Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Решетка из крыльев ние крыльев, показанное на этом рисун- ке, соответствует случаю винта; в турбине лопатки обращены своей выпуклостью в обратную сторону, и составлшощие реакции жидкости на лопатку имеют противоположньш направлении. Однако приводимый ниже расчет одинаково применим и к винту и к турбине. Теорему о количестве движения теперь следует применить длн двух направлений — параллельного и перпендикулярного к плоскости, проходящей через соответственные точки крыльев (будем называть эту плоскость для краткости плоскостью решетки).
Составлнющие скорости в направлениях, параллельном и перпендикулярном к плоскости решетки, обозначим через и и и, а соответствующие составляющие силы реакции на единицу длины крыла — через Х и 'г', считая последние положительными в направлениях, указанных на рнс. 78. Индексом 1 будем отмечать скорости и давления перед решеткой, а индексом 2 — позади решетки. Предположим, что двимгение жидкости происходит без потерь энергии.
Тогда мы будем иметь потенциальное движение с циркуляцией вокруг крыльев решетки. При таком двигкенни скорость течения на некотором расстоянии впереди и позади решетки практически одина- ковал. Зто обстонтельство и позволнет применить теорему о количестве двилгения к выяснению свнзи между реакцией потока и скоростью течения, не прибегая при этом к анализу тех явлений, которые происходят в промежутках между крыльями, правда, при условии, что здесь ле возникают большие вихри (это может иметь место при неудачной форме профиля крыльев).
Уравнение неразрывности дает нам: Я=ага=ага, где а есть расстояние между соседними крыльнми и 1,1 — секундное количество жидкости, протекающее между каждой парой крыльев в слое, параллельном продольной оси крыльев и имеющем толщину, равную единице. Отсюда следует, что иг = аг. Поэтому в дальнейших вычислениях мы будем обе составляющие ог л аг обозначать просто через о. Так как результирующие скорости шг и гаг перед и позади крыла равны соответственно гаг — — из+юг н ш = и +ю2 г Г» г то нз уравнения Бернулли следует: Р'+ 21аг+о ) Р + 2~аз+а )' илн рз — р1 = -(из1 — из).
Р 2 (49) Ж=р Применяя теперь теорему о количестве движения к направлениям, па- раллельным осям х и у, мы получим: (50) Х = О + ран(из — из), У = а(рз — рз) + О. (51) Введем в эти формулы циркуляцию вокруг крыла. Для ее вычисления воспользуемся опять пунктирной линией на рис. 78. Так как верхняя и нижняя линии тока совершенно одинаковые и при вычислении циркуляции они обходятся в противоположных направлениях, то криволинейные интегралы вдоль них взаимно уничтожаютсн.
Прнмые участки контура при составлении циркуляции дают значения аи1 и — аиз. следовательно, циркуляция вокруг крыла равна (52) Г = а(из — из). Далее, имея в виду, что из — (и1 из)(и1 + из) Длн применения теоремы о количестве движении проведем контрольную поверхность, пересекающую плоскость рис. 78 по двум линиям тока, проходящим над и под крылом и отстоящим друг от друга на расстоянии а, равном расстоянгио между крыльями, и по двум прямым длиной а, параллельным плоскости решетки (основания этой поверхности образованы двумя параллельными плоскостями, расстолние между которыми равно единице). Сквозь обе боковые части контрольной поверхности, образованные линиямн тока, жидкость не протекает, следовательно, этн поверхности не дают составляющих изменения количеств движения.
Далее, так как эти поверхности совершенно одинаковые, то распределение давления на них также совершенно одинаковое, а поэтому они не влинют на результирующую сил давления. Таким образом, необходимо вычислить только измененин количеств движения и силы давления, возникающие на частнх контрольной поверхности, параллельных плоскости решетки.
Масса жидкости, протекающая сквозь эти части в одну секунду, равна аз уравнений (49) и (52) мы получим: из + из а(рз — рг)=рГ 2 У = рг" +и'. 2 (54) Пропорция ).Х +и 2 вытекающая из формул (53) и (54), показывает, что равнодействующая снл Х и У перпендикулярна к результирующей скорости получающейся при геометрическом сложении скоростей ' и и.
иг + из 2 В этом легко убедиться, рассматривая соответствующие подобные треугольники на рис. 78. Обозначив равнодействующую сил Х и У через Л, мы можем вместо формул (53) и (54) написать одну формулу (55) Будем теперь увеличивать расстояние а между каждыми двумя соседнимн лопаткамн, сохраняя при этом циркуляцию Г = а(иг — ив) постоянной. Тогда разность скоростей (ив — из) будет уменьшаться и в пределе, для а = оо со, она сделается равной нулю. Следовательно, вв достаточном расстоянии перед и позади единственной оставшейся лопатки скорости потока будут совпадать, и поэтому среднюю скорость и„, можно принять равной скорости и невозмущенного потока в бесконечности.
Перейдем от системы отсчета, связанной с неподвижной лопаткой, к системе отсчета, свнзанной с потоком в бесконечности. В этой системе отсчета жидкость в бесконечности будет покоиться, в лопатка будет двигаться со скоростью — иг . Обозначив эту скорость черсз )г, мы получим из уравнении (55), что на единицу длины лопатки Вействует сила Таким образом, формулы (50) и (51) могут быть переписаны в следу~ощем виде: Х =рГо, (53) перпендикулярная к направлению скорости Ъ".
Следовательно, на участок лопатки или крыла длиной ( действует сила (56) А = рГП. Сила А называется поперечной, или подземкой силой. Соотношение, выражаемое уравнением (56), называется теоремой Жуковского о подземкой силе . Эта теорема может быть доказана также другим путем. Так, например, Н.Е. Жуковский вывел ее, применив теорему о количестве движении к контрольной поверхности в виде круглого цилиндра очень большого радиуса и с осью, совпадающей с осью крыла. При этом одна половина подъемной силы А получается вследствие переноса количества движения, а другая половина как результирующая сил давления. Теорема Жуковского важна прежде всего потому, что она дает возможность вычислить по заданной подъемной силе соответствующу|о циркуляцию, определяющую напряженность вихря позади крыла.
7) Уравнение Эйлера для турбины. Пусть в рабочее колесо турбины (рис. 79) д,: ц на расстоннии г, от центра колеса вступаю, ет поток воды, абсолютная скорость кото. рого в точке входа равна шы а направление и, г, образует с направлением движения колесе — угол Д; масса воды, протекающая в одну l сонг секунду, пусть равна М. Внутри колеса во- цсозД да движется в направлении, приближенно совпадающем с направлением лопаток. На расстоянии гз от центра колеса вода стекает с лопатки, имея абсолютную скорость шз, направление которой образует с паправРис.
79. К выводу теоремы лением движения колеса угол я . Эйлера о турбино Абсолютная скорость шз получается векторным сложением скорости движения воды вдоль лопатки и окружной скорости той точки лопатки, в которой вода покидает колесо. Применял к этому движению теорему о моменте количества движения, мы получим независимо от того, что происходит внутри колеса, следующее соотношение: 9Л = М(ш~гз созД1 — шзгз сое~9з)., называемое уравнеяиелг Эйлера длл турбины. Из этого уравнения видно, что вращающий момент, передаваемый водой на турбину, будет наибольшим, следовательно, условия работ турбины будут наивыгоднейшими в том случае, когда сон)>з = О, т. е.
когда вода покидает лопатку в радиальном направлении (очевидво, что в этом случае потеря кинетической энергии водой, выходящей из колеса, будет наименьшей). Умножал вращающий момент на угловую скорость вращения ш, мы получим мощность. Для указанного наивыгоднейшего случая она равна Ь = ОЛш = Мг,шшх сон))х. Применяя уравнение Эйлера к потоку жидкости в неподвижной спиральноб кемере с отверстием а середине (З 6). мы получим: рй = М(ш>т> сон Э> — ш» > сон 8>) = О, ахнула ю>г> сон >>> = ш>г> соя Д>> гле через 1> обозначены углы, образуемые скоростью потоке с нвпранленичм, перпендикулярным к отрезку, соединяющему центр отверстия с рассматрнваемой точкой потока.
Если все углы Э достаточно мелы, следовательно, можно принять, что сон б = 1, то мы получим: шг = соцэ1 т.с. тот >не результат, который мы нашли в З 6 иным путем. 6 14. Теорема о количестве движения для потоков с пульсациями скорости. Среди неустановившихся течений часто встречаются такие, в которых скорость в каждой точке пространства хотя н изменяется со временем, причем иногда даже значительно и очень неравномерно, тем не менее в среднем она остается постоянной для любого достаточно большого промежутка времени.
Совокупность танях средних значений скорости во всех точках пространства определяет собой некоторое установившееся течение. Действительное, т.е. неустановившеесн, течение в таких случанх принято называть течением, и среднем устаноаиешилгсл. Простой случай такого течения мы рассмотрели в примере с) предыдущего параграфа.
Обозначим для течения, в среднем установившегося, средние зпа~енил составляющих скорости вдоль осей координат через й, Б, ш, н мгновенные отклонения составляющих фактической скорости и, н, и, от соответствующих средних значений — через и', о' и ш'. Тогда мы будем иметь: и=и+и> о=О+»', ш=ш+ш, причем, согласно определению, средние значения величин и', о', го', называемых пульсациями скорости, или яульсаццонныясц скоростялги, равны нулю. Применяя теорему о количестве движения к течениям, в среднем установившимся, нельзя оперировать только со средней скоростью.
Необходимо, как мы сейчас увидим, учитывать также пульсации скорости, составляя длн етого средние значении всех количеств движения, переносимых через неподвижную контрольную поверхность. Вычислим сначала составляющую количества движения вдоль оси в для участка контрольной поверхности, перпендикулярного к оси з. В промежуток времени й через единицу плошади контрольной поверхности проходит масса р и й; она переносит с собой количество движения ригй. Изменение количества движении за одну секунду равно т 1 иг(у о где интеграл представляет собой изменение количества движения в течение более или менее длительного промежутка времени Т. Обозначая для краткости среднее значение чертой над буквой, мы можем написать: — ~ ри й=ри', Г т/ Мы имеем: и = (и+и') =й +2йи'+и' .
Для того чтобы вычислить среднее значение от иг, учтем, что сред- нее значение от йг равно опять йг, так как й уже является средним значением от и. Среднее значение от и' равно, согласно определению, нулю. Среднее значение от и' не может быть равно нулю, так как все ,г величины и' положительны. Следовательно, Фг рцг — рц + риг (57) Таким образом. в рассматриваемом случае к количеству движения рйг течения, в среднем установившегося, надо прибавить количество движения ри', нвляющеесл средним значением количеств движения пульу2 сацни и'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
