Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 93
Текст из файла (страница 93)
а) Теорема В.Бьеркнеса. В ~9 гл. 11 (стр. 82) мы доказали теорему Томсоне о том, что в жидкости, лишенной трения, циркуляция вдоль замкнутой жидкой линии не изменяется во времени. Необходимым условием для доказательства было предположение, что плотность жидкости или имеет постоянное значение, или, кек в случае однородных газов, зависит только от давления.
Для иного, более общего случая распределения плотности теорема Томсона неприменима. В самом деле, теперь интеграл (1/др др др — — ~ — г1х + — г1у + — гЬ) / Р~дх ду дл в уравнении (ЗЗ) пе 'стр. 88, взятый вдоль замкнутой линии, не равен нулю. Для того чтобы подсчитать его значение при любом законе распределения плотности р, воспользуемся векторным исчислением, так кек вычисления в координатной форме довольно кропотливы и требуют много места. В векторной форме указанный выше криволинейный свасходлщал масса воэдуха, попадал в область более ниакого давлении, охлвждаетсл адивбвтическп при дпстаточнпй влажности аоаникает конденсвиил части водлнмх паров в инде тумана. интеграл запнсываетсн следующим образом: — / — кгвйр йе ч 1 где йе есть элемент жидкой линии. Согласно теореме Стокса, этот интеграл, взлтый вдоль замкнутой линии, равен поверхностному интег- ралу - ~/-~ () ч~,) чг, взятому по площади Р, ограниченной замкнутой линией.
Но мы имеем: гоь(- кгайр) = 17 х (Р цгайр) = 11 = ('(7-) х вгайр + -'ч7 х нгай р. 1 Р,) Р (59) Так как ротация градиента равна нулю, то последний член в равенст- ве (59) отпадает, и мы получаем: — / — кгайр йа = — д нгай — х кгвйр йЕ. /Р ' =П Обозначал циркуляцию через Г, мы будем иметь: — = — д кгай — х нгайр ° йЕ. йг // (60) Если исай- везде параллелен цгайр, то подынтегральное выраженно 1 равно нулю, и мы по-прежнему получаем, что — = О. йГ й Если же поверхности р = сопе1 и и = сопе1, каждая из которых перпендикулярна к соответствующему градиенту, пересекаются друг с другом, то правая часть формулы (60) не равна нулю. В.
Бьеркнес дал для интеграла в правой части формулы (60) очень наглядное геометрическое толкование. Пусть проведены все поверхности р = сопе1 с интервалом чар н все поверхности и = — = салаг (и есть 1 Р объем единицы массы) с интервалом Ьи; тогда каждая пара соседних поверхностей р = сопя$ образует с каждой парой соседних поверхностей и = сопят трубку, поперечное сечение которой представляет собой параллелограмм (рис. 297). В. Бьеркнес показал, что интеграл е правой части формулы (60) пропорционален числу трубок, окруженных гкидкой линией. Для доказательства вычислим стр прежде всего площадь поперечного сечения трубки.
Это поперечное сечение представляет собой параллелограмм, плоскость которого перпендикулярна к линиям пересечения обоих Рис. 297. Трубка, образованная семейств р = сопя$ и е = сопя~. Еспересечением поверхностей р сопя1 и е = сопяФ ли йт есть расстояние между двумя соседними поверхностями р = сопя$, а 7сз — между двумя соседними поверхностями е = сопя1, то площадь параллелограмма, очевидно, равна Ьтпз У' = —. я1п а Если вместо поперечного сеченил, перпендикулярного к стенкам трубки, взять косое сечение, то мы получим другой параллелограмм, наклоненный относительно первого на некоторый угол ~3.
Площадь наклонного параллелограмма, очевидно, равна соя сб Так как Ьр = йс ° ( ягабр(, сзе = 7сз ° ) ягайло~, то мы имеем сзрсзе ( ягабрй' агасси и( ып а соя Д Знаменатель этого выражения совпадает с подынтегральным выражением в формуле (60). В самом деле, синус появляется в результате векторного произведения, а косинус — в результате скалярного произведения. Число параллелограммов с площадью 7' на единице площади равно Полное число таких параллелограммов на площади л', замыкаемой жидкой линией, будет ( /' ! агасфер(( агад и~ я1п а соя с9 ссГ Сравнивал это равенство с формулой (60), мы получим: ~ — ~ = др Ьо >'ч'.
(61) Знак — в каждом отдельном случае легко определить из того сообра- оГ дг жения, что более плотные части жидкости стремятся двигаться вниз, а менее плотные — вверх. Теорема Бьеркнеса пригодна главным образом для качественного исследования.
Применение ее длн количественного исследования затрудняется тем, что обычно поле давлений ускоренного теченил точно не известно. Исключение составляют течения в таком пространстве, горизонтальное протяжение которого во много раз превышает вертикальное протяжение. Этот случай имеет место в большинстве метеорологических приложений. При течениях в таком пространстве вертикальные ускорения вследствие условия неразрывности малы по сравнению с горизонтальными ускорениями, и поэтому давление на каждой вертикали можно определять на основании законов гидростатики. Для вычислений, однако, целесообразно пользоваться не тем интегралом, который получился в правой части формулы (60), а его исходной формой, т.е. интегралом — ~ — 6гвй р йв. Г1 Так как теперь (6гвйр( = рк, то при интегрировании вдоль вертикальных отрезков жидкой линии получается просто р(П> — йз); при интегрировании же вдоль отрезков жидкой линии, расположенных на нзобарных поверхностлх, получается нуль.
Ь) Внутренние волны в несжил>летой среде. В каждой расслоенной среде, находящейся в устойчивом состоннни, возможны внутренние волновые движения. До настоящего времени исследованы главным образом простые формы таких движений, в том числе так называемые ячейковые волны. При таком волновом движении все пространство разбивается на отдельные ячейки, как бы ограниченные жесткими стенками. Колебания во всех ячейках происходят с одинаковой частотой. Наиболее простым случаем являются плоские стоячие волны в несжил>аежой расслоенной жидкости.
Пусть жидкость расслоена так, что плотность ра(л) в состоянии покоя связана с высотой з соотношением Ра(л) = Рлае ' (62) где р „есть плотность около дна. В таком случае все ячейки получаются конгруэнтными, и амплитуда волн с увеличением высоты возрастает в такой мере, что энергия волнового движения в каждой ячейке получается одинаковой; поэтому скорость с увеличением высоты возрастает так же, как величина е+'~зц. При такой форме волнового движения в бесконечном пространстве содержится бесконечно большая энергия, следовательно, это волновое движение представляет собой не что иное, как вынужденные колебания, развившиеся в течение бесконечно большого промежутка времени. Вынужденные колебания, развивающиеся в течение конечного промежутка времени, до сих пор не изучены. Так как плотность является теперь функцией положения в пространстве, то при выполнении вычислений необходимо различать друг от друга отдельные частицы жидкости, следовательно, уравнений движенил в форме Эйлера недостаточно.
Однако нет нужды прибегать к уравнениям движения в форме Лагранжа, так как вследствие математических трудностей приходится ограничиваться пока только случаем малых амплитуд. В этом случае можно выразить перемещения ~, х), ~ частицы в виде функций от ее координат х, у, х неподвижном пространстве и от времени З. Линеарнзаванные уравнения для двухмерного течении (6 и Ь суть функции от а, х и Х) нрн условии несжнмаемасти жидкости получаются следующим путем.
1. Вследствие перемещения мгновенная плотность р(з, х, х) а какой-либо тачке х. з атличаетса от плотности ра(х), соответствующей состоянию папан, на величину а, следовательно р = ра+ю Отсюда, имея а виду, чта а тачке х, х в данный момент находится частица, первоначально находившаяся на уровне х — С, и сохраняя малые величины только первого порядка малости, мы получим: а = — с— дро дх ' нли, паоле подстановки вместо — его значения нз уравнения (62) дра дх Сро и= Н 2.
Условие неразрывности выражается уравнением: дб д6 — + — = О. дх дг дзс др дз6 др Ро — = — —, Рс — = — — 5(Ро + е) дс2 дх' дС дз (слева Рс вместо Ре+ о'!). Для указанного выше случая малых амплитуд при плоском течении получаются следующие перемещения (' и С: ~ = Аези сйпахсоа,дхсовы2, 6 = Асан совах~ соаРл — — зшдх) свами х д . ~ 2Н~ а (63) Эти формулы показывают, что рассматриваемое движение представляет собой стончие ячейковые волны (рис.
298) с горизонтальной длиной Л,=— 2я а и с вертикальной длиной Л, = —. 2я. Ф' Для круговой частоты ы, свнзанной с периодом колебаний Т соотноше- нием у=в 2я ы/ вычисления дают значение (64) Если наложить на эти волны другие волны такого же вида, но смещенные в направлении х на четвертую часть длины волны и имеющие фазу, смещенную нв четвертую часть периода колебаний, то получатся горизонтальные бегущие волны, фазовая скорость которых равна с= — =х ы 8' (а'+ д')Н+ — ' (65) 3.
Уравнения движения для направлений х, х после лнневризвцни принимают следующий еид: Рис. 298. Стоячие ячейкоаые волны гравитационного типа Рис. 299. Установившиеся вол- ны Л, = — ~~ = 2ксГ (66) Если скорость сГ мала по сравнению со скоростью уЩН., возникающей при падении с высоты И, то в правой части формулы (66) можно Не пренебречь членом по сравнению с единицей, и мы получаем из 4дН этой формулы примечательный результат: длина установившихся волн пропорциональна скорости теченпл сГ, в то времл как длина установившихся волн, образующихся на свободной поверхности глубокой воды, равна Л = 2нУг К т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
