Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ю с' С другой стороны, подставив в формулу (62) значение Л из равенства (64), мы получим: Я г; ')( 2гг 'у Р' (68) поэтому и= фр. Отсюда, диференцирул по 1г и имел в виду равенство (67), мы найдем: 1Б 1р 2~/ И 169) Л= —, 2ксг Ь' где с есть скорость перемещения очага возмущении. При движении ко- раблл образуются две системы таких волн — одна около носа, другая около кормы кораблл, причем волны обеих систем интерферируют друг с другом.
Таким образом, группы волн распространлютсл со скоростью с', равной половине фазовой скорости, иными словами, гребни в группе волн перемещаютсл со скоростью, в два раза большей, чем сама группа волн; на заднем конце группы все времл возникают новые волны, а на переднем конце группы они исчезают. Это лвление очень легко наблюдать на волнах, вызванных падением камнл в неподвижную воду.
Все сказанное относитсн не только к волнам на поверхности воды, но и к любым другим волнам, фазовал скорость которых зависит от длины волны. Другим видом групп волн лвллютсл волны, возникающие на поверхности воды при движении кораблл. Картину волн, очень похожую на корабельные волны, легко получить, если на поверхности поколщейсл глубокой воды заставить двигаться с постолнной скоростью точечный очаг возмущения давления. Возникающее при этом движение может быть исследовано математически.
Согласно вычисленилм В. Томсона 11огс1 Ке1ч1п), Экмана (ЕЬпап) и других, получаетсл система воли, изображеннал на рис. 83, на котором наклонными линилми обозначены гребни волн. Эта система волн перемещаетсл вместе с очагом возмущенил. Длина поперечных волн на основании формулы (62) равна Групповая скорость капиллярных волн, как нетрудно показать путем расчета, аналогичного сделанному для гравитационных волн, больше фазовой ско— рости, а именно, в предельном случае 39' очень малых волн, в 1,5 раза. Следовательно, если очаг возмущения движется с постоянной скоростью, то группы волн его опережают. Около лески удачки, опущенной в реку, скорость течения которой больше 23,3 см/сек, образуются вверх по течению капиллярные волны, а вниз по теченшо — гравитационные волны, причем последние имеют приблизительно такую же форму, как на рнс.
83, а первые расходятся вверх по течению в виде дуг окружностей. При скоростях движения очага возмущения, меньших 23,3 сл>>>сея, волны не образуются. На поверхности соприкосновения двух жидкостей различной плотности, расположенных одна над другой, также могут возникать волны. Если обе жидкости неподвижны и плотности их равны р> и рз, то теоретический расчет дает длл фазовой скорости волн величину Рис. 83. Система волн, образую- шихся при равномерном движении на поверхности воды очага возму- щения давления (70) Если верхняя жидкость течет со скоростью ш> относительно нижней, то теория показывает, что возникающие волны устойчивы только в том случае, если их длина достаточно велика.
Короткие >ке волны, подобно тому, как это было показано в 3 7 для движения двух потоков жидкости вдоль поверхности раздела, неустойчивы, что приводит к перемешиванию обеих жидкостей в промежуточной зоне; это перемешивание восстанавливает устойчивость течения. При увеличении скорости ш> граница между неустойчивостью и устойчивостью перомещаетсл в сторону волн с большей длиной. Волны такого рода могут возникать также в атмосфере на границе двух слоев воздуха разной плотности, движущихся относительно друг друга; иногда эти волны делаютсл видимыми благодаря образованию так называемых волнистых облаков.
При движении воздуха над поверхностью воды также образуютсл волны. Однако теорил таких волн, основанная на предположении отсутствия тренил, приводит к результатам, противоречащим действн- тельности. Так, например, вычисления В.Томсона! показали, что минимальнал скорость ветра, необходимал длл образования на поверхности воды волн, должна составллть круглым числом 6,4 м/сек, причем возникают волны, обладающие минимальной скоростью распространения с = 23,3 см/сек и длиной волны А = 1, 72 см (при большей скорости ветра получаютсл, конечно, волны с большей длиной).
Между тем в действительности для образованил волн достаточно ветра со скоростью 1 м/сек. Согласно исследованию Джеффри это объясняетсл тем, что вследствие трения распределение давления на поверхности волны делается несимметричным, и поэтому ветер, если его скорость больше фазовой скорости волн, совершает на гребне каждой волны работу. Мотцфельдз. измерив распределение давления на поверхности моделей водяных волн, нашел, что сопротивление, которое воздух оказывает движению волн, пропорционально полуторной степени наклона поверхности волны в точке перегиба относительно горизонта, а также квадрату разности между скоростью ветра шв и фазовой скоростью волн.
Далее, Мотцфельд путем расчета нашел, что наклон поверхности волны в точке перегиба, зависящий от фазовой скорости с, получается наибольшим при 1 — 3 Этой скорости с соответствует, на основании формулы (62), волна длиной г 2я шв (71) г Если принять во внимание поверхностное натяжение, которое Мотцфельд не учитывал, то расчет показывает, что длл возникновенил легкого волнения на поверхности воды достаточно, в полном соответствии с наблюденилми, ветра со скоростью, немного превышающей 23,3 см/сек. Формулы, выведенные выше, пригодны только для волн на глубокой воде. Они еще достаточно точны, если глубина воды равна половине длины волны. При меньшей глубине частицы воды на поверхности волны описывают не круговые траектории, а эллиптические, и зависимость ме!кду длиной и скоростью распространения волн получается более сложной, чем для волн на глубокой воде. Однако для волн на гТогоеогг ПГ., РЫ1.
Маб. (4), т. 42 (1871), стр. Зб8. аз е ГГг е у е Н., Ргос. Коу. Бос. (А),т. !07 (1925), стр. 189, и т. 110 (192б)., стр. 241. аМо се Ге 1 4 Н., 2АММ, т. 17, (1937)., стр. 193-212. очень мелкой воде, а также длл очень длинных волн на средней воде только что указаннал зависимость принимает оплть более простой вид.
В обоих последних случалх вертикальные леремещенил частиц воды на свободной поверхности весьма незначительны по сравнению с горизонтальными перемещенилми. Поэтому можно опять считать, что волны имеют приблизительно синусондальную форму. Так как (траектории частиц представляют собой очень сплющенные эллипсы, то влиянием вертикального ускоренил на распределение давленил можно пренебречь. Тогда на кагкдой вертикали давление будет изменлтьсл по статическому закону, и разности высот жидкости будут обусловливать практически только горизонтальные ускоренна.
Мы ограничимсл здесь вычисленилми лишь длл случал дви>кенил «вала» воды, изобра>кенного на рис. 84. Эти вычислении очень простые и в дальнейшем будут нами использованы длл исследованил распространения возмущения давленил в сжимаемой среде (см. ~ 2 гл. 1Ч).
Пусть на поверхности воды над плос- С ким дном распространлетсл со скорос- тью с справа налево вал шириной Ь, по- Ь Ь~ вышающий уровень воды от >>> до >>з. Предположим, что до прихода вала вода находилась в покое. Скорость ее движеРис. 84. Вал иа поэерхноста нил после повышенил уровня обозначим зады через и>. Эта скорость, отнюдь не совпадающая со скоростью с распространенил вала, необходима длл того, чтобы вызвать боковое перемещение объема воды в переходной зоне шириной Ь вправо и тем самым подплть уровень воды с высоты >» до высоты Ьэ.
Примем длл простоты, что наклон вала по всей его шири- Ьг — Й>> не постолнен, следовательно, он равен . Тогда, при условии, что скорость л> достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь по сравнению со скоростью с распространенна вала, вертикальнал скорость подъема воды в области вала будет равна с(йг — 6>) Ь Условие неразрывности, примененное к слою воды толщиной в единицу (в направлении, перпендикулярном к плоскости рис.
84), приводит к уравнению: йгы = Ье, или Ь2>д = с(Ь2 /11). (72) Мы видим, что из этого уравнения ширина вала Ь выпала, следовательно, связь между скоростями ю и с не зависит от ширины вала. Уравнение (72) остается верным, как нетрудо показать, и для вала с непрямолинейным профилем. В самом деле, разбивая такой вал на ряд узких валов с прлмолинейными профилями н складывая уравнения неразрывности, составленные длн каждого отдельного вала, мы получим справа опять величину с(Ь2 — Ь1), а слева — оплть величину Ьзп>, правда, при условии, что разностнми уровней соседних узких валов можно пренебречь.
Из уравнения (72) следует, что при малой величине скорости о> должна быть мала также разность высот Ь> — Ь2> следовательно, это уравнение применимо только к низким валам, и поэтому только что упомянутое условие вполне оправдано. К кииематическому соотношению (72) следует присоединить динамическое соотношение, которое легко вывести следующим образом. Объем воды шириной Ь в области вала находится в ускоренном движении, так как частицы, составляющие этот объем, начинают свое движение иа правом краю со скоростью нуль, а на левом краю имеют скорости >л.
Возьмем какую-нибудь частицу воды в области вала. Время, в течение которого над этой частицей проходит вал, очевидно, равно Ь т = с поэтому ускорение частицы будет ш шс Объем воды в области вала, если его толщину в направлении, перпендикулнрном к плоскости рисунка, принять равной единице, имеет массу рЬЬ , где Ь есть средний уровень воды в области вала. Разность давлений по обе стороны вала на одной и той >ке высоте составллет 7(Ь2 — Ь1). Следовательно, полная сила давления, действующая на рассматриваемый объем воды в горизонтальном направлении, равна Ь 7(Ь2 — Ь1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
