Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 12
Текст из файла (страница 12)
, йдр др др Р~д* ду д Таким образом, уравнение (14) принимает следу>ощий окончательный вил: й~" +' + 1+ Ш+ — "=0. 2 ~ Р Это уравнение равносильно уравнению (11) и по-прежнему применимо только к определенной линии тока. 25. Следствия нз уравнения Бернуллн. При помощи уравнения Бернулли очень просто решаются многие задачи о движении жидкости. Приведем три особенно важных примера. а) Истечение пз открытого сосуда лод дейс>пвиеж силы тплжесгли.
В выходном отверстии В (рис. 30) линии тока направлены перпендикулярно к выходному поперечному сеченгно. Внутри же сосуда все линии тока начинаютРнс. 30. Истечение из ся, очевидно, на свободной поверхности жидкосоткрытого сосуда ти А, уровень которой по мере вытекания жид- кости постепенно понижается. Частицы >кидкости на свободной поверхности А находятся под атмосферным давлением ро.
Под таким же давлением находятся частицы жидкости н Ро игв Ро г — + адв + — = — + ада + О, Р 2 Р откуда найдем: гпв г хд дв =ге 26 нди игв = ч/2~6. (16) Таким образом, скорость жидкости в выходном отверстии такова, как если бы вытекающие частицы жидкости свободно падали с высоты Ь.
Равенство (16) выражает собой так называемую теорему Торичелли. Рис. 32. Истечение из круг- лого отверстия с закруглен- ными стенками Рнс. 31. Истечение из круглого отверстия в тонкой стенке Поперечное сечение струи, вытекающей из сосуда, вообще не совпадает с поперечным сечением выходного отверстия. Так, например, при истечении через круглое отверстие в тонкой стенке площадь поперечного сечении струи составляет от 0,61 до 0,64 площади отвсрстия. Это явление, называемое сжатием сгпруи, возникает вследствие того, что жидкость внутри сосуда притекает к отверстию в радиальном наяравлении (рис. 31) и, достигнув края отверстия, не может здесь внезапно 1 Это превнльно толька прн условии, что можно пренебречь весам воздухе, что вполне допустнмо, аслн расчет ведется с точностью да второго деснтнчного енене. в свободной струе В.г Если свободная поверхность А велика по сравнению с площадью Г выходного отверстия В, то скорость щд частиц жидкости на свободной поверхности столь мала, что квадрат ее будет ничтожно мал по сравнению с квадратом скорости щв в выходном отверстии.
Следовательно, обозначая через хд и дв геометрические высоты в А и В, мы получим на основании уравнения Бернулли: изменить свое направление. Отношение площади поперечного сечения струи к площади поперечного сечения отверстия называется коэффициентом сзкатил струи и обозначается буквой а. Если края отверстия закруглены, как на рис. 32, то линии тока перед истечением имеют возможность постепенно изменить свое направление на параллельное осн отверстия. Для такого отверстия коэффициент сжатия равен приблизительно единице. Объем жидкости Ч, вытекающей в одну секунду через отверстие площадью Г (так называемый объемный расход), равен Я = аЕ~/2~6. ре щ рз — + — = — + О. Р 2 Р Следовательно, 2(рз — ро) 2в(рз — ре) Р 7 (17) Обозначим высоту, т.
е, высоту столба жидкости с удельным веРз — Рс сом 7, создающего на своем нижнем основании давление Рз — Ро, чеРез й, Тогда формула (17) примет вид: Прн истечении из некруглого отверстия в тонкой стенке коэффициент сзкатня мало отличается от своего значения длн круглого отверстия, но зато форма струи получается, как правило, довольно сложной. Так, например, при истечении из квадратного отверстии получается струя с поперечным сечением в виде тонкого креста, а струн, вытекающая из прнмоугольного отверстии, принимает вид ленты, перпендикулярной к длинной стороне прямоугольника.
Ь) Истечение из закрытого сосуда под дейстоиелз внутреннего давления. Пусть в закрытом сосуде (рис. 33) имеет место давление ры а во внешнем пространстве — атмосферное давление ро, причем рз ) ро. Для линии тока, идущей горизонтально, гл = гв. Скоростью около стенки в точке А вследствие ее малости можно Рнс. 33. Истечение из пренебречь, и на основании уравненин Вернул- закрытого сосуде под ли мы получим: действием внутреннего давления Формула (17) позволяет вычислить то наибольшее значение скорости, при движении с которой газ можно рассматривать практически как несжимаемую жидкость. Очевидно, зта предельная скорость го1 зависит от того, какое изменение плотности принимается за допустимое при оценке несжимаемости газа; следовательно, скорость гл1 тем меньше, чем выше требования к точности.
Примем за допустимое изменение плотности величину — = 1%, т.е. 0,01. При адиабатическом гор изменении состояния (см. 8 5 гл. 1) плотность связана с давлением при помощи соотношения ро = сопзс, вли, так как удельный объем с обратно пропорционален плотности р, р = сопзср". Изменению плотности Ьр соответствует изменение давления Ьр ю сопзгмр Ьр, откуда получаем: нлн гор Ьр и мр —. Р Подставив сюда р = 10332 кг/мг (нормальное давление воздуха), к = 1, 4 и — = О, 01, мы найдем: ЬР Р Ьр = 1,4-10332 ° 0,01 = 144,5кг/м . Внесем это значение в формулу (17), причем длн плотности примем среднее значение р = О, 125 кгсекг/л~г; мы получим: 1лг = г( — = чг2312 ж 48м/сек.
Следовательно, при скоростнх движения воздуха, не превышающих 48 м/сек, воздух можно считать практически несл<имаемым при условии, что допускаетсн изменение плотности на 1Уа. Если допускается изменение плотности на 10%, то, повторяя вычисления, мы найдем для предельной скорости значение гог 150 м/сек. Р: Ро то г — +О= — + —, Р Р 2 ' откуда г о Рг=Ро+Р 2. (18) Приращение давления, возникающее в критической точке и равное Рг Рг = Ргио~, г называется динамическим, или скоростнылг давлением. Зная динамическое давление, можно определить скорость течения. Если тело движется со скоростью и в покоящемся воздухе (или в воде), то в системе отсчета, неподвижной относительно тела, т.
е. движущейся вместе с ним, тело будет покоиться, а жидкость — набегать нв тело со скоростью гоо, равной, но противоположной скорости и. Поэтому и в этом случае будет происходить подпор жидкости с приращением давления в критической точке равным — . ро 2 Таким образом, действие изменения плотности проявляется двояким образом: кинематически оно изменяет поперечное сечение жидких струек, а динамически — величину давления. с) Подпор жидкости перед препятстеиелс — к„,.... ° .р ° н „щ ..
у- -- "61~..~*---- о-. н), р~ он расходитсн во все стороны и обтекает препятморо .Пб * РП ° РД Р ~~ 5 *Ь На В центре области подпора, в так называемой криРис. 34. Обтекание тическоб точке, поток полностью останавливаетпрепятствня ся, скорость его здесь равна нулю. Пусть скорость потока вдали от препятствия равна гоо. Рассмотрим линию тока, проходящую через критическую точку. Обозначим давление в критической точке через ры а давление в невозмущепной жидкости, т.е. вдали от препятствия, на одинаковой высоте с критической точкой, — через ро.
Тогда, применяя уравнение Бернулли к рассматриваемой линии тока, мы получим: Если в критической точке тела, осуществляющего препятствие, просверлено отверстие, то давление рч передается внутрь тела и может быть отсюда подведено к измерительному прибору. Выполняя препятствие в виде изогнутой под прямым углом трубки, обращенной одним концом против течения, мы получим простой прибор для измерения дав- Рис. 35.
Трубка Пито левил рч — — ро+ . Этот прибор называется, по имени изобретателя, ~НО' г трубкой Лито (рис. 35). Пусть давление в какой-либо точке потока жидкости равно р. Это есть то давление жидкости, которое показал бы прибор для измерения давления, движущийся вместе с жидкостью. Давление р принято называть статическим давлением. Если мы поместим в рассматриваемую точку потока трубку Пито, то здесь произойдет подпор жидкости, и давление станет равным ры которое будет обнаружено трубкой Пито.
Давление рч принято называть полным давлением. Таким образом, из формулы (18) следует, что полное давление равно сумме статического и дииалшчесмого давлений. Заменяя в уравнении Бернулли р г Р 2 — + Дл+ — = аспас статическое давление р его значением согласно формуле (18), мы получим: р1 — + пг = сопаФ, Р нли р1 + Тг = сопвФ. Это равенство показывает, что полное давление рч изменяется в потоке жидкости по стетнческому закону, следовательно, в том случае, когда постоянная в уравнении Бернулли одинакова для всех линий тока, оно постоянно в каждой горизонтальной плоскости. Для того чтобгя использовать формулу (18) для определения скорости течения, необходимо, кроме измерения полного давления ры измерить также статическое давление р. Последняя задача значительно труднее первой, так как введение зонда в поток несколько изменяет статическое давление р именно в той точке, где его желательно измерить.
О том,. как измеряется статическое давление, будет сказано ниже, и 18. 96. Дальнейшие выводы о давлении жидкости. Излагаемые ниже замечания касаются не только идеальной жидкости, но— с небольшими изменениями — и жидкостей с умеренной вязкостью. Однако первое замечание относится только к несжимаемой жидкости с постоянной плотностью. в) В несжимаемой жидкости с постоянной плотностью давление можно разложить на два слагаемых, нз которых первое представляет то давление, которое существовало бы в жидкости, если бы она была в покое. Обозначим это равновесное, или весовое давление через р'.
Очевидно, что р = сопзФ вЂ” 'ух. Второе слагаемое обозначим через р', следовательно, действительное давление в движущейся жидкости будет р = р'+ р'. Величина р' представляет собой разность между давлением прн движе- нии и давлением в покое. Пусть к рассматриваемому движению при- менимо уравнение Бернулли: г Р + тз + Р— = сопзФ. 2 Заменяя р его значением р = сопа1 — >х + р, мы получим: Рн>' Р'+ — = сопэч. 2 (19) Следовательно, давление р' распределнетсн в жидкости так, как если бы она была невесомой и обладала только инертной массой; геометрическая высота не оказывает на р' никакого влияния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
