Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Пусть давление в сечении 1 равно ры а в сечении 2 оно равно рэ. Тогда на жидкий цилиндр действует сила (р, — р )ггу'. Этой силе противодействует сила трения на боковой поверхности цилиндра, величину которой на единицу площади, т.е. касательное напряжение, обозначим по-прежнему через т. Следовательно, на всю боковую поверхность жидкого цилиндра действует сила 2иу!т, Приравнивая обе силы, действующие на цилиндр, мы получим: Из соотношения (1) мы имеем: Ыи т Йу р' Подставляя сюда вместо т его выражение из равенства (2) и имея в виду, что теперь, в отличие от случая движения на рис. 90, производная — отрицательна, мы получим: 4и Ну Ии Р~ Рз У КУ )4( 2' Интегрируя это уравнение и определня постоянную интегрирования нз условия, что самый внешний слой жидкости прилипает к стенке, мы найдем: 4)4( (3) где г есть радиус трубы.
Количество протекающей через трубу в еди- ницу времени жидкости (так называемый расход жидкости) равно е (4 = / 2яу4(у ° и = 8р о (4) ' Н а 8 е и С .. Роххепдое((а Аппа)еп, т. 46 (1888), етр. 428. е Р >1ае и ~! ~о. Сошрееа Неппоа. т. 11 (1840): т. 12 (1841), Мепп, деа паеапеа Еиаол.. т. 8 (1846). Эта формула может быть проверена путем опыта с очень большой точностью; поэтому она сыграла весьма большую роль при установлении законов движения вязкой жидкости. Между прочим, она позволяет по измеренным значениям расхода Я и разности давлений р4 — рз очень точно определить коэффициент внзкости (а Согласно формуле (4) расход жидкости пропорционален падению давления на единице длины трубы и четвертой степени радиуса трубы.
Это соотношение экспериментально было установлено Г. Гагеном' в 1839 г., а затем вторично, независимо от Гагена, Пуазейлемз. Обычно оно называется законом Пуазейлн, так как статья Гагена, который был инженером, по-виднмому, осталась незамеченной среди физиков. Правильнее называть соотношение (4) заковом Гагена-Пуазейлл. Забегая вперед, отметим, .что закон Гагена .Пуаэейля соблюдаетсл при малых скоростлх только в узких трубках. В широких трубах при больших скоростях имеет место другой закон. Однако несоблюдение закона Пуазейля при движении в широких трубах ни в коей мере не является следствием какой-либо неточности закона трения Ньютона. Напротив„ многочисленные опыты над течением в узких трубах со всей точностью подтвердили, что этот закон, а также прилнпание жидкости к стенкам имеют место почти для псах жидкостей.
Согласно представлениям кинетической теории газов вязкость газа следует рассматривать как процесс обмена количествами движения между соседними слоями жидкости, движущимися с различными скоростями, и притом как процесс, вызванный собственным движением молекул. Следовательно, на выравнивание скоростей соседних слоев жидкостей надо смотреть как на своего рода диффузию (диффузию количества движения) и применять к ней соотношения такого же вида, как выведенные в э14 гл. 11. Так, например, касательное напряжение и здесь будет равно риЪ', однако, в противоположность тому, что было раньше, теперь скорости и и е' представляют собой не турбулентные пульсации, а скорости молекул (см.
в связи с зтпм замечание в конце э4, и. е). В сильно разреженных газах, где длиной свободного пути молекул нельзя пренебрегать по сравнению с размерами сосуда, наблюдается кажущеесл скольжение газа вдоль стенки. Это происходит потому, что для молекул газа, подлетающих иэ потока к степке, составляющая скорости, параллельная стенке, в среднем не равна нулю, между тем как молекулы, отскакивающие от стенки, разлетаются в разные стороны совершенно беспорядочно, и касательная составляющая их скорости в среднем равна нулю.
Поэтому среднее значение касательной скорости всех молекул газа ие равно нулю, и наблюдается кажущееся скольжение газа вдоль стенки. В газах, находящихся под обычным давлением, длина свободного пути молекул столь мала, что указанное скольжение остается незаметным. В кацельных жидкостях происхождение вязкости совсем иное. Молекулы здесь расположены настолько тесно друг к другу, что в общем случае оии могут совершать только небольшие колсбення в очень узких пределах и лишь иногда могут меняться местами друг с другом. Такая перемена мест происходит вообще совершенно беспорядочно, но под действием касательного напряжения (которое можно понимать здесь как упругое напряжение, возникающее в результате сложения молекулярных сил) эта перемена мест чаще совершается в том направлении, в котором действует касательное напряжение, что и приводит к скольжению одного слоя жидкости по другому. Таким образом, вязкость жидкости связана с переменой молекуламп своих мест; она тем меньше, чем чаще совершается такал перемена.
Заметим, что наряду с обычпымп лсид~ остями, для которых скольжение — строго пропорционально касательному папряжещпо т. существуют Ии ду так называемые аномальные жидкости, для которых зта пропорциональность не соблюдается. К таким жидкостям принадлежат главным образом коллоидные растворы, имеющие очень большие, часто нитеобразные молекулы. В этих жидкостях скольжение обычно увеличивается быстрее касательного напряжения, что, по-видимому, связано с тем, что по мере увеличения скорости все большее и большее количество длинных молекул располагаетсл параллельно направлению движения, В далькейшем мы пс будем заниматься рассмотрением аномальных жидкостей. В общей теории трения жидкостей показывается, что при деформации отдельных элементов жидкости возникают напряженин такого же рода, как и в упругих телах, с той только разницей, что они пропорциональны не деформациям, а скоростям деформаций.
Поэтому известные из теории упругости формулы для девнти компонентов напряженного состояния в случае жидкости принимают вид: Х, = 2р —, ди дх' У, = г„= р(д" + д ), У =2р —, до др' В, = 2р —, дв дх дХ дХ~ дХ, Х' = — *+ — л+ — ', дх др дл дУ, дУ„дУ, У' = — *+ — + —, дх ду дх' (6) дг, дг„дг, г' = — *+ — "+ — '. дх др дх Таким образом, в вязких зкидкостях к силам, обусловленным разностнми давлений, в также к массовым силам (если они вообще учиты- Если зти компоненты во всех точках области, занятой жидкостью, сохраняют постоянные значения, как это имеет место при аффинной деформации области, то все они взаимно уравновешиваются. Если же в разных точках области, занятой жидкостью, они имеют разные значения, как это имеет место в общем случае деформации, то зто приводит к тому, что в каждой точке жидкости возникает некоторая сила.
Пусть составляющие этой силы, отнесенной к единице объема, равны Х', У', Г. В таком случае, аналогично тому, как и в теории упругости, мы будем иметь: ваются), присоединяются еще силы, вызванные трением и имеющие своими составляющими Х', У', Г, Подставляя в равенства (6) вместо Х, Хв н Х, их значения из равенств (5), мы получим: Х' = р( — и+ — а+ — и) + р — ( — и+ — и+ ш) дхз ду' д" дх д* ду дя (7) н аналогичные уравнения для У' и Я'. Если при движении жидкости не происходит изменений обьема, то второй член в правой части уравнения (7) обращается в нуль.
Присоединяя правые части уравнений (7) к правым частям уравнений Эйлера (13), выведенным в 24 гл. П, мы получим так называемые дифференциальные уравнения Навье — Стокса для вязкой жидкости. Дяя несжимаемых потоков зти уравнения принимают вид: р — = Х вЂ” — + рсьи, др дс дх р — = У вЂ” — + рйьо, дв др дс ду Р =а +рсьш~ д др Ыг дя где —, —, — имеют значения, определяемые равенствами (12), гл. П, дн ао Йш аг' дг' Ис в символ Ь введен дяя сокращенного обозначения операции дз дз дз — + — + —.
дхз дуз дяз Если, как это было в примерах, разобранных в 21, составляющая скорости потока в направлении оси х, т.е. величина и, значительно больше двух других состевляющих и если зта составляющая сильнее всего изменяется в направлении оси у, то основную роль играет напряжение Хи [в 21, в уравнении (1), мы его обозначили чере г]. Поэтому в первом из выражений (6), определяющем силу Х, наибольшую дХ„ величину будет иметь член — ", причем на основании четвертого из ду ' равенств (5) мы будем иметь: дХи дз =р ду ду' (так как составляющая э мала по сравнению с и).
Следовательно, в рассматриваемом случае силами, управляющими потоком, будут: только что указанная сила д †„ вызваннан трением, перепад давлеиия —— ыоз др дп" дэ и сила инерции' — р —" (ср. ~ 4 гл. П). Дальнейшими вычислениями мы пс не будем заниматься, так как их доведение до конечного результата в общем случае наталкивается на очень большие математические трудности. Вместо этого мы остановимся в следующем параграфе на вопросе механического подобия, имеющем важное значение для получении правильного общего представления о гидродинамических явлениях.
й 2. Механическое подобие. Число Рейнольдса. Если для двух потоков около или внутри геометрически подобных тел картины линий тока также геометрически подобны, то такие потоки называются механически подобными. Весьма важно найти условил, при которых для внешне геометрически подобных потоков осуществляется также и механическое подобие. Длн этого, очевидно, необходимо, чтобы в подобно расположенных точках сравниваемых потоков отношения трех сил: перепада давления, силы трения и силы инерции — были одинаковыми. Так как эти три силы уравновешивают друг друга, то в дальнейшем мы можем ограничиться рассмотрением только двух из них; мы выберем силу инерции и силу тренин, так как перепад давления, по крейней мере для несжимаемых потоков, не обладает сам по себе какими-либо характерными признаками. Различные геометрически подобные потоки мы будем сравнивать друг с другом прн помощи кеких-либо характерных длин 1ы 12,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
