Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Мы также будем следовать этому пути, причем предположим, что рассматриваемая нами идеальнал жидкость обладает также свойством нес>кимаемости, следовательно, никаких изменений объема при Кроме того, такое пренебрежение трением является и необходимым, так как только в этом случае соотношения между силамн получаются достаточно простыми для того, чтобы можно было вывести из них наглядные закономерности.
Поэтому обычно принято основные законы движения жидкостей выводить на основе идеализированного представления о жидкости, лишенной трениц и только после этого учитывать, какие изменения вносит наличие трения в идеальное поведение жидкости. Мы также будем следовать этому пути, причем предположим, что рассматриваемая нами идеальная жидкость обладает также свойством несжнмаемости, следовательно, никаких изменений объема при движении не происходит.
Для того чтобы найти соотношение между давлением н массовой силой, с одной стороны, и кинематическими величинами — с другой, будем исходить из основного закона динамики: сила равна массе, умноженной на ускорение. Выделим в движущейся жидкости частицу в виде небольшого цилиндра с осью, расположенной вдоль линии тока з (рис. 28). Пусть высота цилиндра равна дз, а поперечное сечение равно ЙР.
Тогда масса цилиндра будет рада. Если в жидкости трение отсутствует, то нв выделенный цилиндр действует преж- ~ лг" оз де всего разность давлений. Пусть давление иа основание цилиндра, расположенное вы- др р+ лз ше по течению равно р, тогда сила, действующая на это основание, равна рдр". На а основании цилиндра, лежащем ниже по те- Ы чению, давление немного отличается от р и равно р + — Ыз; соответствующая сила по Рис. 28. К выводу уравиеа, вия Бернулли величине равна ~р + — дз) дГ, но направлена она в сторону, противоар дз ) воложную силе роГ. Следовательно, вследствие разности давлений на цилиндр действует сила рдŠ— р+ — дз) оГ = — — дзог'. др '1 др дз дз Далее, на жидкость действует массовая сила (например, сила тяжести), величина которой, отнесенная к единице массы, пусть будет 8; На выделенный цилиндр действует в направлении течения составляющая этой силы, равная р др' Ыз ° 8.
сов а, где а есть угол между линией действия массовой силы и линией тока. Теперь нам остается определить составляющую ускорения в направлении течении, т.е. касательное ускорение. Пусть скорость частицы равна ш. Величина ш зависит от положения частицы на линии тока и от времени, следовательно, она являетсн функцией от з и г; поэтому для касательного ускорения мы будем иметь выражение: дш дш дз дш — = — — + —, дг дз дг д~ ' или, принимая во внимание, что — = ш, ф ог д д д Г~~'~ д =Ю + = ' '+ й дз д~ дз 1, 2 ( дг' В этом равенстве величина и — выражает ту часть ускорения, которая дю дв возникает вследствие перемещения частицы в точку потока с другой скоростью течения, а величина — — ту часть ускорения, которая зады висит от изменения состояния потока в данной точке во времени.
При установившемся течении вторая часть, очевидно, равна нулю. Применяя основной закон динамики, мы получим: — — дв йр + рг1г Ыв ясов а = р йг'Нв ~ — 1 — ) + — ~ . др (д /шг1 дш) дв 1дв 1, 2/ дг~ Так как все члены уравнения содержат общий множитель йг' Ыв, то его можно отбросить (это означает, что конечный результат нашего выво- да не зависит от произвольно выбранного объема частицы жидкости). Разделив обе части уравнения на р мы окончательно будем иметь: 1др д Г~'1 дш -- — + ясов а = — ( — ( + —.
Рде дв (, 2,) д1' (7) Массовой силой обычно является только одна сила тяжести. Тогда величину л мол1но считать постоянной по модулю и направлению. Введем систему координат с осью в, направленной вертикально вверх. Из рис. 29 легко видеть, что в этом слу- чае сова = — —, дг дв поэтому уравнение (7) можно переписать в виде: Рис. 29. К выводу уравнения Бернулли 1др дг д /шг'1 дш — — -8 — = — ( — ~ + — —. (8) Рдв дв дв (~ 2,~ дг' Если рассматриваемое двигкение — установившееся, следовательно, — = О, а плотность р — постоянная, то все члены уравнения (8) а представляют собой производные по в, и поэтому его можно интегрировать вдоль линии тока, что приводит к следующему так называемому уравнению Бернулли: р г — + дг+ — = совет. Р 2 Это уравнение лвллетсл основным уравнением прн одномерном рассмотрении задач о движении жидкостей, но в то жс время оно имеет фундаментальное значение длл всей гидромехаппки.
Оно выражает р г — + г+ — = сопз1. 7 2ф (10) В этом уравнении величина — означает, согласно 2 6 гл.1, высоту столба р жидкости, создающего своим несом давление р и поэтому называется яьезол~етрической высотой. Величина г есть высота рассматриваемой точки потока над какой-нибудь начальной горизонтальной плоскостью г и поэтому называетсн геометрической высотой. Наконец, величина ~ 2л есть высота, с которой тело должно упасть, чтобы при свободном падении приобрести скорость ш, и поэтому называется скоростной высотой. Таким образом, согласно уравнению Бернулли, сул~лга яъегожетрической, геометрической и скоростной высот на всем яротязсении линии тока остается постоянной. При этом значение постоянной на различных линиях тока может быть различным.
Однако, если все линии тока начинаются в областии прямолинейно, то постоянная одинакова для всех линий тока. Следовательно, в этом случае уравнение Бернулли применимо ко всему потоку в целом. В 2 6 предыдущей главы мы имели для покоящейся жидкости уравнение (7) которое можно переписать в следующем виде: р 7 — + г = сопзФ. Квк легко видеть, оно получается из уравнения Бернулли (10), если в последнем положить го = 0 или и = сопзС.
Заметим, что рассмотренный нами частный случай течения идентичен с установившемся потенциальным течением, исследованием которого мы займемся ниже. Интегрирование уравнения (7) возможно н в том случае, когда массовой склон нвлнется не сила тнжестн, в какая-нибудь другвн силе, но прн условии, что она обладает потенциалом у. В самом деле, в таком случае можно собой закон сохранения энергии движущейсн жидкости. В самом деле, каждый из его членов представляет собой энергию, заключенную в единице массы жидкости, а именно: первый член есть не что иное, как работа сил давления, второй — потенциальная энергия силы тяжести и третий — кинетическая энергии. Разделим все члены уравнении (9) на д; тогда все опи будут иметь размерность длины н могут быть истолкованы как высоты.
Если ввести в уравнение (9) удельный вес 7 = рд, то оно примет вид: положить, что лсоза = — —. ИУ дз ' Если жидкость сжимаемая, то интегрирование уравнения (7) возможно при условии, что жидкость однородная, следовательно, плотность есть функция только давления. Тогда' р - Р(р) др и поэтому можно написать: 1др др Рд.
= дз' Интегрируя теперь по з, мы получим уравнение Бернулли для установившихся течений в его общем виде: ,2 Р+ У+ — = сопзц 2 Хрис(ус(з, Урс(х Ыр дз, Ярдх с(у дз. Наконец, проекции скорости на оси координат пусть будут и, е, ш. Тогда проекция ускорения на ось х будет равна ди ди ди дх ди пр ди Нх — = — + — — + — — + —— дз дс дх д1 др д1 дз сй' с(х ар бз или, имел в виду, что — = и, — = з, — = 1л, дс 'Ш 'й — = — + — и+ — о+ — ш. Ыц ди ди ди ди ~11 дс дх др дз (12) 1Р есть проппскеп греческая букве «роз, Математическое дополнение.
При трехмерном рассмотрении задач о движении жидкостей вместо одного дифференциального уравнения движении (7) или (8) получаются три дифференциальных уравнения. Выведем зти уравнения, по-прежнему исходя из основного закона динамики: силе равна массе, умноженной не ускорение. Выделим в движущейся жидкости маленький параллелепипед с ребрами дх, др, дз, параллельными оспм прямоугольной системы координат х, р, з.
Объем этого параллелепипеда равен дх др дх, а масса равна рдхдрдз. В направлении осн х разность давлений на грани, др перпендикулярные к оси х дает силу — — рдхдрдз аналогичным образом ! дх др др для направлений р и з мы получим силы — — рему дх дх и — — Рда бх др. Про. ду дх екции массовой силы, отнесенной к единице массы, обозначим через Х, У, Я, следовательно, проекции массовой силы, действующей на параллелепипед, будут равны Аналогичный вид будут иметь и второй и третий члены левой части уравнения (14). Предположим для простоты, что рассматриваемое течение — установившееся. Тогда члены с производными —, — и — отпадут, и мы будем ди до ди> дг' дг дс иметь: — да+ — йу+ — йл = иди+ исЬ+ и>саул = й ~ йи >(и й>л >и +и -г~ йг 41 см 2 Если массовал сила имеет потенциал У, следовательно, если х=- —, у=- —, г=- —, дУ дУ дУ де' ду' дл' то сумма первых трех членов в правой части уравнения (14) будет равна — да+ — оу+ — йл) = — аК ( дУ дУ дУ да ду дг Наконец, выражение в скобках в правой части уравнения 14 можно представить а виде: — ( — де+ — йу+ — йл ) = -йр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
