Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 28
Текст из файла (страница 28)
и характерных скоростей оы эз,... За характерную длину можно взнть, например, диаметр или длину тела, ширину канала и т.п., а за характерную скорость — скорость движения тела или среднюю скорость в определенном сечении канала. Плотность и вязкость в различных потоках также могут иметь различные значенил; обозначим их соответственно чеРез Ры Рз,... и чеРез Ры рз,... Составляющие силы инерции, одна из которых (см.
конец предыдущего параграфа) равна зпод силой инерции следует пониметь сопротивление, которое инертная масса оковывает изменению своего яви>кения, т.е. ускорению, вызывеемому другой мессой. См доветсльно. снлв инерции = — мессе к ускоренно. рэ' 1ао ри1 'Р 1с должно быть одинаковым в подобно расположенных точках. Поскольку это отношение представляет собой отношение двух сил, отнесенных к единице объема, т.е. двух величин с одинаковой размерностью, оно лвляетсл отвлеченным, безразмерным числом.
Следовательно, два геометрически подобных потока 1 и 2 будут подобны таклсе механически, если для них имеет место равенство: Рт раса Рзозст И1 1сз (о) рп1 Число — — В характеризующее отношение силы инерции к силе треи ния, называют числом Ребиольдса в честь английского ученого Осборна Рейнольдса', открывшего выведенный закон подобия.
Отношение вязкости к плотности, т. е. —, называетсл линел1атичес- И Р' лой вязкостью и обозначаетсл буквой р. Размерность 1синематической Н ау пп1Ыа О., Р1п1. ттапа.. 1383, также Рарета, т. П, стр. 51. в подобных потоках должны относиться друг к другу как выраже„а ния р —. В самом деле, если два потока подобны, то значения скорости и в соответственных тачках обоих потоков, а потому и малые разности ди этих значений должны относиться друг к другу как характерные скорости эт и эз1 длины же х и у, а также их малые разности дх и Ыр должны относиться друг к другу как характерные длины 11 и 1з.
На основании аналогичных соображений составляющие силы трения, в сода и ответствии с их выражением я —,, относятся друг к другу в подобных два потоках как выражения в — ". В самом деле величины д~и суть не что 12 ' иное, как разности скоростей второго порядка малости и поэтому должны относиться друг к другу как характерные скорости о1, оз, а ду суть квадраты малых разностей длин и поэтому должны относиться друг к другу как квадраты характерных длин 11 и 1т, т.е. как Я и Я. Таким образом, сформулированное выше условие механического подобна сводится к тому, что в геометрически подобных потоках отношение рп Рп величин — и †, т.е.
1а > вязкости, как легко видеть, будет дзТ '. Таким образом, какое-ли- бо состояние потока вязкой жидкости можно охарактеризовать числом Рейнольдса й= — = —, Ри1 е1 1« и: (9) соответствующим этому состоянию. Если число Рейнольдса мало, то это означает, что в потоке преобладают силы вязкости. Наоборот, если число Рейнольдса велико, то главную роль в потоке играют силы инерции. Ниже мы увидим, что для обоих этих случаев законы движения жидкостей и законы сопротивления, возникающего при движении, очень сильно отличаются друг от друга.
Из равенства (8) видно, что на состояние потока существенное влияние оказывают, наряду с влзкостыо, также пространственные размеры, определяющие движение жидкости, и скорости. Если пространственные размеры, определлющие движение жидкости, очень малы, то законы движения, соответствующие малым числам Рейнольдса, имеют место при всех практически возможных скоростях. Если же эти размеры велики, то указанные законы справедливы только при очень малых скоростях или для очень вязких жидкостей.
Заметим также, что в подобных потоках разности давлений относятся как роз или, на основании равенства (8), как и .' Величина вязкости р, равная 1 %ж .сен, называется в честь Пуазейля — луаэол«. Для величины кинематпческой вязкости, равной 1 слсз/сел, предло>кено в честь Стокса название стоке.
Кинематическая вязкость и имеет для указанных ниже жидкостей следующие значения: слс~/сек Вода при 0' » » 20' . » 50' . »» 100' Ртуть при 0' » » 100' ..............,............. Глицерин при 20' ........................ Воздух при 0' и 1 ата (сс 760 мм рт. ст.) » » 100' и 1 ата .................. « » 0' и О, 01 ата ................. » 0' и 100 ата .................. О, 0178 О, 0100 О, 0056 О, 0030 0,00125 0,00091 6,8 О, 133 О, 245 13,3 0,00133 «Подробности о применении теории подобии в гпдроазромеханике можно найти в книге: С е д о в Л .
И ., Методы теории размерностей и теории подобие в меха инке, Москва, 1944. 3 3, Движение тел в вязких жидкостях. Формула Стокса. Пограничный слой. Математическое изучение движения тел в вязкой жидкости сопряжено со столь большими трудностями, что до сих пор такому изучению оказались доступными только предельные случаи, а именно, случай очень большой вязкости, т. е. очень малого числа Рейнольдса, и случай очень малой вязкости, т.е.
очень большого числа Рейнольдса. Ксли в потоке преобладают силы влзкости, что имеет место, с одной стороны, в очень вязких жидкостях !например, в моторном масле), а с другой стороны, также в обычных жидкостях при весьма малых размерах, определяющих движение, то можно пренебречь силами инерции по сравненюо с силами влзкостн и считать, что перепад давленпл и силы треннл, приложенные к любой части жидкости, уравновешивают друг друга.
Согласно сказанному в 5 2, в геометрически подобных поторо ках силы трения, отнесенные к единице объема, пропорциональны —,. Так как силы давления уравновешиваются с силами трения, то и они ро должны быть пропорциональны —. Следовательно, в рассматриваемом !т случае геометрическое подобие влечет за собой всегда и механическое подобие. Так как сравниваемые объемы относятся как Гз, то полные силы сопротивления относятся как произведения рпГ. Для некоторых тел простой формы удалось произвести расчет потока и определить сопротивление при движении тела.
Наиболее известным явллется решение Стокса' для движения шара. Для величины сопротивления Иг Стоке получил формулу !10) Иг = 6ярпа, где а есть радиус шара, а и — скорость его движенил. Эта формула, называемая формулой Стокса, имеет важное значение для расчета паденил маленьких капель. Так как в этом случае сопротивление следует принять равным весу капли за вычетом поддерживающей силы, то мы мол!ем напнсат!н бмроа = — (Р! Рт)Ка 4я з 3 где р, есть плотность падающей капли, а рт — плотность окружающей среды. Отсюда мы получаем скорость падения: 2(Р -Р) 9 Гг гЯ!о)гее О. О., Оп гпе ейес! оГ!)ге !пгегпе! Гг!с!!оп оГЯпше оп гве гпогмп оГ репг!и!пше, Тгепе.
Сетьгмхе РЫ!. Боо., ш. 9 !1550). стр. 5; текже в Мег1п апг! Рьуе. Рореге, т. 111, етр. 55. Эта формула применима только для таиих движений, при которых число Рейнольдса мало по сравнению с единицей. Для падения водяных капель в воздухе формула (11) принимает вид: и=1,3 10 а~, причем а следует брать в сантиметрах. Из условия, что Й = — "„а < 1, получается, что формула (11) верна только для капель, радиус которых меньше О, 01 мм. Из таких капель состоит туман. Движенил жидкости, при которых число Рейнольдса меньше единицы, называются ползущими течениямщ При движениях с очень большими числами Рейнольдса влияние тренин делаетсл совершенно ничтожным.
Такие движеннл совпадали бы с движениями жидкости без трения, рассмотренными в 2 4-12 гл. П, если бы не было условил прилипания к стенкам, которому жидкость, лишенная трения, не может удовлетворлть. Более детальное исследование показывает, что жидкость, обладающая малым трением, при движениях с большимн числами Рейнольдса ведет себя вдали от стенок совершенно так же, как жидкость, лишенпал трения; но около стенок она образует вследствие трения тонкий пограничный слой, в котором скорость изменяется от значенил, соответствующего движению без трения, до значения, соответствующего условию прилипания. Пограничный слой тем тоньше, чем меньше вязкость. Так как внутри пограничного слон в направлении, перпеиднкуллрном к движению, скорость изменяется довольно быстро, то даже при очень малой вязкости здесь получаются такие силы тренил, которые сравнимы с силами инерции и поэтому не могут быть отброшены, как вдали от стенок, где онп ничтожно малы по сравнению с силами инерции.
На рис. 92 показано распределение скоростей в пограничном слое. Если толщина пограничного слоя представллет собой величину порядка б, а размер тела в направлении тече— а ния — величину порядка (, то сила тренил иа 6 единицу объема, равная, согласно сказанному до в конце 21, 1л —, (направление у нормально Рнс. 92.
Распределение скоростей вблизи стенки к поверхности тела), будет иметь порядок ~ 4г ф5' а сила инерции на единицу объема, как и раньше, — порядок †. Так как в погранячном слое обе эти силы представляют собой величины од- Ле' ного и того же порядка, то величины — и — пропорциональны друг бг другу, т. е.
цю до бз (знак означает «пропорционально»), откуда получается формула: -д4 дающая оценку для толщины пограничного слоя. Рис. 93. Течение вдоль пластинки Этот же результат молсно получить, применял теорему о количестве движения к потону вдоль плоской пластинки. Пусть пластинка имеет длину 1 и ширину Ь; скорость течения пусть равна ш и, наконец, толщина пограничного слон пусть приближенно равна Ю (рис. 93).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
