Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В самом деле, согласно определению, жидкость течет параллельно линиям тока; если бы жидкость проходила через стенку трубки тока, то это означало бы, что существует составляющая скорости, перпендикулярная к линиям тока, что противоречит определеншо последних. Жидкость, текущая внутри трубки тока, называется жидкой струйкой. При установившихсн течениях трубки тока сохраняются неизменными все время и жидкость течет в них все времн как в трубках с твердыми стенками. При поустапооившихся течениях в трубках тока в каждый следующий момент времени текут иные частицы, чем в предыдущий момент. Мысленно разбивая все пространство, занятое жидкостью, на трубки тока, можно получить очень наглядное представление о течении жидкости. При решении многих простых задач, например, при изучении двиакения жидкостей в трубках и каналах, допустимо рассматривать все пространство, занятое потоком жидкости, как одну единственную жидкую струйку.
При таком способе исследования неодинаковость скоростей в поперечном сечении трубы или канала оставляется без внимания и весь расчет сводится к получению некоторых закономерностей для средней скорости течения. 3 3. Неразрывность. В действительно существующих потоках жидкостей и газов материя нигде не исчезает и нигде вновь не создается. Поэтому мы можем рассматривать только такие скоростные поля, которые удовлетворя1от требованию сохранения материи или массы. Проще всего математически сформулировать это требование для установившихся движений, для которых форма линий тока достаточно известна. В таком случае очевидно, что через каждое поперечное сечение трубки тока должна протекать в единицу времени одна и та же масса жидкости.
В самом деле, если бы эта масса для двух поперечных сечений не была одинакова, то масса жидкой струйки между обоими поперечными сечениями должна была бы неограниченно возрастать пли убывать, что противоречит условию установившегося состояния течения. Пусть Г есть поперечное сечение трубки тока в каком-либо месте, зд — средняя скорость в этом сечении, р — плотность в этом се- 1 чении; тогда объем жидкости, протекающий в единицу времени через рассматриваемое сечение, будет равен Езп, а масса лсидкости, протека1ощая через это же сечение, будет равна рхтзп.
Таким образом, требование сохранения массы сводится к тому, чтобы во всех поперечных сечениях одной и той же трубки тока величина рГш имела постоянное значение, т. е. чтобы соблюдалось уравнение рюш = сопбФ. (3) Отсюда следует, что внутри установившегося потока жидкая струйка нигде не может закончиться. Она либо должна простираться от одной границы рассматриваемого пространства до другой, либо должна быть замкнутой. Для потоков, в которых не происходит изменений объема, т. е. для потоков несжимаемой жидкости, все приведенные выше соображения о массе распространлются и на объем.
По так как теперь через рассматриваемое поперечное сечение трубки тока за данное время не может пройти больший объем, чем через какое-нибудь другое поперечное сечение, то все предыдущие соображения могут быть применены не только к установившимся, но и к неустановившимся патокам. Таким образом, для несжимаехсмх потоков, безразлично, установившихся нли Мы применяем дая обозначения скорости течения букву ш вместо о па следуюшей причине: при расчетах газовых потоков со значительными изменениями объема. когда наряду с гидродинамическими соотнашеннпми необходимо похьзоввться также термодннамическпми соотношениями. приходится оперировать с объемен свинины массы, дая которого в термодинамике установилось обозначение через букву с.
неустановившихся, всегда имеет место уравнение: (4) хш = сопвФ. Согласно этому уравнению скорость жидкой струйки обратно пропорциональна ее поперечному сечению. Разделим все пространство, занимаемое потоком жидкости, на такие трубки тока, чтобы через каждую из них в единицу времени протекали равные количества жидкости. Тогда в тех местах потока, где скорость больше и, следовательно, поперечные сечения трубок тока меньше, трубки тока будут расположены гуще и, наоборот, в тех местах потока, где скорость меньше, трубки тока будут расположены реже. Число трубок тока, пронизывающих единицу площади в каком-нибудь месте потока, пропорционально скорости течения в этом месте. Следовательно, картина трубок тока несжимаемого потока дает представление об этом потоке не только направлением линий тока в каждом месте, но и густотой расположения трубок.
Уравнение (4) приобретает особенно простой и наглядный смысл в том случае, когда весь поток можно рассматривать как одну единственную жидкую струйку. В этом случае поперечные сечения жидкой струйки заранее известны, н средняя скорость в каждой точке такого несжимаемого потока определяется из уравнения где ь',Ь есть так называемый объемный расход жидкости (или льощность потока), т.е.
объем, протекающий через поперечное сечение потока в единицу времени. Для потоков, в которых происходят изменения объема, имеет место аналогичное уравнение где М есть масса, протекающая через поперечное сечение потока в единицу времени. Но так как в сжимаемых потоках плотность р зависит от давления, то теперь для определения скорости одного только приведенного уравнения недостаточно (см. по этому поводу гл. 1Ч). Если поток установившийся и неслсимаемый, то при указанном упрощенном представлении потока для его описания достаточно только одной независимой переменной, а именно, расстояния рассматриваемого поперечного сечения от какой-нибудь начальной точки, .измеренного вдоль центральной линии трубки тока.
В таком случае говорят об одномерном представлении потока в отличие от трехмерного представления, когда полностью учитывается пространственное изменение ох Ыр Из ди дх Аналогичные выра>кения получаются и для направлений р и з. Условие сохранения массы требует, чтобы сумма трех полученных приращений была равна нулю, следовательно, мы получаем уравнение> — + — + — = О.
ди до дш дх ду дз (5) Это уравнение называетсн уравнением неразрывности. Пусть жидкость где-либо граничит с твердым телом или с другой жидкостью. Из условия неразрывности потока следует, что нигде пе должно возникать ни разрывов лзидкости, ни взаимного проннкновенил обоих веществ. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы составля>ощие скорости, перпендикулярные к поверхности соприкосновения обоих веществ, были одинаковы с обеих сторон этой поверхности.
Если рассматривается неподвилспое тело нли твердая стенка, обтекаемая скорости и других величин. Совокупность задач о движении жидкости, рассматриваемых путем одномерного представления, принято называть гидравликой. Задачи же, рассматриваемые путем трехмерного (нли двухмерного) представления, составляют предмет гидродинамики. Наконец, совокупность задач о движении воздушных потоков часто называют аэродинал>окой. При трехмерном рассмотрении течений математическое выражение условия сохранения массы проще всего полу- у чить, если вычислить количества жидкос- о'з тн, втекающей и вытекающей в небольшой >:>и параллелепипед со сторонами ох, йу и оз ие — йх (рис.
27), и приравнять эти количества оу друг другу. Выполним эти вычисления для й~ несжимаемой жидкости. Обозначим проекции скорости на оси координат через и, о, и>. Тогда в направлении оси х в параллелепипед втекает слева в одну секунду количество жидкости ну ох и, а справа, где скорость и уже изменилась и стала равной и+ — ох, выди дх текает количество жидкости Ыуоз(и+ — ох). Следовательно, в одну ди д* секунду из параллелепипеда вытекает в направлении осп х жидкости больше, чем втекает, на величину жидкостью, то составляющан скорости жидкости, перпендикулярная к поверхности тела или к стенке, должна быть здесь равна нул>о. На составляющую скорости, параллельную стенке, условие неразрывности не налагает никаких ограничений, следовательно, эта составляющая может иметь любые значения. й 4.
Силы в движущейся жидкости. Уравнение Бернулли. Как мы видели в гл. 1, в покоящейся жидкости действуют и дают уравновешенную систему два рода сил; силы тяжести (и другие массовые силы) и разности давлений. Эти жо силы действуют и в движущейся жидкости, но здесь к ним присоединяется еще трение жидкосши, которое следует рассматривать как сопротивление деформации. Трение жидкости подробно будет рассмотрено в следующей главе, в этой же главе мы будем им пренебрегать. Л1идкости, наиболее важные для техники (вода, воздух и др.), обладают очень малой внзкостью, и поэтому во многих случаях сопротивление, возникающее в них вследствие трения, столь мало, что пренебрежение им вполне оправдано.
Кроме того, такое пренебрежение трением является и необходимым, так как только в этом случае соотношения между силами получаются достаточно простыми для того, чтобы можно было вывести из них наглядные закономерности. Поэтому обычно принято основные законы движения жидкостей выводить па основе идеализированного представления о жидкости, лишенной трения, и только после этого учитывать, какие изменения вносит наличие трения в идеальное поведение жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
