Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Мы увидим, что вместо того, чтобы упасть вертикально вниз, цилиндр «и ' я' начнет планировать по довольно пологой траекто- ее Вен Рип. ПРи таком двюкепии (Рис. 68) на цилиндР, 6 е>не кроме подъемной (поперечной) силы А, перпендикулярной к направлению движения, действует еще 0 сопротивление И>, направленное против движении, Рнс. 68. Силы, лейкоторое, однако, в случае длинного н узкого ци- стеующие аа палалннлра и при наличии боковых дисков значитель- ющий вращающий- но меньше, чем падъемнан сила.

Равнодействую- лр щал этих обеих сил уравновешивает вес цилиндра и тем самым замедляет его падение. 5 12. Движение жидкости, лишенной трения, с вращением частиц. Вихревые нити. Для изучения движений однородной, лишенной трения жидкости с вращением частиц воспользуемся опять теоремой Томсона о постоннстве циркуляции по замкнутому >кидкому контуру. Из этой теоремы и из геометрических свойств ротации скоростк (называемой также вихревым вектором) можно вывести известные теоремы Гельмгольца о вихревых движенилх. Эти теоремы, касающиеся весьма важных геометрических и механических соотношений, имеющих место прн движении жидкости с вращением частиц, были выведены самим Гельмгольцем несколько иным путем, а именно — на основе электродннамических представленийз, Однако следствия, вытекающие из этих теорем, получаются простыми только в том случае, когда частицы меидкости, находнщиеся во вращении, занимают область в виде нити, и вне этой области движение происходит без вращения частиц.

В таком случае говорят о аихревьех нитппх. Важнейшие теоремы о вихревых нитнх можно вывести из свойств окружающего нх потенциального течения, не углублнясь прн этом в детали движения жидкости с вращением частиц. Таким образом, мы должны вернуться Не>юьо>гх Н., Сгенез попгп., т. 55 ОВ55), егр. 25. к потенциальному движению с циркуляцией, о котором мы говорили в 911. Напомним, что область, в которой происходит такое потенциальное движение, нвллется многосвнзной и что циркуляция по всем кривым, В которые можно перевести друг в друга, не пересекав границ области, одинаковая. Отсюда, как мы сейчас увидим, следует, во-первых, что вихревая нить должРис, 69 Якх на либо иметь фаРмУ кольЦа, т.

е. быть замкнУтой, либо реева нить доходить своими концами до границ жидкости, и, во- вторых, что циркуляция вокруг вихревой пити в один и тот же момент времени во всех местах должна быть одинаковой. В самом деле. проведем в потоке замкнутую лини>о, состоящую нз двух петель А н В вокруг вихревой нити и двух отрезков АВ и ВА (рис. 69). Эту линию моксно путем непрерывной деформации стянуть в точку, ие пересекая вихревой нити. Следовательно, циркуляции вдоль этой линии равна нулю.

Но эта циркуляция складывается нз четырех частей, две из которых получаютсн при интегрировании вдоль отрезков АВ и ВА, а две другие — при интегрировании вдоль петель А и В. Циркуляции вдоль примыкающих друг к другу отрезкон АВ и ВА взаимно уничтожаются, так как эти отрезки при интегрировании обходятся в противоположных направленнлх. Следовательно, должны взаимно уннчто>каться и циркуляции вдоль петель А и В, так как иначе полная циркуляцин по всей жидкой линии не была бы равна нулю. Это означает, что цнркуллцнп вдоль петель А и В равны по абсолютной величине.

но противоположны по знаку. Но проведенная замкнутая липин огибает вихревую нить окало А и около В в противоположных направлениях, поэтому цир>еуллц>ил около А и В, взятая в одном н том же поправлении, должна быть одинаковая. Если бы вихревая нить оканчивалась где-либо внутри жидкости, то мы могли бы одну нз петель снять с вихревой нити, в то времл как вторая продолжала бы оставатьсл на вихревой нити.

Тогда первая петля потерлла бы свою цнркуляцщо, в вторвл — сохранила, Следовательно, изменилась бы полная циркуляция вдоль проведенной замкнутой линии при перемещении последней в пределах области потенциального движения, что, однако, невозможно. Таким образом, мы приходим к следующей теореме: Вихревая нить ке леолсет оканчиваться нигде внутри жидкости и клевет везде одинаковую циркуллцию. К этому, чисто геометрическому свойству вихревой нити присоединяется еще динамическое свойства, вытекающее из теоремы Томсона: Циркуляция вокруг вихревой кити ке изжекяется с течекися врелеек>с Рассмотрим теперь, что происходит с очень маленькими замкнутыми жидкими линиями.

Если эти линии лежат в области потенциальпого движения, то циркуляция вокруг них равна нулю. Если лсе они находятся внутри вихревой нити, то в общем случае циркулнция вокруг ннх не равна нулю, причем, согласно теореме Томсона, она все время остается постоянной. Отсюда непосредственно следует, что вихревая нить состоит осе арелгл из одних и тех же частиц жидклгтьс Так как количество движения и энергин самой вихревой нити малы по сравнепшо с количеством движения и энергией окружающего потенциального потока, то движение вихревой нити в основном управляется движением потенциального потока (см.

ниже, пример первый). Правда, геометрически потенциальное движение можно свести к циркуллции вокруг есп вихревой нити, что для расчетов обычно удобнее. При таком представлении движение каждого элемента вихревой нити обусловливается ппняпием всех остальных элементов нити, а все потенциальное движепне вызывается вихревой нитью. Однако такое представление следует рассматривать только как геометрическое. С точки зрения энергетической преобладающее влияние на дни>кение вихревой нити оказывает внешнее движение.

Формулы для расчета полн скоростей вокруг вихревых нитей, определенным образом расположенных, полностью совпадают с электродинемнческими формулами, выражающими закон Био — Савара. Вихревые нити соответствуют электрическим проводникам, циркуляция — силе тока, поле скоростей — магнитному полю и углован скорость враз>ения — плотности тока. Сила тока, подобно циркуляции, одннакопа вдоль всего проводника, а плотность тока обратно пропорциональна площади его поперечного сечения. Для вихревой нити, согласно формуле (32) й 9, при з>п >х = 1 циркуляция равна Г = 2шГ.

Следовательно, в тех местах, где поперечное сечение вихревой нити испьше, угловая скорость вращения больше, и наоборот. Такая >ке связь между Г и ш существует и во времени: если какой-либо отрезок вихревой нити вытягивается, то углован скорость вращения возрастает обратно пропорхщонально поперечному сечению. При этом длина отрезка вихревой нити увеличиваетсн также обратно пропорционально поперечному сечению, так как объем нити остаетсн неизменным. СлеПовательно, угловая скорость еращенил нити изл>еняется а точное>ли пропорционально иэл>енению длины отрезка нити.

Указанные факты и составляют основное содержание теорем Гельмгольца. Рассмотрим несколько примеров движения вихревых нитей. а) Прямолинейные параллельные вихревые нити в жидкости, в остальных местах свободной от вращения. Как уже было сказано в э11, вихревая нить с циркулнцией (или напряженностью) Г создает вокруг себя поле скоростей. В каждой точке этого поля скорость перпендикулярна к оси вихря и к радиусу г, соединяющему ось вихря с рассматриваемой точкой поля, а по абсолютной величине, согласно формуле (48), равна Ш = Г 2кг Если имеется несколько вихревых нитей, то отдельные поля скоростей налагаются друг на друга, и каждая вихревая нить принимает участие в том движении, которое возникает в занимаемом ею месте под действием других нитей. Так, например, в случае двух параллельных вихревых нитей обе они враща1отся вокруг оси, параллельной осям обеих нитей.

Для определения положении этой оси следует отложить вдоль осей обеих нитей отрезки, пропорциональные нх напряженностям Г, н, рассматривая эти отрезки как силы, сложить их. Линия действия равнодействующей даст положение искомой осн. Отрезки, пропорциональные напряженностнм Г, следует отложить в одну сторону, если оба вихря имеют циркуляции одного знака, и в разные стороны, если циркуляции вихрей противоположны.

В первом случае ось вращения расположена между вихрями, а во втором случае — по одну сторону от них. Две параллельные прямолинейные вихревые нити равной и противоположной по знаку циркуляции образуют пару вихрей (такое название дано по аналогии с парой сил). Пара вихрей совершает прямолинейное поступательное двимсение в направлении, перпендикулярном к кратчайшей прямой, соединяющей оба вихря, причем скорость движения равна Г Ш = —, 2кд' где й есть расстояние между осими вихрей.

В системе отсчета, покоящейся относительно невозмущенной жидкости, картина линий токе вихревой пары имеет вид, изображенный на рис. 70. На рис. 71 показана та же картина линий тока в системе отсчета, движущейся вместе с вихревыми нитями. Часть жидкости, отмеченная на рис. 71 штриха- Рпс. 70. Линии тока па- ры вихрей в неподвиж- ной системе отсчета Рпс. 71. Липни тока пары вихрей в системе отсчета, движущейся вместе с вихревыми ядрами ин, остается все время около вихревых нитей.

Это легко наблюдать, если окрасить жидкость в том месте, где возникает пара вихрей. Для того чтобы взаимодействие прямолинейных параллельных вихревых нитей происходило в точности так, как указано выше, эти нити теоретически Лощкиы престиратьсл в обе стороны да бесконечности или же они должны быть ограничены двумя параллельными стенками. Однеко в последнем случае на движение вихревых нитей влияет трение, возникающее на стенках. Одна из параллельных стенок мольет быть заменена свободной поверхностью жидкости (следовательно, вторал стенка должна быть дноМ сосуда).

Характеристики

Список файлов книги