Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Тогда масса, входящая за одну секунду в пограничный слой, будет пропорциональна величине рбйи. Эта масса, вступающая в пограничный слой со скоростью щ, терлет здесь некоторую долю своей скорости, что приводит к соответствующей потере иоличества движения, которая будет пропорциональна величине рбошз. Изменение количества движения должно быть равно силе, действующей на жидкость вследствие тренил около стенки. Эта сила, согласно равенству (1), пропорциональна (Ь д~, следовательно, рббш' 1Ьр ~~, откуда по-прежнему получаем: б ~ — =Д (12) или о /ь 1 1 ~/ ш1 /й Таким образом, отношение — является функцией только числа Рей- 4 нольдса.
Такал зависимость имеет место для всех пограничных слоев с установившимся движением. В формулу (12) можно ввести время ~, которое требуетсл отдельным частицам жидкости длл того, чтобы пройти вдоль тела. Для частиц, двигающихся не слишком близко от поверхности тела, этот промежуток времени пропорционален —, поэтому формулу (12) можно пе- 1 реписать в следующем виде: 6 ~/иб (13) Формулу (13) можно применять также к движениям, которые только что начались из состояния покоя. В этом случае из нее следует, что толщина пограничного слон возрастает в первый период движения пропорциональна иорню квадратному из времени. Итак, всякое тело, движущееся в жидкости, обладающей небольшим трением, увлекает за собой тонкий слой жидкости. Такой же тонкий слой образуется и при движении жидкости в коротком канале около его стенок, но теперь этот слой отстает от общего потока жидкости.
В длинных каналах пограничный слой постепенно, по мере удаления от входа в канал, увеличнваетсл в толщине [согласно формуле (12) пропорционально корню квадратному из расстолнил от входа) и в конце концов заполняет весь просвет канала. Это означает, что в длинных каналах влияние трения распространяется на все поперечное сечение . Такое увеличение толщины пограничного слоя во многих случалх происходит значительно быстрее, чем это следует из формулы (12): причиной этого является процесс перемешивания жидкости, называемый гяурбрлелтностью (см. ~ 4).
Касательные напряжения, возникающие на стение при ее обтекании (рис. 92), складываясь по всей поверхности стенки, дают сопротивление трения. Для случая пластинки, обтекаемой жидкостью с двух сторон (рис. 93), легко получить приближенную оценку величины этого сопротивления. В самом деле, касательное напрлжение равно дп т=р — ', др' следовательно, имеет место пропорциональность т (х— Ю б' или, нв основании формулы (12), Если ширина пластинки ровне 6, то полная площадь соприиосновения с потоком будет г' = 2Ы.
Умножан эту площадь на т, мы получим искомое сопротивление: И" 2Ы ° т = число ° бх/рр!ш~. (14) Подробнее о сопротивлении плвстинок будет сказано в б 5 (стр. 180). В существовании пограничного слоя можно убедиться при помощи следующего простого опыта. Поместим в не слишком быстрый поток воды какое-нибудь тело (пластинку, цилиндр, шар и т. и.) и подведем через заостренную стеклянную трубочку немного окрашенной жидкости к какому-нибудь месту обтекаемого тела. Убрав трубочиу, мы увидим, что около поверхности тела еще долгое время остается тонкий окрашенный слой жидкости. Очевидно, что этот слой возникает вследствие прилипания частиц окрашенной жидкости к поверхности тела. Математическое дополнение.
Движение жидкости в пограничном слое может быть исследовано при помощи точных математических приемов. Как уже было сказано, в жидиости с исчезающе малой внзкостью пограничный слой получается очень тонким. Поэтому вполне допустимо внутри пограничного слов пренебрегать разностью давлений в различных точках нормалей к стенке. В противоположность этому разности скоростей в отдельных точках нормалей весьма значительны,так как переход от скорости слоя, прилипающего к стенке,к скорости потока за пределами пограничного слоя совершается на очень коротком отрезке.
Ввиду этого в выражении (7) яхо яхк для силы трения, отнесенной к единице объема, члены и†и и†будут длх длх охо значительно меньше члена и†и, следовательно, могут быть отброшены др' (мы предполагаем, что ось л проведена в направлении потока, а ось у— в направлении нормали). Для двухмерного потока можно пренебречь также кривизной пограничного слоя и поэтому считать, что координата л совпадает с длиной дуги люпш тока вдоль стенни. В таком случае для движения жидкости в пограничном слое получается следующая система диференциальных уравнений: ди ди ди 1 ду дзи — +и — +о — = — — — +и д! ду ду Р дх ду' — + — =О, ди до дх ду (15) (16) причем давление р следует рассматривать как функцию от х и 1, определя- сму(о внешним потоком, т.е. потоком, лежащим вне пограничного слон.
На стенке имеют место граничные условия: и=О, э=О. Кроме того, на стенке дз 1 др (17) д з ддх' как зто следует из уравнения (15) после подстановки в него значений и = О, о = О. Решение этой системы уравнений может быть получено путем разложения в ряд'з. Для случая пластинки козффицнент пропорциональности в формуле (12) получается равным 3, 012, позтому приближенно можно положить, что (18) 84. Турбулентность. а) В 31 мы вывели закон Гагенв-Пуазейля, согласно которому при течении внзиой жидкости в круглой трубе падение давления пропорционально расходу жидкости [формула (4)). Там же мы упомянули, что закон Гвгена — Пуазейля имеет место для движения в очень узких трубках при любых практически возможных скоростях, а для движения в широких трубах — только при малых гВ !аз!аз Н., ПЬег Огепззс!НсЬ!еп !и Р!бм!8йе!сеп Ье! зеЬг Ые!оег Не!Ьппб, 2гкзсЬг.
!. МасЬ. и. РЬуз., т. 56 (1908), стр, 1; см. также То!!т!еп, НепбЬ. бег Ехр.-РЬуз., т. 1Ч, часть 1 стр. 239; Вогзпб, Аегобупзш!с. ТЬеогу, т. 1И, стр. 80 (имеется е переводе ке русский язык: Азролинамнке под абщ. редакцией В. Дюрвиле, 1939] Теаркл пограничнега слоя пелучиле знечктельное реэвнтке благодаря работам советских ученых; см., например: Д о р од к н ц ы н А .
А ., Пограничный слой е сжеь~еемем геэе. Прнкл. ыет, к мех,, т. Ч1 (1942), Уйб; Кочик Н. Е. н Лойцлнг ь и й !!. Г., Об олпом приблзженнеы методе расчета ламккерного пегреннчнеге сз е. Леал. АН СССР, т. ХХХЧ1 (1942), ЗГг9; Л ей цв иск и й Л. Г., Приближенный могол расчете турбулентного пограничного слоя не профиле крыла.
Прнкл. л|ет. е чсх . т 1Х (1946), Лйб. см. также Л ай ц лиски й Л. Г.. Азроденемкке пегренпчк ~ с слал. Ленинград, !Ч41. скоростях. При больших скоростях длл широких труб этот закон, как показывают наблюдения, перестает быть верным и заменяется другим законом, согласно которому падение давления приближенно пропорционально второй степени расхода, т.е, значительно больше, чем при законе Гагена-Пуазейлн. Кроме того, в тех условиях, когда применим закон Гагена-Пуазейля, частицы жидкости движутся упорядоченно и прямолинейно; при больших же скоростях они начинают двигаться совсршеппо неупорядоченно и по самым извилистым траекториям.
Такой переход от упорядоченного движения к неупорядоченному очень легко наблюдать в стеклянной трубе, если в основной поток жидкости ввести немного окрашенной жидкости через узенькую трубочку., вставленную в поток. При малых скоростлх окрашенная жидкость увлекается основным потоком в виде тонкой прлмолинейной нити, при больших же скоростлх эта нить на некотором расстоянии от своего начала разрывается, и окрашенная жидкость быстро и почти равномерно перемешивается с основным потоком. Такой опыт впервые был выполнен Рейнольдсом.
Упорядоченное движение, наблюдающееся при малых скоростях, называется ламинарным, а неупорядоченное движение, наблюдающееся при больших скоростях, — турбулентным. Из соображений о подобии Я2) Рейнольдс вывел заключение, что переход от ламинарного движения к турбулентному должен происходить — для труб разного диаметра и для жидкостей с различной влзкостью — всегда при одном и том же значении величины — „, где й> йч2 есть среднял скорость течения, а Ы вЂ” диаметр трубы . Величина —, й>>2 как мы знаем из 22. носит теперь название числа Рейнольдса; ее значение, соответствующее переходу ламинарного движения в турбулентное, называется критичесиилг числплг Рп>2нольдса. Опыты показали, что установленная Рейнольдсом закономерность действительно наблюдается, если только условия притекания жидкости в разные трубы хорошо совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
