Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Поступан аналогичным образом с остальными двумя членами криволинейного интеграла, мы получим: — / (них е еду+ и~ ~Ь) = /(Х Их+ У Ыу+ Я~Ь)— 41,) ( — ~ — дх + — дл + — дз) е / (и Ии + о до + ш ош). (33) Р1 Гдр д, др / Р (дх ду ' дл Предположим теперь, что массовая сила обладает потенциалом У, следовательно, Х= — —, Р= — —, 2= — —. дУ дУ дУ дх' ду' дз' Далее предположим, что плотность зависит только от давления, иными словами„что жидкость однороднан. В таком случае все три подинтегральных выражении в правой части равенства (33) могут быть проинтегрированы. Следовательно, производная от криволинейного интеграла вдоль жилкой линки между точками А и В, которые все время должны совпадать с соответствующими частицами жидкости, равна в — ( (идх+ еду+ шдх) = Ул — Ув+ Рл — Рв + И ж/ (и+е+ш) (и+е+ш) гле, как и в 34> введено обозначение: 1Т=' Если интегрирование производится вдоль замкнутой кривой, то точки А я В совпадают, и правая часть равенства (34) делается равной нулю.
Таким образом, теорема Томсона доказана. По поводу допущений, сделанных при ее доказательстве, заметим следующее. О том, что силовое поле должно иметь потенциал, мы не упомянули в приведенной выше формулировке теоремы, так как исходили из предположения, что массовые силы не пролвллют своего действия.
Второе, более важное допущение — об однородности жидкости— бьшо указано в формулировке теоремы. Для неоднородной жидкости теорема Томсона не имеет места. Покажем теперь, что если установившееся течение потенциальное, то лля него облзательно соблюдаетсн уравнение Бернулли. Пусть частица жидкости движется со скоростью, составляющие которой равны и, е, ш. Составляющие угловой скорости |и вращении связаны со скоростями и, е, ш следующими соотношениями: Для того чтобы все три составлнющие угловой скорости были равны нулю, полян ы соблюдаться условпл: — — — =О, — — — =О, — — — =О. де ди ди дш дш де (36) дх ду ' дз дх ' ду дз Но если течение потенциальное, т.е. обладает потенциалом скоростей Ф, то дФ дФ дФ и= — ) о= —, ш= дх' ду' дз' Подставллл эти выражении в равенства (36), мы получим: — ( — ) — — ( — ) =О ит.д.
Следовательно, равенства (36) тождественно выполнлютсл, так как, если Ф есть функция координат, то всегда й( — ")=й( — ") " Умиожим теперь уравнения Эйлера (13) соответственно на дх, бу, дз в сложим; мы получим: — бх+ — ду+ — дз = Хдх+Ус)у+Яхт — — ) — дх+ — ду+ — ~Ь), (37) ди (Ь (Ьи 1 7др др др Й ~И М Р ~дх ду дз где длл —, —, — следует влить их выражения (12). Имел в виду услоди ~Ь дм дг' Иг' 61 вия (36), выражении (12) можно преобразовать следующим образом: — = — +и — +о — +ж — = ди ди ди ди ди дГ дг дх ду дз — +и — +о — +и — = ди ди до дм дс дх дх дх ди+ д )и~+о +м ) д1 дх~ 2 дз дл 1, 2 (38) + ~ — ох+ — оу+ — лз~ + ~ — ох + — ау + — лх~ = О.
)ди д1 д17 1 ~др др др '1 дх ду дз ~ 1дх ду дз Предполагал, что массовая сила имеет потенциал У и что плотность завл- сит только от давленил, и подставили значения (38) в уравнение (37), мы получим: 3се выраженил в квадратных скобках можно проинтегрировать, ие налагал ннкаких ограничений на путь интегрировании. В результате мы получим: 2 э 2 — + Р + 11 = ими. д1 2 (39) Так как интегрирование выполнено нами для определенного момента времени, то постоянная в правой части уравнения (39) в разные моменты времени может принимать, вообще говоря, разные значения (например, в том случае, когда давление в пространстве, занимаемом жидкостью, изменяется путем внешнего воздействия). Поэтому правильнее в правой части написать Г(1) вместо сопэс.
Если движение установившееся то — = О и уравнение (39) дФ О~ \ переходит в уравнение Бернулли. дФ дФ дФ я= —, в= — > >о= дх' ду' дз' (40) Подставлян эти выражения и, и, ш в уравнение неразрывности — + — + — =О, ди до дп> дх ду дл мы получим так называемое уравнение Лапласа: дзФ д'Ф дзФ вЂ” + — + — = О. дхз дуз дл' (41) Это уравнение встречается также в других областях физики, в частности, в электростатике — в учении об электростатическом потенциале, где оно выполняется в таиих местах поля, в которых отсутствуют заряды и диэлектрическая постояннан имеет лостоннное значение. Поэтому при решении гидродинамических задач могут быть непосредственно использованы решения уравнения (41), известные из электростатики, например, решения для точечного заряда, для диполя и т. д.
Для практических приложений важное значение имеет следующее свойство уравнении Лапласа: сумма или разность двух его решений также является Решением, что непосредственно следует из линейности этого уравнеппл. При таком «нала>кении» двух потенциалов скорости складываются по закону параллелограма. Заметим, что уравнение Лапласа выполняется также для течения вязкой жидкости между двумя параллельными 3 10. Потенциальное течение (продолжение). Полагая вуравиении (29) >Ь последовательно равным >1х> оу и >1з> мы найдем соотношения, связывающие составляющие скорости и, и, и> с потенциалом скоростей Ф: Ф = -(ах~ + Ьуг + сгг).
1 2 (42) Подставляя это выражение Ф в уравнение Лапласа (41), мы получим: (43) о+5+с=О. Следовательно, для того чтобы функция (42) удовлетворяла уравнению Лапласа, коэффициенты о, Ь и с должны удовлетворять условию (43). Это условие момхно выполнить, приняв Ь=а, с = — 2о.. Тогда мы получим: Ф о( г+уг 2 г) 2 откуда найдем составляющие скорости течения: (44) и=па, о=ау, го=-2аг. Очевидно, что поток, определяемый этим потенциалом., симметричен относительно аси вращении, совпадающей в осью г.
Линии тока в плос- кости уг, где х = О, определюотся диферснциальным уравнением аг го 2г Тоу "' у ' интегрируя которое,мы получим: 1пг = сопа$ — 2)пу, или у з = сапах. Это уравнение изображает так называемую кубическую параболу (рис. 55), для которой аси г и у являются асимптотамя. Таким обра- зам, потенциал скоростей (44) определяет трехмерный, симметричный относительно оси, поток перед пластинкой. пластинками, поставленными близко друг от друга. Такое течение часто используется для демонстрации линий тока потенциального течения (см. 39 гл.
Ш). Хотя в действительности оба течения формируютсл разными силами, тем не менее линии така того и другого течения при надлежащих условиях опыта весьма точно совпадают. Рассмотрим несколько примеров потенциального течения. о) Трехлгерный поток перед пластинкой. Одним из самых простых выражений для потенциала скоростей будет следующее: Если движение установившееся, т.е. если коэффициент а не зависит от времени, то давление а потоке равно р= сопзь — — (и +и +ш ) = Р з 2 3 = сопзс — — (х + у + 4г ).
Ро з з 2 Следовательно, максимум давленин получается в точке х = у = г = О, т.е. в начале координат. Поверхности равного давления представляют собой эллипсоиды с осями, длины которых относятсл как 1: 2: '/з (рис. 55). Ь) Истпочник и сток. Функция Рис. 55. Трехмерный симметричный относительно осн поток перед пластинкой с т' (45) '*'ттт*'--- * ~---- - ---- ~~--.у летворнет уравнению Лапласа (41), а потому определяет потенциальное течение. Так как поверхности ф = сонат прсдставляют собой концентрические сферы и так как скорость течения чс перпендикулярна к поверхностям ф = сопз$, то в потоке, определяемом потенциалом скоростей (45), скорость во всех точках направлена вдоль радиуса и равна дф с о = — = ~ —.
дт Я = 4ктз с = 4пс. (46) тз В источнике зто количество возникает в центре, а в стоке, наоборот, исчезает в центре. Величина ц' называется жошносгпью источника или Поток, определяемый потенциалом скоростей Ф = + с, называется источником, а поток, определяемый потенциалом Ф = -с, — стоком. Линиями тока источника являются прнмые, исходящие из начала координат, а линиями тока стока — прямыс, сходнщиеся в начале координат.
И в источнике и в стоке скорость в начале координат равна бесконечности. Количество жидкости, протекающее в источнике или стоке в единицу времени через сферу радиуса т, поверхность которой имеет площадь 4птз, равно Рис. 56. Потенциальный поток около движущегося тела Ф=с(„— — „— ), получаемый наложением источника и стока, дает именно такую картину течении жидкости, правда при условии, что концы тела имеют определенную, хорошо округленную форму. Однако указанный потенциал дает достаточно хорошее приближение и при другой форме концов тела. Если тело движется со скоростью г', а площадь его поперечного сечения равна Г, та количества вытесняемой телом и вновь притекающей к телу жидкости можно положить равным Я = РУ. Подставлля зто значение д в формулу (46), мы найдем постоянную с: гУ с = —.
4я ' Рассматриваемый поток жидкости, очевидно, неустановившийся, так как вместе с перемещением тела перемещается и поле скоростей в жидкости. Но если это течение рассматривать в системе отсчета, относительно которой тело покоится, т.е. в системе отсчета, движущейся вместе с телом, то в такой системе отсчета жидкость обтекает тело. и поток будет установившимся, Математически такой установившийся поток определяется потенциалом скоростей стока. Конечно, осуществить такое течение физически нельзя. Однако если в какую-нибудь точку 0 объема, заннтого жидкостью, подвести узкую трубочку и отсасывать через нее жидкость, то в окрестности точки 0 возникнет поток, приближенно совпадающий со стоком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
