Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Это явление наблюдается, между прочим, в смазочном масле, помещенном между двумя коаксиальными цилиндрами, еращающимисл относительно друг друга'. В. ВРАЩАЮЩИЕСЯ ТЕЛА И ВРАЩАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 98. Уравнение Бернулли во вращающейся системе отсчета. а) В этой подглаве мы рассмотрим движения жидкости, которые возникают около вращающегося тела или во вращающемся пространстве, причем остановимся только на случае равномерного вращения, как наиболее важном.
При изучении таких движений жидкости целесообразно рассматривать их с точки зрения наблюдателя, вращающегося вместе с телом или пространством. В самом деле, длл такого наблюдателя вращаю>цееся тело или пространство находятся в покое, и поэтому в риде случаев течение жидкости будет казаться ему установившнмсн. Как известно, законы механики остаются справедливыми и во вращающихся системах при условии, что к силам, действующим в абсол>отпой системе координат, добавляются еще две массовые силы, из которых одна является функцией только поло>кения в пространстве, а другая зависит также от скорости.
Первая из этих добавочных сил равна рассматриваемой массе, умноженной на взятое с отрицательным знаком ускорение (в абсолютном пространстве) той точки вращающейся системы отсчета, которая совпадает с мгновенным полол<еннем массы. Этим ускорением, называемым переносным ускорением, в пашем случае является центростремительное ускорение ь>зг, где ь> есть угловая скорость вращения; поэтому добавочная силе, направленная в противоположную сторону, представляет собой не что иное, как центробежную силу гпь>зг. Вторая добавочная сила равна рассматриваемой массе, умноженной на взнтое с отрицательным знаком поворотное, пли корнолисово ускорение, которое равно по модулю 2ь>9.
где е есть относительная >Ргааае> ЪЧ., 01 юьс1 Коп>а, т. 39 (1913), атр. 257. сас танака Гмасмюх. т. 9 (1938) стр. 273. скорость массы, н направлено перпендикулярно к оси вращения системы отсчета и, кроме того, перпендикулярно к относительной скорости. Следовательно, вторая добввочнан сила, называемая кориолисовой силой, равна -2п>о>п и направлена перпендикулярно к относительной скорости. Лля понснеиия приведем два простых примера. Пусть материальная точка с массой >и покоится в абсолютном пространстве.
С точки зрения наблюдателя, находнщегосл в системе координат, вращающейся с угловой скоростью ь>, эта точка описывает окружность с угловой скоростью — ь>. Лля того чтобы к этому дан>кению можно было применить законы механики, необходимо, согласно сказанному выше, присоединить к силам, действующим в вбсошотном пространстве (такие силы в данном случае отсутствуют) центробежную силу — >пгыз н кориолисову силу, равную по модулю 2>яь>е = 2гятш з н направленную, согласно приведенному выше правилу, к центру вращения„ следовательно, в сторону, обратную центробежной силе. Таким образом, результирующая сила, приложенная к материальной точке в ее движении относительно вращающейся системы координат, равна ->нгь> + 2глг>з = я>гь> 3 2 2 н направлена к центру вращения, т.е.
представллет собой именно ту центростремительную силу, которая во вращающейся системе отсчета необходима для создания кругового двпженяя. В качестве второго примера рассмотрим материальную точку в аиде маленького шарика с массой т, помещенную в гладкую прлмолинейиую трубку, вращающуюся с постоянной угловой скоростью ь> вокруг оси, перпендикулярной к центральной линии трубки.
С точки зрения иаблюдателв, движущегося вместе с вращающейся системой отсчета, на шарик действует прежде всего центробежная сила. поэтому шаркк будет двигатьсн ускоренно вдоль трубки по направлению от центра вращения. Кроме того, на шарик действует кориолнсова сила 2>пь>и, где е есть относительная скорость шерика в рассматриваемый момент времени; корнолисова сила прижимает шерик к стенке трубки, которая. в свою очередь, действует на шарик с равной, но противоположно направленной силой. Кинетическая энергии шарика с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с вращающейся системой отсчета, все время возрастает за счет работы, совершаемой центробежной сизо>1. Кориолнсова сила перпендикулярна к пути шарика и поэтому не совершает никакой работы. В абсол>отпой системе отсчета шарик в радиальном направлении совершенно свободен, тем пе менее его кинетическая энергия все время возрастает, но на этот раз за счет работы той силы реакции, с которой стенка трубки действует на шарик; эта сила, вызывающая в абсолютном движении все большее н большее увеличение окружной скорости ш шарика, направлена не перпендикулярно к перемещению шарика н, следовательно, совершает определенную работу.
Ь) Выведем уравнение Бернулли для относительного движенил в равномерно вращающейся системе координат. Для этой цели достаточно присоединить к силам, рассмотренным на стр. 56, составля>ощу>о центробежной силы ть>зг в направлении теченпл; вводить в расчеты кориолисову силу нет никакой необходимости, так как она направлена всегда перпендикулярно к скорости относительного течения и поэтому не дает составляющей в направлении течения. Согласно сказанному на стр, 41 центробежная сила имеет потенциал, равный ызгз сопаФ вЂ” —. 2 Поэтому уравнение движения можно сразу проинтегрировать, и мы получим уравнение Бернулли в следующем виде: р г ь>згз —, + лл + — = сопа1+ —.
2 2 (24) В общем случае постоянная имеет разные значения для различных линий тока, поэтому уравнение (24) применимо вообще только к точкам, лежащим на одной и той же линии тока. Но в том случае, когда жидкость покоится относительно вращающейся системы координат (скорость ш везде равна нулю), следовательно, когда линии тока вообще отсутствуют, уравнение (24) совпадает с уравнением (19) на стр.
41 и поэтому применимо для любых точек в заннтом жидкостью пространстве. Постоянная в уравнении (24) не свнзапа с линиями тока также в таких относительных потоках, которые, если их рассматривать в неподвижной системе отсчета, свободны от вращений, т. е. представляют собой вообще неустановивщиеся потенциальные потоки. С этим практически важным случаем мы встречаемся, например, в турбинах или центробежных насосах, когда поток жидкости из неподвижной системы каналов переходит во вращающуюся систему каналов (предполагается, что трение отсутствует). В неподви>иной системе отсчета каждая частица такого потока остаетсн свободной от вращения, поэтому во вращающейся систе>ле отсчета она должна иметь вращение с постоянной угловой скоростью — ь> вокруг осн, параллельной оси вращенпл системы каналов.
Общее доказательство того. что в таком потоке постоянкал и = иг + 2ь>у, Следовательно, 1 (до ди) 2 дх ду ь>, = и>э = 0; Кориолисова сила на единицу объема равна 2рь>и н направлена в отрицательную сторону оси у. Составляющал центробежной силы вдоль осп у равна Рь> >'' г = Рь> У' г У г Следовательно, повышение давления в направлении оси у равно — = — 2рь>(иг ~- 2ь>у) + рь> у. др г ду Интегрируя это уравнение, мы получим: р = — р(2ь>и>у+ -ь> у ) + Ях, г). 3 гг> 2 Леван часть уравнения (24) после подстановки в нее этого значения р и замены скорости и> иа и> + 2ь>у принимает вид: -1(х, г) + яг+ -(и, +ы у ). 1 1 г г г Р 2 (25) в уравнении (24) имеет одинаковое зна- чение длн всех линий тока, мы дал дим ниже, здесь же мы ограничимсн г ю с рассмотрением поучительного простого примера. Пусть прямоугольный канал (рис.
286) равномерно вращаетсн вокруг осн г, перпендикулярно к продольной оси канала. Длн простоты рассуждения Рис. 286. Движение жидкости примем, что эта ось вращения вертиао вращающемся канале кальпа, следовательно, плоскость враще- ния горизонтальна. Пусть в канале движетсл поток жидкости, который, если рассматривать его в неподвижной системе отсчета, свободен от вращений, т.е. нвлнется потенциальным потоком. Обозначим составляющие скорости по осям х, у и г соответственно через и, о и и>.
Примем, что Правая часть уравнении (24) равна сопв1+ -ш (х + у ). 1 г г 2 (26) Для того чтобы выражение (25) совпадало с выражением (26), очевидно, функцию 7'(х, г) необходимо выбрать в виде 7(х, л) = сопМ + — (га~х — игг) — рая. Р г г 2 Таким образом, постояннан в уравнении (24) длн рассмотренного класса потоков действительно не зависит от у и г. Для того чтобы доказать это в общем виде, применим уравнение (39) гл. П (стр. 91) к абсолютному движению и при этом учтем, что относительное движение должно быть установившимсн, следовательно, в каждой точке вращающегося потока (линейная скорость которой равна ыг) потенциал скоростей должен оставаться постоннным. В таком случае должно соблюдаться соотношение — чыг —,=О, дФ дФ дг дя' (27) где —, есть линейный элемент в направлении вращения.
Величина —,, оче- дФ дФ дя' дя" видно, есть не что иное, как составляющая скорости абсолютного течения по направлению вращения. В теории турбин эте составлвющая обозначается через с . Из соотношения (27) мы имеем: дФ вЂ” = — ыгс . дс Переходя в этом равенстве от абсолютной скорости к относительной, мы придем к искомому доказательству . Р сг ыгс — + х + — — —" = сапах 7 28 Ю ~Большая числа примерае плоских потенциальных патакае аа вращающихся каналах имеется в книге КасЬегяку ЪЧ., Бягашппбеп е1пег ге1ьппбятге1еп Ррбяшсйеи Ье1 Носаг1оп Геясег Кбгрег, Мыле!геп апб Вегбп 1918. Рассмотренный нами пример вант из этай книги.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
