Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Применяя основное уравнение динамики: сила равна массе, умноженной на ускорение, мы получим; Ь 7(Ь2 Ь1) = р ы с (> ' откуда, имея в виду, что 7 = ря, найдем: >ос — а(Ь2 Ь1 ) ° (73) Таким образом, ширина вала Ь выпала и из этого уравнения. Аналогично тому, как это было сделано для уравнения (72), можно показать, что уравнение (73) применимо также длл вала с другим профилем при условии, что разность Ь> — Ь1 мала по сравнению с высотами Ь> и Ьз.
Для дальнейшего упрощенил заменим в левой части уравнения (72) Ьз на Ь, что при малой величине разности Ьз — Ь> вполне допустимо, и разделим уравнение (73) на уравнение (72); после сокращений мы получим: с =ф~ (74) Чередование положительных и отрицательных валов приводит, очевидно, к образованию волн. Скорость распространения таких волн на основании уравнения (74) не зависит от формы волны.
Следовательно, длинные волны на мелкой воде распространяются со скоростью с = х/~Ь, называемой критической скоростью. Если на воде следу>от друг за другом несколько низких валов, из которых каждый несколько повышает уровень воды, то скорость ьЯЬ каждого последующего вала несколько больше скорости предыдущего вала, так как последний уже вызвал некоторое увеличение глубины Ь. Кроме того, каждый последующий вал распространяется не в неподвижной воде, а в воде, уже движущейся вправо со скоростью и.
Это приводит к тому, что последующие валы догонлют предыдущие, в результате чего возникает крутой вал конечной высоты. Исследование распространенпл вала конечной высоты можно выполнить при помощи теоремы о количестве дни>кения совершенно таким же образом, как это было сделано в 813 прн рассмотрении внезапного расширения потока. Для того чтобы движение воды при распространении вала можно было рассматривать как установившееся, расчет следует вести в системе отсчета, движущейся вместо с валом.
Скорость распространения вала конечной высоты больше чем ф~.> 816. Движение воды в открытом русле. Если в русле, па дне которого имеется пологое возвышение (например, донная плотина), вода течет со скоростью, меньшей критической скорости чЯЙ, то перед плотиной возникает подпор воды — повышение уровня ее свободной поверхности. Если же скорость течения воды а льше критической, то над >Более подробные свсдснил о волновых двнженил малина найти в книгах: С рег е н с к и й Л. Н.. Теорил волновых движений жидкое ~ и, Москва, 1936; К о ч и н Н. Е., К и бель И.А. и Раве Н.
В., Тсоретическал гидрам ханика, ч. 1, иад. 4-с, Москва, 1948. плотиной или на некотором расстоянии перед ней возникает вал конечной высоты, так называемый лрызсоя воды, причем этот вал ни в какой мере не влияет на движение воды до плотины. В ~ 2 и 4 гл. 1Ч мы увидим, что сходное явление происходит и при движении газовых потоков, причем там роль критической скорости ~ЯЬ играет скорость звука. Движение воды в открытом русле со скоростью, меньшей ~ЯД, называют спокойным течением, а движение со скоростью, большей ьЯЕ, —- стремительным течением. Вычислим для заданного расхода воды Я (на единицу ширины русла) 9 л значения глубины, соответствующие г возрастающим скоростям течения ш (рис.
55). Понижение уровня в каком- нибудь сечении относительно уровня .л..р ' гй» ~Ф' неподвижной воды равно Рис. 85. Перетекание воды через плотину а = —. И' Следовательно, расстояние соответствующен точки дна от уровня неподвижной воды будет е г = 6+ а= — + —. 2я ™' (75) При изменении скорости и от 0 до оо величина г изменяется от оо до оо, принимая в промежутке конечные значения: поэтому при определенном и она должна иметь минимальное значение (в ЗЗ гл.
1Ч мы увидим, что таким же образом изменяется поперечное сечение трубки тока при движении газа). Взяв производную от правой части уравнения (75) и приравняв ее нулю, мы найдем. что указанный минимум имеет место при скорости Этой скорости соответствуют значения 6 и а. равные йп — — — й —, аь —— ы — „= 26ы Глубина воды в этом сечении, обеспечивающая при скорости и рас- ход Ц, очевидно, равна Отсюда следует, что ш, =,Дам т.е. скорость и > равна скорости распространения вала на воде с глубиной а>.
Произведенный расчет показывает, что при перетекании воды через пологое возвышение на дне глубина воды над наивысшей точкой возвышения равна 7з расстояния з этой точки от уровня неподви>кной воды. Скорость течении воды над этой точкой равна /2 >л> = -8'з 8 следовательно, расход Я равен (76) Ниже вершины возвышения течение воды стремительное, но затем оно опять делается спокойным, причем переход в спокойное течение происходит обычно резко — путем образования прыжка воды (см. ниже). Для непологих возвышений нельзя принимать, что скорость — — — течения одинакова во всем по! Н перечном сечении, однако в ка- чественном отношении результаз ты остаются такими же, как и в рассмотренном случае ]ср.
с ~12, >з и. е) следующей главы]. >'>'>' Выведенные формулы могут быть использованы также в более Рис. 86. Профили свободной поверх- широких целях. Рассмотрим русности воды при леретекании через ло, на дне которого имеется поло- возвышение на дне русла гое возвышение (рис. 86), и для ря- да высот уровня неподвижной воды (штрих-пуьпстириые прямые) вычислим и отложим на рисунке глубины а при опредоленном значении секундного расхода Ц (для каждой точки дна русла н каждой высоты уровня мы получим два значения глубины а). Найденные таким путем профили свободной поверхности воды изображены па рис. 86.
Наиннзшему возможному поло>кению уровня неподвижной воды соответствует профиль 1-1У, проходящий через двойную точку. Для течения, изображенного на рис. 85, возможен только этот профиль. Профили 1-П и П1-1Ъ', соответствующие более высоким уровнлм неподвижной воды, также встречаютсн в практических Рис.
86. Профиль свободной поверхности воды при перетеквиин через возвышение на дне русла. Скорость течения больше критической скорости,ЯИ Рис. 80. Профиль свободней поверхности воды прн перетеквннн через возвышение ка дне русла с образованием прыжка. Ло прыжке скорость течения больше, а после прыжка меньше игдд Рнс. 87.
Профиль свободной поверхности воды при перетеквнии через возвышение нв дне русла. Скорость течения меньше критической скорости зггдд гВеивв1иевд 3.. Евва1 виг 1а 1ьеепе дев евах соигад1ев. Медь дее Яатаи1в Егггаиб., т. 33 11377): см. также Р о г с Ь |з е 1 ге е г РЬ., Нудгаи1нь и ад. 3, 1930 1и мается в переводе ив русский язык: Фаре гед мер Ф., Гидрвввикв, Месквв, 1035 условиях (рис. 87 и 88). Профили П-1Ч, изображенные на рис. 86 штрихами и построенные для уровней неподвижной воды, более низких, чем наименьший возможный, практически осуществляются только в своей верхней части после прыжка воды, связанного с потерей энергии 1рис.
89). Скорость течения, изображенного на рис. 87, меньше критической скорости т/8йг, и над вершиной возвышеннн дна получается понижение уровня воды. Наоборот, для случаи, изображенного на рис. 88, скорость течения больше критической скорости тЯЕ, и уровень воды над возвышением дна поднимается, причем на высоту, большую высоты возвышения. Наконец, для случая, изображенного на рис. 89, скорость течения на участке от возвышения дна до прыжка больше, а после прыжка меньше критической скорости Я)ь О роли, которую в рассмотренных явленпнх играет трение, будет сказано в 3 12, и.
7) гл. 1П. Еще раз подчеркнем, что в предыдущих рассуждениях мы пренебрегали влиянием вертикального ускорения. Учет этого ускорения при стремительном точении приводит только к незначительным количественным поправкам; при спокойном же течении получается качественное изменение характера движения: вниз по течени1о от очага возмущения возникают волны'.
ГЛАВА 3 Движение вязких жидкостей 9 1. Вязкость (внутреннее трение). Все реальные жидкости обладают определенной вязкостью, которая проявляется в виде внутреннего трения при деформации. Некоторые жидкости, например, мед, глицерин, тяжелые масла и др., обладают особенно большой вязкостью. Для того чтобы понять, в чем заключается сущность вязкости, рассмотрим следующий простой пример. Пусть между двумя параллельными пластинками находится жидкость и пусть одна из этих пластинок (верхнял) движется в своей плоскости со скоростью 1', а другая (нижняя)— покоится (рис.
00). Тогда под действием вязкости в жидкости устанавливается такое состояние движения, при котором слои, непосредственно прилегающие к пластинкам, имеют одиРнс. 90. Движение вязкой жнд- наковую с ними скорость (априлипакости между двумя пластинками ють к пластинкам), а промежуточные слои скользлт друг по другу и обладают скоростями и, пропорциональными расстоянию от неподвижной пластинки. Следовательно, скорость слоя, находящегося на расстоянии у от нижней пластинки, равна у и=У а где а есть расстояние между обеими пластинками.
Трение жидкости проявляется при этом в виде силы, оказывающей сопротивление движению верхней пластинки. Эта сила пропорциональна градиенту скорости жидкости, т.е. изменению скорости, происходящему на единице длины в направлении, перпендикулярном к плоскости пластинок. Величина силы сопротивления, приходящаяся на единицу площади пластинки, называется касательным напряжением. На основании сказанного касательное напряжение равно т=р.—, Ъ' или, в более общей формулировке,. Величина р называется коэффициентом внутреннего трения жидкос- ти, или коэффициентом вязкости, или, наконец, просто няэкостью'. На существование соотношения (1) первое указание имеется у Ньютона, и поэтому оно часто называется эаконолс трения Ньютона.
У 2 ~1 2 р~' — 1 — 'р„ Рис. 91. Движение вязкой жидкости в трубе Рз Рэ У т сз 2' (2) зобознечение вязкости буквой р, принятое в гидромеханике, введено английскими учеными. Физики обычно обозначают влзкасть буквой ж Размерность вязкости есть МБ 2Т 2. Обозначение касательного напряжения символом Хе имеет целью показать, что рассматривается напряжение Х, действующее на площадке, нормаль к которой параллельна оси у. 2 От летинского слова !апина — спой. При некоторых движениях вязкой жидкости ее слои скользят один по другому, не перемешиваясь между собой. Такие движения называются ламипарными'.
Для исследования нескольких простых случаев ламинарного движения вполне достаточно соотношения (1). Одним из таких случаев является движение в прямолинейной трубе с круглым поперечным сечением. Выделим между сечениями трубы 1 и 2 жидкий цилиндр радиуса у (рис. 91).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
