных опять к положительным и т.д., причем амплитуда этих колебаний возрастает с высотой.
Наконец, эта составляющая зависит только от высоты Н плоскогорьл, но не от скорости ветра (7. Длина волны по-прежнему определяется формулой (70). Этот пример еще раз показывает, насколько сильно расслоенная жидкость отличается по своему поведению от однородной жидкости. В наших обозначениях асимптотическая формула, полученная Штюмке для скорости и, имеет вид> и(з) = Ау ' — е* >чз!и — + — соэ — ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
