Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Если в области возмущения движения происходит отток или приток жидкости, то вне области возмущенна возникает потенциальное движение с циркулнцией. Пусть область возмущения ограничена окружностью радиусе В и пусть в результате возмущенна радиус изменяется на величину хам; тогда циркуляция относительного движения приближенно будет равна Г' = — 2ы' ° 2яВ схВ.
С другой стороны, если щ есть окружная скорость циркуляционного движения, происходящего в ту же сторону, е какую происходит вращение ы' (т.е. в северном полушарии против движения часовой стрелки), то Г' = 2яВ ° м. Сравнивая оба выражения для Г', мы получим ы = — 2ы'ххгс. Следовательно, кориолнсова сила вызывает в радиальном направлении изме- нение давления ~~Р г з И вЂ” = 2ры и = -4Ри ЬЯ. При положительном ЬВ будет происходить понижение давления, а при отрицательном ххГс, наоборот, — повышение давления.
Боковое перемещение облестн возмущения, при котором площадь Р не изменяется, вызывает обычное потенциальное течение, поэтому такое перемещение пе влечет за собой появления какого-либо поля скоростей нлн поля давлений. $10. Влияние трения. в) В предыдущих рассуждениях мы намеренно пренебрегали трением.
Между тем вязкость и прилипанне жидкости к вращающемуся основанию приводят к тому, что в пограничном слое (нлн, в случае атмосферы, в слое, близком к поверхности земли) возникает вторичное течение (см. т 8 гл. 1П). Поле давлений, которое в свободном потоке уравновешивается с корнолнсовымн силамн, существует также в слоях, близких к вращающемуся основанию; однако здесь, вследствие меньших скоростей течения, кориолпсовы силы меньше, чем на большой высоте, и поэтому онн не в состоянии уравновесить поле явлений. Вследствие преобладающего действия поля давлений Вблизи вращающегося основания возникает течение в направлении перепада давления, н при этом с такой скоростью, которая обусловливает появление сил трения, компенсирующих уменьшение кориолисовых сил. Однако вследствие увлекающего действил верхних слоев отклонение вторичного потока от направления основного потока составляет только около 45' при ламинарном движении и от 20 до 30' при турбулентном движении (в этом случае отклонение получается меньше вследствие более сильного увлекающего действия основного потока).
Рассмотрим наиболее простой пример. Пусть относительно вращающейся плоскости над зоной трения движется параллель поток со скоростью и = У в направлении оси х. Давление в этом потоке пусть равно р = ро — 2рь~'П у следовательно, кориолисова сила, обусловленная скоростью У, уравнодр вешнвается с градиентом давления — — (уменьшением давления кверду ху вследствие уменьшения плотности можно пренебречь). В пограничном слое скорость и не равна У; она является функцией расстояния л от основания. Кроме скорости и в направлении оси к в пограничном слое имеется скорость о в направлении оси у, также являющаяся функцией от з.
Длл х = 0 должно быть и=и=О, а длн з = со н = О. Прн ламинарном движении согласно уравнснилм Папье-Стокса, в направлении осп:г на единицу объема действует сила вязкости р— д'я доз ' др — = — 2рпс'К др до — =О, дя Следовательно, уравненил дан>кения принимают вид: д и дзо сс — = — 2рпс'э, сг = 2рсо'(и — У). дзг ' длз Полагал и = У вЂ” Ае"', цеЛг мы получим: Лс=-(~~ ) . (31) Из четырех комплексных корней этого уравнения два имеют положительные вещественные части.
Этим двум корням соответствует затухание составляющих скорости и и э по направлению вниз, следовательно, эти корни дают решение задачи для возмущен ил с исходящих от верхней ограничивающей поверхности. Примером таких возмущений являютсл морские течения, вызванные ветрамиг. Два другие комплексные корня уравненил (31) имеют отрицательные вещественные части. Этим корням соответствует затухание составляющих и и э по паправленисо кверху, следовательно, эти корни дают решение рассматриваемой задачи, которое могкно представить в следующей вещественной форме: и = У(1 — е да соэ дг), э =(г =е лаэшдг, где а и = П есть кинематическая вязкость. Проекция годографа результи- Р руюшей скорости на горизонтальнусо плоскость изображена па рис. 269.
г Е1с псап Ъ7., Вупапг1ес1се Сеаегае с1ег Меегмеегоспшсхоп, 1ппеьгпс1сег Чогесале 1992, стр. 97. а в направлении оси р — сила вязкости р — (см 91 гл. 111). Так как д'и дг каждый слой, согласно предположению, движется равномернос то ускорения, за исключением кориолисова ускорения, отсутствуют. Далее мы имеем: Рис. 289. Ламинарное прпземное тече- Рис. 290. Турбулентное приземпое тонне челне Полученная кривая называется спиралью Эклшка. Мы видим, что направление ветра у поверхности земли отклонено от направления высотного ветра на 45'. Для решения аналогичной задачи в случае турбулентного движения следует ввести в расчет вместо влзкости р коэффициент турбулентного перомешнвания А [~ 4, и. е) гл. П1].
Так как этот коэффициент во много раз больше, чем р и приблизительно пропорционален скорости ветра. то пограничный слой получается значительно толще., чсм при ламинарном движении, причелз тем более толстым, чем больше скорость ветра. Кроме того, поскольку величина коэффициента А не постолнна по высоте з, для распределения скорости в пространство получаются нные формулы. чем при ламинарном движении. В частности, наибольший градиент скорости получается, как вообще всегда при турбулентных течениях, вблизи поверхности земли. Поэтому среднял скорость в пограничном слое больше, чем при ламинарном движении, что несколько сглаживает разность между кориолисовыми силами вблизи поверхности земли н на высоте; этим и объясняется, что при турбулентном движении отклонение направления ветра в зоне трения от направления высотного петра мспьшс, чем при ламинарном движении.
Проекцпл годографа скоростей па горизонтальную плоскость изображена па рис. 290. Подчеркнем, что полученные результаты лвллютсл точными толь- т = 2ь>'~рпдг, о т„= 2ь> р(1>' — и) дг. е (32) (ЗЗ) В этих формулах Ь означает ту высоту, на которой величины У вЂ” и и и можно считать равными нулю. Результирующее касательное напряжение должно иметь направление ветра в зоне трения, следовательно, угол а между этим направлением и направлением высотного ветра определяется из соотношения: тт ж, Го~ тра = — = 1ип~ — >1. тм ~->О ~ и) (34) Согласно сказанному в 35, и. д) гл.
111, касательное напряжение при турбулентном течении вдоль шероховатой поверхности приблизительно пропорционально квадрату скорости. Из этого в сочетании с уравнением (32) следует, что высота пограничного слоя при увеличении скорости ветра возрастает приблизительно пропорционально этой скорости. Дальнейшие точные вычисления неаозмоя>аы, так как пока мы еще не знаем точных закономерностей, имеющих место при ускоренных турбулентных течениях. Поэтому мы огранвчимся здесь только приближенной оценкой.
Примем, что вблизи поверхности земли составляющая скорости и равна и=У( — ) (35) ко для случал прямолинейных установившихсп изобар. В действительности >ке изобары обычно непрямолипейные и изменлются во времени, поэтому измерения скорости и направления ветра, производимые путем наблюдения за движением шаров-пилотов или путем записи курса и скорости свободных аэростатов, дают результаты, более или менее отклоняющиеся от указанных выше теоретических значений. Ь) Для получения численных соотношений необходимо знать составляющие т, и тэ касательного напряжения на поверхности земли. Общие формулы для этих составляющих легко вывести, исходя из значений кориолисовых сил в приземном течении.
Мы получим: (36) Для того чтобы при л = Ьз было о = О, заменим равенство (36) следующим равенством: е=п(1 — )$$ Ьгг (37) Высота Ьз меньше той высоты Ь, которая была введена в формулы (32) и (33)„. выберем ее так, чтобы изменение составляющей и по формуле (35) в среднем совпадало с изменением ее по точному закону. (Кривые, изображающие изменение и и о по формулам (35) и (37), изображены на рис. 290 пунктиром.] Подставлял значения и и о из формул (35) н (37) в формулы (32) и (33), мы получим после простых вычислений следующее соотношение: Фба = — ч"2п+ 1. 1 и (38) Касательное напряжение т, у поверхности земли, согласно формуле (32), рав- но тз = 2п ры сГЬз =— и Ь~ —, (39) <~р (и+ 1)ь/2н+ 1 (и+ 1)~/2н+ 1 ~4У где величина — — =2рыУ Ф г ~У есть барометрический градиент, который должен быть выражен в таких же единицах, как н напряжениет,.
Показатель степени — в формуле (35) зависит от Ьы а также от шерохо- 1 ватости поверхности земли. Если развитию нормальной турбулентности не препятствует устойчивое температурное расслоение воздухе, то для определения Ь| и — можно воспользоваться формулой (33) гл. 111. Эта формула, 1 выражающая скорость турбулентного течения над шероховатой поверхностью, имеет внд: и = ]Ц(5, 75 16 л + Сз), (40) причем, согласно сказанному на стр.
178, величина Сз зависит ат высоты выступов, образующих шероховатость. Для шероховатости, образованной растительностью или строениями, величина Сз колеблетсл между 5 н 8,5. Так т.е. изменяется пропорционально корню н-й степени из з. Составляющую с вблизи поверхности земли примем равной как при з = йз должно быть н = У, то из равенстве (40) мы имеем: рУ' (41) ть (5,75 18 — „+ Сз) л (У вЂ” и) 4з, е что приводит к соотношению: 18 — + — = (н+ 1) 18е. й С )с 5, 75 Исключав т, из равенств (39) и (41), мы получим: ь дз (и+ 1)тг2н+ 1 у й ~5,751 — „С) (42) Из этого уравнения нетрудно найти путем проб для заданного значения У соответствующее значение 1и (удобнее поступить наоборот — для взятого значения Ьз вычислить соответствующее значение У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
