Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если вместо количеств движения рассматривать соответствующие им реакции, то количеству движения ри'г будет соответствовать, как всегда, реакция, направленная внутрь контрольной поверхности и действующая как дополнительное давление на стенки, ограничивающие жидкость. Вычислим теперь составляющую количества движения опять вдоль оси а, но для участка контрольной поверхности, перпендикулярного к оси р.
В промежуток времени ог через единицу площади контрольной поверхности проходит масса рой, но так как мы вычисляем составляющую количества движения вдоль оси а, то теперь количество движения, переносимое массой рой равно роипг. Среднее значение этого количества движения за промежуток времени Т будет — / риой = рии. 1 Г т1 о Для вычисления йй перемножим и = й+ и' и е = о+ е', мы получим: ии=йй+йе +ио+ио. Составляя среднее значение, мы найдем: — — + —.ю + л — + — г — Р Так какй'=о =О,то (58) рйо = рйо + ри й, Следовательно, и в этом случае к количеству движения рйй потока в среднем установившегося, необходимо прибавить величину рй'й', представляющую собой среднее от количеств движения пульсаций.
Величина рй'е' может не быть равной нулю. В самом деле, если положительным пульсациям и' соответствуют главным образом положительные пульсации о', а отрицательным пульсациям и' — главным образом отрицательные пульсации о', то преобладающее число произведений и'о' будет положительным. Если же, наоборот, положительным пульсациям и' соответствуют главным образом отрицательные пульсации о', а отрицательным пульсациям и' — главным образом положительные пульсации о', то в этом случае преобладающее число произведений и'е' будут отрицательными. Таким образом, в обоих случаях среднее от произведений и'о' не будет равно нулю.
Реакция, соответствующая количеству движения рйй', направлена вдоль оси х, т.е, по касательной к взятому участиу контрольной поверхности, следовательно, эта реакция представляет собой не что иное, как касательное напряжение. Учитывая ее направление, мы можем написать: (59) Остается выяснить еще следующий вопрос: не дает лн масса жидкости, заключенная внутри контрольной поверхности, какую-либо составляющую изменения количества дан>кения. Легко видеть, что если скорость в каждой точке потока в среднем не изменяется, то пульсации этой скорости должны состоять из положительных и отрицатсльных отклонений, в сумме приводящихся к нулю. Следовательно, при осреднении по времени масса жидкости, заключенная внутри контрольной поверхности, не может дать изменения количества движения.
Таким образом, в потоках, в среднем установившихся, пульсации скорости обусловливают появление касательных напра>кеннй, которые, как мы увидим в 8 1 следующей главы, аналогичны касательным напряжениям, возникающим прп движении вязких жидкостей. Полученные результаты будут нами использованы при изучении турбулентных течении (84 гл. 111). 8 15. Волны ня свободной поверхности жидкости. Волны, обр у«б Ю р* воды, приводят в движение соприкасаюшийся с ними воздух. В большнпстРвс. 80.
Волновое лвижеяяе ве случаев массой этого воздуха можно пренебречь по сравнению с массой жидкости. Тогда давление на свободной поверхности жидкости будет равно атмосферному давлению ро. Наба>оленин показывают, что при простейшем волновом движении отдельные частицы свободной поверхности воды описывают траектории, прибли>кенно совпадающие с окружностью. В системе отсчета, движу- шейся вместе с волнами со скоростью их распространения, волновое движение является, очевидно, установившимся движением (рис.
80). Пусть скорость распространения волн равна с, радиус окрул>ности> описываемой частицей воды, располо>кеппой на свободной поверхности, равен г, а период обращения этой частицы по своей траектории равен Т. Тогда в указанной системе отсчета скорость теченил на гребнях волн будет равна 2»г ц>> =с —— Т а во впадинах волн шг = с+ —. 2хг т' Так как разность высот между наивысшим и наинизшим поло>кениями точек свободной поверхности равна и = 2г, то, применлл уравнение Бернулли к линии тока, расположенной на свободной поверхности, мы получим: шг — ш, = 28Ь = 48т, или, после подстановки вместо шг и шг их значений, — = 4лт 8псг Т 1 откуда следует, что 8Т 2гг ' (60) Л=сТ.
Исключал из равенств (60) и (61) период Т, мы получим: =Ф (62) Таким образом, для волн на поверхности воды скорость их распространения, в отличие от звуковых волн, сильно зависит от длины волны. Длинные волны распространяются быстрее, чем короткие. Волны с разной длиной могут налагаться друг на друга без заметного взаимного возмущенил. При этом короткие волны как бы приподнимаются длинными волнами, но затем длинные волны уходят вперед, а короткие остаютсл позади них.
Линии тока в системе отсчета, неподвижной относительно невозмущенной воды, показаны на рис. 81. Из расположения линий тока видно, что скорость движения воды очень быстро убывает с увеличением глубины, а именно, пропорционально уменьшению г г(м -т) величины е ", следовательно, на глубине, равной длине волны, скорость составляет только '/зее скорости иа свободной поверхности. Радиус г в эту формулу не входит, следовательно, скорость распро- странения волн не зависит от высоты волн. При распростраении волн гребень волны продвигается за время Т на расстолние А, называемое длиной волны, следовательно, Рис.
81. Линии така волнового движения аЛ 2лС с= — + —, 2л рЛ ' (63) где С есть капиллярная постоянная. Для длинных волн преобладающую роль играет первый член пад знакам корня,а для коротких волн, наоборот, второй член. Для длины волны скорость распространения с имеет минимальное значение, раиное ,Я Для воды р = 1, С = 72,5 дин/см, следовательно, Лг = 1, 72см, сз = 28, Зсм/сеп. Волны, длина которых больше Лы называются гравитационными, а волны, длина которых меньше Лы — папиллярными. От скорости перемещения гребней волн, называемой фиговой скоростью (выше мы ее называли скоростью распространения волн и обозначали через с), следует отличать скорость распространения группы Точнан теория нанизывает, что формула (62) справедлива только для низких волн, причем независимо от их высоты.
Для высоких волн скорость с в действительности несколько больше тога значения, которое дает формула (62). Кроме тога, при высоких волнах траектории частиц зады, расположенных на свободной поверхности, получаются незамкнутыми: вада на гребне волны уходит вперед на большее расстояние, чем на то, на которое ана возвращается назад ва впадине волны (см. правую часть рис.
81). Следовательно, при высоких волнах происходит перенос воды вперед. Для волн с небольшой длиной важным фактором является, кроме силы тяжести, также поверхностное натяжение. Она стремится сгладить волновую поверхность, и поэтому скорость распространения волн увеличивается.
Теория показывает„ что в этом случае скорость распространения вали равна волн, называемую групповой скоростью и обозначаемую через с'. Проще всего разаяснить смысл этого понятия на примере движения, возникающего в результате наложения двух волн, имеющих равные амплитуды, но немного отличающихсн своей длиной. Пусть мы имеем синусоидальную волну у = А яп(рх — иг), — =Л 2л И (64) есть длина волны, а величина (65) есть период колебаний.
Ксли рх — иФ = сопаС, т.е. если х = сопэ$+ -2, Р' то аргумент синуса не зависит от времени, поэтому не зависит от времени и ордината у, Это означает, что вен волна, не изменяя своей формы, перемещаетсн вправо со скоростью и с = —. И (66) Наложим на эту волну вторую волну у' = Аяп(н'х — и'г), т.е. волну с той же амплитудой А, но с несколько иными значенинми у и и.
Результирующим движением будет у + у' = А(а1п(нх — иг) + яп(у'х — и'г)]. В тех точках оси х, в которых фазы обоих колебаний совпадают, амплитуда равна 2А, в тех же точках, в которых фазы обоих колебаний где А есть амплитуда, 2 — время, а у и и — некоторые коэффициенты. При увеличении х на — или 1 на — синус принимает прежнее 2л 2л й и значение, следовательно, величина противоположны, амплитуда равна нулю. Такое явление называется би- ениель Применив известную формулу а+Р а — р' а!па+ сбп)3 = 2 а|я соэ мы получим: р+ р' = 2Аа!и ~ х — 1( соэ ( х — г/ ° В этом равенстве член р+,и' и+ и' представляет собой волну, длл которой коэффициенты прн х н Ф равны средним значенилм от р и р' и соответственно от и и и'. Множитель же ° энни 2Асоэ 2 х— который при малых значениях разностей р — р' и и — и' изменлется медленно, можно рассматривать как переменную амплитуду (рис.
82). Группа волн кончается в той точке, где косинус делается равным нулю. Скорость перемещения этой точки, называемая групповоб скоросщыо с", на основании соображений, аналогичных предыдущим, равна и — и 1 «. и и Длн длинных групп, т.е. длн медленных биений, с достаточной точностью можно приннть, что <1и Длн волн, возникающих под действием силы тяжести, из формулы (60) мы имеем: 2э. 8' т с' Но, согласно равенству (65), 2н — =и Т 1 следовательно, и=-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
