Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Длл доказательства поступим следующим образом. Пересечем трехгранный угол четвертой плоскостью, именно той плоскостью, в которой требуется определить папрялзение. Эта плоскость образует вместе с первыми тремя тетраэдр (рис. 3). Силы 1,2, 3, действующие на грани, напряжения на которых известны, мы получим, умножив заданные напряжения на площади соответствующих граней. Имеется только одна сила 4, которая уравновешивает сумму спл 1 + 2 + 3. Эта сила, разделенная на площадь соответствующей грани, и дает искомое напряжение. Для выполнения вычислений удобнее всего совместить заданные сечения с координатными плоскостлми (рис.

3). Теперь, после того как мы разълснили понятие напряжения, мы можем дать более точное определение напряженному состолнию: напрязкеннылг состолнием в какой-либо точке называется совокупность напряжений во всех сечениях, проходящих через заданную точку.

Не вдаваясь в подробности теории напрлжепного состолннл, упомянем только, что напряженное состояние в точке может быть связано с некоторым эллипсоидом, так называемым эллипсоидол~ налрязкений. Следовательно, напрюкенное состояние представляет собой тепзор. Согласно приведенной выше теореме напряженное состояние п точке (а также соот- й 3.

Давление жидкости. Напряженное состояние в жидкости, находящейся в равновесии, особенно простое. Сопротивление жидкости деформации, т. е. перемещению ее часте>1 относительно друг друга, имеет некоторое сходство с трением. Если прп соприкосновении двух твердых тел трение отсутствует, то давление одного тела на другое в плоскости их соприкосновения должно быть обязательно перпендикулярно к этой плоскости; следовательно, при скольжении вдоль плоскости соприкосновения не должно совершаться никакой работы. Совершенно аналогично проявляет себя и отсутствие в жидкости сопротивления деформации: в этол> случае напряжение внутри жидкости, илн, как принято говорить, давление лсидкости, должно быть везде перпеядикулярно к поверхности того сечения, на которое оно действует. Это свойство давления жидкости может рассматриваться как определение экидкости, совершенно эквивалентное тому опрсделе , которое было сделано в ~1.

Р Рнс. 4. Силы, действующие на бо ковые грани призмы Рнс. 5. Треугольник сил, действу- ющих на боковые грани призмы При помощи простых сообракчений из указанного свойства давления можно вывести другое важное свойство, Мысленно выделим в жидкости небольшую трехгранную призму с основаниями, перпендикулярными к ребрам призмы (конечно, мы могли бы так>ке вообразить, что выделенная внутри жидкости призма отвсрделв: в таком случае пам надо было бы исследовать равновесие сил, действующих на призму сп ветствующий ему эллипсоид) известно, если заданы напряжения в трех сечениях, образу>ощих друг с другом трехгранный угол.

В каждом эллипсоиде имеются три взаимно перпендикулярные оси. Этим осям эллипсоида, называемым главными осями, соответствуют в напряженном теле такие три взаимно перпендикулярных сечения, в которых напряжения нормальны к сечениям. Эти напряжения называются главными напряжениялш, а соответствующие направления — главнылш направлениял>и напряженного состояния. стороны остальной жидкости). Силы давления на основания призмы равны друг другу по абсолютному значению, но прямо противоположны по направлению; следовательно, они уравновешивают друг друга, и поэтому в дальнейшем мы можем их не рассматривать.

Силы давления на боковые грани перпендикулярны к граням и поэтому лежат в плоскости, перпендикулярной к ребрам призмы. На рис. 4 показано поперечное сечение призмы вместе с силами давления, действующими на ее боковые грани, а на рис. 5 построен треугольник, который должны образовать силы давления длн того, чтобы имело место равновесие. Так как стороны треугольника на рис. 5 перпендикулярны к соответствующим сторонам треугольника на рис. 4, то оба треугольника имеют соответственно равные углы н поэтому подобны. Отсюда следует, что силы давления 1, 2, 3 относятся друг к другу, как стороны треугольника на рис.

4, т.е. как числа, измеряющие ширину граней призмы. Для того чтобы перейти от полных давлений на грань к давлениям на единицу площади, мы должны разделить каждую силу давления 1, 2, 3 на площадь соответствующей грани. Но все грани имеют одинаковую высоту, следовательно, их площади относятся друг к другу так же, как стороны треугольника на рис. 4, т.е.

так же, как и силы 1, 2, 3. Таким образом, давление на единицу площади, которое мы будем называть просто давлением, одинаково на всех трех гранях. Так как призма была выбрана нами во всем остальном совершенно произвольно, то из полученного результата следует, чтв давление в одной и твй лсе точке жидкости одинаково во всех направлениях (точнее говоря, одинаково во всех сечениях, проведенных через рассматриваемую точку). Поэтому эллипсоид напряжений в жидкости, находящейся в равновесии, принимает форму шара. Для определения такого напряженного состояния, которое принято называть гидрастатическим налряасенямм састаяяиелп достаточно указания одного — единственного числа — давления р. Согласно сказанному выше это число означает силу, действующую на единицу площади сечения. В зависимости от выбора единицы силы и единицы площади возможны самые различные единицы для измерения давления.

В технике чаще всего применлется единица кг/смг, а также кг/мз, причем кг означает килограмм — вес. О некоторых других единицах для измерения давления — см. 38 и 9. 34. Распределение давления в невесомой жидкости. Кало дая жидкость обладает ве~ом. Однако во многих случаях, особенно когда в жидкости имеет место высокое давление, нет никакой нужды учитывать действие силы тлжести, следовательно, в этих случаях можно считать жидкость невесомой.

При таком допущении все расчеты значи- Р~ Р тельно упрощаются. Выделим в мгидкости длинную узкую призму с ос- Рис. 6. Равновесие призмы с гоновапилми, перпендикулярными к оси ризонтальной осью призмы (рис. 6), и рассмотрим ее равновесие относительно перемещений вдоль оси. Предположим сначала, что давление в жидкости изменяется при переходе от одной точки пространства к другой. Поперечное сечение призмы возьмем настолько малым, что изменением давления на его площади можно пренебречь. Если на одном конце призмы имеет место давление рг, а на другом конце — давление рг, то на первое основание призмы действует сила Гры параллельная оси призмы, а на второе основание — сила Грг, также параллельная оси призмы, но противополо>кная силе Гр>. Что касается боковых поверхностей призмы, то все силы давления, действующие на зти поверхности, направлены, согласно нашему основному допущению, перпендикулярно к ним, следовательно, перпендикулярно и к оси призмы.

Поэтому, каково бы нн было распределение давления на боковых поверхностях, силы давления, действующие на них, не дают составляющих в направлении оси призмы. Таким образом, длл равновесия призмы необходимо, чтобы хр> = хрг, откуда Рг = Рг. Так как положение призмы внутри жидкости было выбрано нами совершенно произвольно, то из полученного результата следует, что при отсутствии силы веса (и других подобного рода активных снл) давление во всех точках жидкости одинаково. Если жидкость звполнлет узкое н извилистое пространство и поэтому невозможно выделить призму между двумя произвольными точками жидкости, то для доказательства равенства дввлеяия во всех точках жидкости можно поступить следующим обрезом.

Сначала возьмем две близкие между собой точки 1 и 2, затем от точки 2 перейдем в другом направлении к точке 3 к т. д., пока не дойдем до требуемой конечной точки я. Тогда из равенств Р> = Рг, Рг = Рг, мы получям опят>ч что Р> =Р Другое, более изящное доказательство основано на принципе отвердеввняя Я2). Поместим мысленно нвш узкий и извилистый сосуд в другой сосуд большего объема и наполним последний жидкостью. Затем, после того как установится равновесие, вообразим, что в большом сосуде отвердела вся жидкость, кроме той, которая занимает первоначально заданное узкое и извилистое пространство. От этого, согласно принципу отвердевапин, равновесие не изменится, следовательно, в невесомой жидкости, заполннсощей любое узкое и извилистое пространство, давление при равновесии везде одинаково.

Если жидкость заполняет очень узкое пространство, то после изменении давлении жидкости, например, вследствие внешней нагрузки, может пройти весьма значительное время, прежде чем установится равновесие. В пластичной горшечной глине, состоящей из очень мелких твердых частиц, промежутки между которыми заполнены водой, указанное время померяется целымн днями, а в пластах глины в почве — даже целыми годами'. В течение этого времени вода перетекает из мест с более высоким давлением в места с более низким давлением. Итак, мы установили, что е жидкости, находящейся е равновесии, давление во всех гпочках направлено перпендикулярно к поверхности, но которую оно действует, и — — при огпсугпствни силы тпялсести и других массовых сил — везде и во всех направлениях одинаково.

Все сказанное относительно давлении внутри жидкости применимо н к давлению ца степки сосуда, заключающего жидкость. Для того чтобы в этом убедитьсн, проведем внутри жидкости вплотную около л стенки или на небольшом расстопнин от нее плоское :гш:; сечение и построим на этом сечении небольшой цилиндр с образующей, перпепдикулнрпой к сечению (рис. 7).

Характеристики

Список файлов книги