Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 7
Текст из файла (страница 7)
одной физической атмосфере, будет составлять 10,332 м. Следовательно, предельная высота, на которую может поднимать воду всасывающий насос, будет всегда меньше этого значения (практически вследствие наличия вредных пространств и зазоров она не превышает 6 — 7 м). Из определения физической атмосферы следует, что ее величина в известной мере зависит ат притяжения Земли.
Так как последнее не одинаково во всех местах земного шара, то необходимо условиться, какое значение ускорения свободного падения является нормальным при определении физической атмосферы. Таким значением приннто считать значение я = 980,665 с н/сек', которое имеет место на широте 45' на уровне моря.
При всяком другом значении ускорения свободного падении и физическан атмосфера будет равна 1 0332 980 665 г кг/см, причем, конечно, имеются в виду килограммы в рассматриваемом пункте наблюдения. Для того чтобы освободитьсн от этих несколько произвольных требований, в последнее время введена новая единица давления, связаннан с системой единиц ССЯ н равнан 10«дин/смз. Эта единица давлении получила название бор. Одному бару при нормальной тяжести соответствует ртутный столб высотой 750,06 лсль Миллибар, равный '/«аса бара, в частоящее время стал обычной единицей для измерения давлении в метеорологии. Физическая атмосфера равна 1013,25 миллибара, а техническая атмосфера равна 980,66 миллибара.
$ 10. Равновесие жидкости в других силовых полях. В 16 — 9 мы предполагали, что мсидкость или газ находитсн в однородном поле тнжести, т.е. в таком поле, в котором ускорение свободного падения везде одинаково по величине и направленшо. Это предположение достаточно хорошо оправдывается в пределах небольшой области и поэтому вполне допустимо для большинства приложений. Но если рассматриваются большие области, линейные размеры которых нельзя считать малыми по сравнению с радиусом Земли, то необходимо учитывать, что ускорение свободного падения не остается постоянным по величине и направлению во всей области.
Другим примером, когда поле сил нельзя считать однородным, нвляется равномерное вращение зкндкастн вместе с заключающим ее сосудом. В этом случае жидкость покоится относительно сосуда, но для того, чтобы рассматривать задачу как статическую, необходимо в каждой точке занимаемого жидкостью пространства прибавить к ускорению свободного падения ускорение, соответствующее центробежной силе.
Поэтому рассмотрим в общей форме вопрос о равновесии однородной или неоднородной жидкости в произвольном силовом поле, в котором сила на единицу массы, т.е. ускорение, изменяется от места к месту как па величине, так и по направлению. Выделим в жидкости маленькую призму с осью, перпендикулярной к направлению силы, и рассмотрим условие ее равновесия относительно перемещений, направленных параллельно оси. При помощи таких же рассуждений, как и в ~ 6, мы легко установим, что в любом направлении, перпендикулярном к направлению рассматриваемой силовой линии, давление не может изменятьсн.
Далее нз рассмотрения равновесия маленькой призмы с осью, параллельной ~вправлению силы, мы найдем, что давление в направлении силы должно возрастать на величину (14) где Нй есть высота призмы, а я — напряженность силового поля. Если взять всю совокупность направлений, перпендикулярных к силовой линии в какой-нибудь ее тачке, то она выделит около рассматриваемой точки элементарную площадку, нормальную к силовой линии. Из первого нашего заключения следует, что на каждой такой площадке давление имеет постоянное значение. В том случае, когда такие площадки, примыкающие друг к другу, образуют поверхность конечных размеров, .т.е. когда силовое поле обладает так называемыми ортогопальпыми поверхностями, нз предыдущего следует, что давление имеет постоянное значение ва всех точках каждой ортогональной поверхности. Если же силовое поле не имеет ортогональных поверхностей, то равновесие жидкости в нем невозможно'.
Предположим, что силовое поле облада- Р ! ет ортогональными поверхностями, и рас- Р~ пл, смотрим две такие поверхности, давление на Р+лр которых пусть равно р и р+др (рис. 18). Выберем на первой ортогональной поверхности две точки 1 и 2, через которые проходят силовые линии я1 и 82. Пусть в точках 1 и 2 Рис. 18. Неоднородное сн- плотность равна р1 и рз. Согласно формуловое поле ле (14) мы имеем: сзр = азР1 гзгзз, г1Р = КгР211112.
Если мы имеем однородную жидкость Я 6), то плотность р постоянна во всей жидкости и из обоих равенств следует: взсбь1 021182. Если же мы имеем однородный газ (б 7), то плотность Р есть функция давления р; но так как на ортогональной поверхности р1 = рз = сонэк, то необходимо должно быть, что на этой поверхности р1 — — Рз = сонат, поэтому мы опять получим, что л1г)81 К21(112. Произведение ясУз ость не ~то иное, как работа, совершаемая силой поля при переходе от одной ортогональной поверхности к другой.
Согласно полученному нами результату эта работа имеет одинаковое значение в любом месте между обеими поверхностями уровня. Это показывает, 'В зтам случае петлеобразнея линия, проведеннал перпендикуллрно к силовым линиям, при возврате к исходной силовой линии попадает не в ту точку, из которой оне была начата, е ниже или выше ес, в зависимости от направления обходе. Такое силовое поле можно построить, например, следуюшнм образом: приведем две параллельные между собой плоскости к соединим их друг с другом прн оомощи семействе прлмьж, перпендикулярны» к обеим пласкостлм, следовательно мезкду собой параллельных. Затем немного повернем одну нз плоскостей относительно другой вокруг одной из проведенных прямых.
Тогда асс остальные прямые примут винтообразное расположение. Рассматривая их как силовые ликии. легко убедиться, что полученное силовое лоле не имеет ортогональных поверхностей. (15) Знак минус взят потому, что в уравнении (14) мы приняли сЬ положи- тельным в направлении я. Заменяя ядй в уравнении (14) его значением нз уревнения (15), мы получим: йр = -Рйи, или ар аУ = — —, Ф (16) откуда после интегрирования следует, что в ( ар (7А (7В / / р А (17) В обоих рассматриваемых случаях (однородная жидкость и однородный газ) правую часть уравнения (17) можно вычислить, и мы получим давление непосредственно как функцию потенциала. Подводя итог полученным результатам, мы можем сказать: Однородная лсидкость или однородный газ может находиться в равновесии только в таком силовом поле, которое обладает потенциалоль Поверхности равного потенциала, ортогональные к силовым линиям поля, одноврельенно являются поверхностялш равного давления.
Давление возрастает в том направлении, в котороль действует сила поля, причем увеличение давления равно с(Р = — рею. В неоднородной жидкости возможен такой случай, когда Пгс()ьг ф ~ ягдйг, но зато плотность распределена так, что везде имеет место равенство Ргйгсйьг = Ргагл)ьг. Однако легко видеть, что такое равновесие является неустойчивым.
В самом деле, достаточяо небольшого перемещения жидкости вдоль ортогоналыюй поверхности (такое перемещение не требует затраты работы), чтобы сейчас же изменить распределеяие плотности, и следовательно, нарушить равновесие. Для устойчивого равновесия неоднородной жидкости по-прежнему необходимо, чтоб ягдйг — — ягдйг, т.е.жид- что рассматриваемое нами силовое поле обладает потенциалом, следо- вательно, ортогональные поверхности явлтотся поверхностями равного потенциала. Обозначив потенциал в какой-нибудь точке А через У, мы будем иметь: кость должна находиться в силовом поле, имеющем потенциал. Но если П>~й> — — ПзИЬз, то для соблюдении равновесия требуется, чтобы собл>вдалась также равенство р> — — рз. Следовательно, неоднородная жидкость может находиться в устойчивом равновесии только в силовол> поле, имеющем потенциал.
Поверхности равного потенциала являются одновременно поверхностями равного давления и равной плотности. Таким образом, равенства (16) и (17) применимы и к неоднородной жидкости. Условия равновесия остаются такими же, какими они были выведены в у б и 7 для однородного поля тижести. Почти все силовые полн, встречающиеся в физике, за исключением магнитных полей, вызванных электрическим током, имеют потенциал, поэтому приведенное выше условие о существовании потенциала практически не вносит никакого ограничения.
Но другое условие — постоянство плотности на каждой поверхности равного потенциала — практически весьма важно. Оно может но соблюдаться, например, в том случае, когда жидкость или газ в каком-нибудь месте нагревается. Это приводит к уменьшению плотности в этом месте, вследствие чего равновесие становится невозможным, так как нагретап жидкость приходит а движение и увлекает за собой соседние части жидкости.
Только после того, как наиболее нагретые части жидкости расположатся выше других частей, устанавливается состояние покоя. Свободнап поверхность жидкости >или по- верхность раздела двух между собой несмешива- Г ющихся жидкостей разной плотности всегда совпадает с поверхностью равного потенциала. Поэтому поверхности равного потенциала пазываютсл также поверхностями уровня. В геодезии по1[ верхность моря явллетсп основной поверхностью уровня; относительно этой поверхности произвоьл дится отсчет всех высот.
Поясним применение установленных выше Рис. 19. Жидкость во законов на простом примере. Рассмотрим равноерещеющемся сосуде весне весомой однородной жидкости, поколщейся относительно сосуда, равномерно праща>ощегося вокруг вертикальной оси (рис. 19). Прежде всего найдем потенциал силового поля. Он, очевидно, складывается из двух потенциалов: потенциала полн тяжести и потенциала поля центробежной силы. Возьмем цилиндрические координаты г,з, причем ось з направим вертикально вверх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
