Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда потенциал полн тяжести будет равен Уз = СГо+Юз> Г з „,зг СГз = / ы гог = 2 Следовательно, полный потенциал равен ызгз СГ = с'з + СГз = ~о + аз = —— 2 (18) Поверхности равного потенциала мы получим, полагая н У = сопли ьРг' з = сопзс+ 28. ' Таким образом, свободнал поверхность и все поверхности равного давлении представлнют собой параболоиды вращении с общнм параметром —. Г ыз' Иптегрирул соотношение 1р = -р21~, мы найдем давление р в любой точке жидкости как функцию потенциала У: р — ро = — ри, (19) где ре есть давление на свободной поверхности У = О.
Подставллл в равенство (19) вместо У его выражение из равенства (18) и заменяя рн через т., мы получим: юзгз р = сопзФ+ у( — з+ ). 2л где н есть ускорение свободного падении, е Уо — произвольное начальное значение потенциала. Потенциал полн центробежной силы определлется ускорением айаг где и есть угловая скорость вращения, общая длл сосуда и жидкости. Подставлял зто значение ускорении в соотношение (15) и интегрируя в направлении ускорения, т.е. в направлении г, мы найдем потенциал полн центробежной силы: В 11. Поверхностное натяжение (иапиллярность). Как показывают наблюдения, свободная поверхность жидкости стремится уменьшить свою площадь.
Это свойство объясняется тем, что свободяая поверхность находится в напряженном состоянии, подобном тому, в котором находится равномерно натянутая тонкая пленка. Причиной такого состояния является следующее: каждан частица жидкости, находящаяся вблизи свободной поверхности, притнгиваетсн соседними частицами; результирующая всех этих сил притяжения направлена внутрь жидкости, вследствие чего на поверхности остаетсн ровно столько частиц, сколько безусловно необходимо для образовании свободной поверхности.
Такое же явление наблюдаетсн и па поверхяости соприкосновения двух несмешивающихся между собой жидкостей. Указанное выше напряженное состояние называетсн поверхностным натяжением, а иногда — папиллярным натллсеяием. Последнее название обусловлено тем, что поверхностное пати>кение особенно резко наблюдается в тонких, так называемых волосных или капиллнрных трубках.
На плоских поверхностях со- прикосновении поверхностное паа тя>кение не наблюдается, так как на таких поверхностях все силы натяжения сами по себе об- разуют уравновешенную систему снл. Но на искривленной поверхности силы натяжения сами по себе не могут уравновешиваться, следовательно, должна существовать какая-то сила, которая, уравновешивая силы натнжения, обеспечивает равновесие. Такой силой нвллет- Р сн разность давлений р> — рз, по обе стороны от поверхности соприкосРис. 20. Равновесие элементарной новения.
Вырежем на поверхности площадки на повеРхности соприкос- соприкосновения небольшой кривоновения леул весомых жидкостей линейный прямоугольник со сторонами Нл> и Ызэ (рис. 20). Тогда вследствие разности давлений р> — рэ на площадь прямоугольника будет действовать сила (р> — рз)Ыз»>эз. Поверхностное натяжение приводит к тому, что на каждую сторону На = —, с()3 = —. с(в! сЬг В! Вг Следовательно, равнодействующая двух сил Сс(в! равна Став!с!аз Вг а равнодействующан двух сил Сала равна СсЬгсЬ! Ссгвгс!а = 1 Из условия равновесия всех сил, действующих на прямоугольник, мы имеем: Р, — Рг = С( — + — ).
1 1 (20) А! Вг Из наших рассуждений следует, что величины Вг и Лг суть не что иное, как радиусы кривизны кривых, образуемых при пересечении свободной поверхности с двумя плосностлми, перпендикулярными друг к другу и к касательной плоскости в центре взятой элементарной площадки'.
)1авление в весомой жидкости с удельным весом 7 определяется формулой (7). Применяя зту формулу к поверхности соприкосновения двУх весомых жидкостей с Удельными весами 7! и уг, (на Рис. 21 изображены для примера две такие поверхности), мы будем иметь Рз = Рг — 7гх Рг =Ро — 7гх. Подставляя эти значения Р! и Рг в уравнение (20), мы получим: 1 1 7г 7! — + — = г. л л с (21) 1 Из равенства [20) следует известнее геометрическал теореме, согласно которой 1 1 длл любой поверхности сумме — + — зависит от направлений, в которых провейх йг йены стороны прлмоусольниив с!лз и с!аз. В самом деле, левал часть етого равенства безусловно не зависит от указанных направлений, следовательно, ие может ат них зависеть н провел честь.
прямоугольника действует сила натяжения, направленная наружу от прямоугольника. Пусть величина поверхностного натяжения на единицу длины равна С (так называеман капидляряая постоянной). Тогда на стороны прямоугольника будут действовать две силы Сс!йг, образующие между собой угол !03, и две силы Сс(вг, образующие между собой угол дсх. Из рнс. 20 мы имеем: Эта формула позволяет при помощи измерения радиусов кривизны наблюдаемой поверхности соприкосновении определить величину капиллярпой постоянной С. Однако существует более удобный способ определения С, о котором будет сказано ниже.
Из формулы (21) следует, что если разность удельных весов обеих жидкостей очень мала, то 7з 71 уменьшение величины в и раз влечет С за собой геометрически подобное увеличение величин Лы Лз и з, определяющих поверхность соприкосновения, в и раз. При тг = 71 влияние тяжести исчезает: соответствующие поверхности соприкосновения представллют собой так называемые минимальные поверхности. Если одновременно с приближением разности тз — 71 к нулю отодвигать плоскость з = 0 в бесконечность, и с 2 1 П о а е х я о с т ~ ~ со то с У м м а — + П и Р н и м а е и о с о Я н а е з а 1 1 оверхности со- Я1 Пз прикосновения двух веса- чение, что дает минимальную поверхность с эамых жидкостей данным объемам, простейшим примером кето- рой является шаровая поверхность.
Такие минимальные поверхности очень легко воспроизводятся при помощи мыльных пленок, В сферическом мыльном пузыре давление внутри больше наружного давления на величину 4С р1 рз = )1 Множитель 4 в числителе получается потому, что в мыльном пузыре имеются две поверхности соприкоснавеоил мыльной пленки с воздухом, поэтому в формулу (20) следует подставить 2С вместо С. см Си Св Рис. 22. Равновесие трех сил по- верхностного патнження Если три жидкости 1, 2 и 3 соприкасаютсл между собой вдоль общей линии, то равновесие возможно только при условии, что силы поверхностного натнжения образуют уравновешенную систему.
Следовательно, все три поверхности соприкосновения должны пересекатьсн между собой под вполне определенными углами (рис. 22). Этн углы легко найти., построив треугольник из сил поверхностного натяжения Сш, Сш, Сю. Если величина Сгз больше суммы ве- Ряс. 23. Краевой угол около поверхности твердого тела Следовательно, условием равновесия будет: Сггсааа + Сгз — — Сгз, где а есть так называемый краевой угол. Отсюда мы имеем: Сгз — Сгз сола = С (22) Если капиллярная постояннан длн поверхности соприкосновения обеих жидкостей 1 и 2 известна, а угол а измерен путем наблюдение, то из равенства (22) можно определить разность Сгз — Сгз, но каждая из величин Сгз и Сгг остаетсн неопределенной.
Разность Сгг — Сгз может быть и положителыюй и отрицательной. В последнем случае угол а ) —, что имеет место при соприкосновении, например, воздуха, ртути н стекла (см. нижнюю часть рис. 21, где изобралсена капли ртути на стекле). Наконец, Резвость Сгз — См ма>лет оказатьсн больше Сщ.
В таком случае жидкость 2 покрывает тонкой пленкой всю поверхность твердого тела 3. Так ведет себя, например, керосин. личин Сщ и Сгз, что имеет место, например, тогда, когда веществом 1 является воздух, веществом 2 — минеральное масло и веществом 3 — вода, то равновесие невозможно. В этом случае вещество 2, т.е. минеральное масло, растекается в виде очень тонкой пленки по всей поверхности воды, что можно наблюдать, например, на мокрых асфальтовых мостовых, когда из мотора автомобиля на мостовую падает несколько капель смазочного масла. Если же веществом 2 явлнется расплавленный жир, то между водой и воздухом оно принимает форму плоской линзы (глазки жира в супе).
Построение на рис. 22 соответствует именно этому случаю. Если одним из соприкасающихся веществ является твердое тело, то перемещения возможны только в направлении, параллельном поверхности твердого тела, и поэтому достаточно рассмотреть равновесие соответствующих составляющих сил поверхностного натяжения (рнс.
23). Если в жидкость опустить узкую трубочку, то в зависимости от величины краевого угла а уровень жидкости в трубочке будет либо выше, либо ниже уровня жидкости вне трубочки (рис. 24). Примем для упрощении расчета, что поверхность жидкости в трубочке имеет форму шарового сегмента; такое допущение тем точнее, чем меньше радиус трубочки г по сравнению с высотой 1> подъема жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
