Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Тогда, согласно рис. 24,мы получим длл радиуса шарового сегмента величияу э ке- Рис. 24. Подъем жидкости пиллярной трубке г сола' Подставлял это значение В в равенство (21), мы найдем высоту подъема жидкости в трубочке: 2С>г соз а (23) 7г 7> Из этой формулы следует, что в трубочках с очень малым радиусом т высота подъема )> может быть очень большой (всасывающее действие промокательной бумаги, мелкопористой глины и т. п.). Подставлня в равенство (23) вместо соз а его значение из формулы (22) н умножая обе части равенства на яг, мы получим очень наглядное уравнение (7г 7>)>гг гг = (С>з Сгз) . 2>гг, согласно которому вес столба жидкости в трубочке за вычетом потери вследствие поддерживающей силы воздуха равен результирующей сил поверхностного натяжения на стенках трубочки. Если поверхность трубочки предварительно смочена жидкостью, то прн составлении уравнения равновесии надо заменить разность С>з — Сгз через С>г, что приводит к равенству сола = 1.
Следовательно, в этом случае а = О, и высота подъема принимает наибольшее значение, равное Сш = к(7г — 7>)1>г. 1 Измеряя Ь и г, мы можем определить при помоШи этой формулы величину С1з. О другом способе определения капиллярной постоянной, основанном на измерении капиллярных волн, будет сказано в ~ 16 гл.
П. Длн примера приведем некоторые значения капиллярной постоянной С при 20'С: воздуха Вода относительно Масло Э Ртуть Э С = 72, 5 дин/ся С = 25 сь ЗО динггсм С = 472 дин/см. ГЛАВА 2 Кинематика жидкостей. Динамика жидкостей, лишенных трения $ 1. Предварительиь>е замечания. Движения жидкостей и движения газов имеют столь много общих свойств, что целесообразно изучать те и другие совместно. Правда, газы обладают зкечительно большей сжимаемостью, чем жидкости.
Однако при движении газа вопрос заключается не в том, в какой мере газ вообще может сжиматься, а в том, насколько он в действительности сжимается при рассматриваемом движении. Для значительного с>катил газа необходимо значительное изменение давления. Между тем при небольших и умеренных скоростях, а также прн умеренном протяжении движущейся массы газа в высоту давление изменяется по сравнению со своим средним значением очень немного, и поэтому соответствующие изменения объема настолько малы, что ими в большинстве случаев можно для упрощения расчетов пренебрегать.
Тогда течении газа ничем не будут отличаться от течений несжимаемой жидкости. В самом деле, как мы увидим ниже, в 15, при движениях атмосферного воздуха со скоростью до 50 м/сел и при условии, что протяжение воздушного потока в высоту не превышает 100 л>, изменения объема при обычной температуре не превышают 1%. Только при скорости 150 м/сел они достигают круглым числом 10%. Но при скоростях, близких к скорости звука (около 340 м/сек), измененил объема достига>от большой величины и потому заметно влияют на характер течения. Накояец, при скоростях, больших скорости звука> характер течекня становится совершенно иным по сравнению с обычным поведением несжимаемых жидкостей.
В настоящей и следующей главе мы будем рассматривать, главным образом, течения без заметного изменения объема. Для того чтобы при этом не говорить каждый раз, что все сказанное относится в равной мере и к жидкостям, и к газам. мы будем применять во всех случалх только слово жидкость как собирательное понлтие и длл лсидкостей, и для газов.
В этом смысле газы следует считать сжимаемыми жидкостями. Особенности движений со значительными изменениями объема будут рассмотрены в гл. 1У. З 2. Методы кинематического исследования течения жидкости. Для получения исчерпывающей картины течения, необходимо для каждой частицы жидкости знать ее положение в пространстве в каждый момент времени; в самом деле, определяя изменение положения частицы в пространстве при изменении времени, мы нашли бы ее скорость и ускорение.
Для составления такой картины необходимо прежде всего как-то обозначить отдельные частицы жидкости, чтобы отличать их друг от друга. Это можно сделать следующим образом. В произвольный момент времени Ь = Ьо отнесем рассматриваемое течение жидкости к произвольной системе координат, например, прямоугольной. Тогда каждой частице жидкости будет соответствовать вполне определенная тройка чисел а, Ь, с. Эта тройка чисел и будет служить для рассматриваемой частицы ее обозначением прн исследовании течения. Пусть в любой другой момент времени 8, не совпадающий с 8а, координаты рассматриваемой частицы жидкости будут л, у, г.
Эти координаты будут, очевидно, функциями не только времени 8, но и тройки чисел а, Ь, с, обозначающих частицу. Следовательно, для составления картины течения жидкости необходимо знать функции < т = Кг(а, Ь,с,й), у = Рг(а, Ь,с,г), г = гг(а, Ь,с,й). Для полной характеристики состояния движущейся жидкости необходимо знать еще давление р, а для жидкости переменной плотности р— также н последнюю. Однако доведение такого метода исследования течения жидкости до конечного численного результата удается только в немногих, особенно простых случаях. Поэтому обычно предпочитают пользоваться другим, более простым методом, позволяющим указать, что происходит в каждой точке пространства в каждый момент времени.
Следовательно, прн этом методе исследования индивидуальная судьба отдельных частиц оставляется без внимания. Если рассматриваемое течение— установившееся, т.е. не изменяющееся во времени, то для получения картины движении достаточно указать величину и направление скорости в каждой точке пространства, занятого потоком: кроме того, для полного описания состояния лвпл1ения необходимо опрсцелнть таклго и = 1з(х,у, г, ь), е = уз(х,у,г,ь), ш=уз(х У г г). (2) Систему уравнений (1) называют уравнениями Лагранжа, а систему уравнений (2) — уравнениями Эйлера, хотя Эйлеру были известны обе системы. Если желательно проследить траекторию какой-нибудь частности, то необходимо проинтегрировать систему из трех дифференциальных уравнений е(х = и й, ау = и й, аг = ш й. Так как три постоянные интегрирования можно рассматривать как координаты частицы жидкости в некоторый начальный момент времени, то мы опять приходим к уравнениям Лагранжа (1).
Наглядное представление о мгновенной картине течения жидкости дают так называемые линии тока, иасательные к которым указывают направление вектора скорости в точках касания. Линии тока совершенно аналогичны силовым линиям силовых полей. Линии тока определяютсл системой диференциальных уравнений Их "У Иг и и ш При установившемся течении линии тока совпадают с траекториями частиц. При неустановившемся течении такое совпадение не имеет места. В самом деле, касательные к линии тока дают направления скорости разных частиц жидкости в последовательных точках пространства в определенный л~вл~ент временц в то время как касательные к траектории дают направления скорости определенных частиц в последовательные моменты врельени.
давление, а при переменной плотности — и последнюю. Если же течение неустановившееся, т.е. изменяющееся во времени, то скорость и давление (в необходимом случае и плотность) должны быть указаны для каждого момента времени. Математически эти указания даются обычно в виде зависимостей, связывающих три проекции скорости и, е, ш на прямоугольные оси координат (в необходимом случае также давление р и плотность р) с пространственными координатами .т., у, г и временем г, т.е. в виде уравнений: Необходимо заметить, что форма линий тока одного и того же потока, а также форма траекторий зависят от системы отсчета.
Так, например, при движении тела в жидкости для наблюдателя, покоящегося относительно невозмущенной жидкости, линии тока и траектории будут совсем иными, чем для наблюдателя, движущегося вместе с телом. Линии тона можно сделать видимыми, если поверхность жидкости посыпать мелкими частицами такого нерастворимого вещества, которое может двигаться вместе с жидкостью. Можно также ввести такие частицы внутрь жидкости. При съемке с короткой выдержкой каждая введеннан в жидкость частица оставляет на фотографической пластинке короткую черточку. При достаточно большом числе частиц черточки тесно примыкают друг к другу и дают картину линий тока. Для полученин траекторий необходимо уменьшить количество вводимых в жидкость посторонних частиц и производить съемку с длительной выдержкой.
На рис. 25 и 2б изображены фотографические снимки пластинки, движущейся в неподвижной жидкости. Оба снимка сделаны одновременно, но в разных системах отсчета, а именно, снимок на рис. 25 получен прн помощи камеры, неподвижной относительно невозмущенной жидкости, и снимок на рис. 26 — при помощи камеры, неподви>хной относительно двигавшейся в жидкости пластинки, т. е.
двигавшейся вместе с пластинкой. Для получения снимков поверхность жидкости была посыпана ликоподием. Рис. 25. Течение около движущейся пластинки. Снимок сделан неподвижной фе>екамерой. Путь, проделанный пластинкой, заметен по следам ее боковых краев Рнс. 26. Теченне оКоло Лвнжущеясл пластинки. Снимок сделан фотокамерой, двигавшейся вместе с пластинкой Если провести линии тока через все точки какого-нибудь небольшого замкнутого контура, то при условии, что поле скоростей везде непрерывно, зти линии образуют иа сколь угодно большом протяжении так называемую трубку тока. Такая трубка обладает той особенностью, что жидкость внутри пее в рассматриваемый момент времени течет, как в трубке с твердыми стенками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
