Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Это объясняется тем, что каждая частица жидкости как бы висит в потоке под действием поддерживающей силы окружаюших частиц. Очевидно, полученный результат применим и к жидкостям, обладающим трением. Поэтому в дальнейшем во всех случанх исследования движения под водой или в воздухе мы не будем учитывать действия силы тяжести, следовательно, вместо давления р будем всегда рассматривать давление р', однако для сокрашения письма будем писать вместо р" просто р.
Давление рч будем называть кинетическим даеление>н. ьсз 1 дР Р да" (20) гле де' есть элемент дуги по направленьььо главной нормали, а величину р следует понимать в смысле давления р'. Уравнение (20) показывает, что прн криволинейном течении давление увеличивается по направлению от выпуклой стороны линии тока к вогнутой, причем зто рю' увеличение составляет — на единицу длины.
Таким образом, уравнение (20) устанавливает связь между соседними линиями тока. Из этого уравнения видно, что при прялолинебнож течении (ь = сс) давление не хьолсет иэльенятъся е направлении, перпендикулярноль к скоросгпи течения. При криволинейном течении особенно простой результат получается в том случае, когда постоянная в уравнении Бернулли имеет одинаковое значение длн всех линий тока. В этом случае, днфференцирул уравнение (19) по е', мы получим: 1 дР диь — —,=-ьс — „ Р де' де" откуда,.сравнивая с уравнением (20), найдем: — + —. =О.
диь ьо (21) Пусть давление н потоке воздуха или воды измеряется прн помощи неподвижного прибора, находящегося вне потока и соединенного трубками с подвижным зондом, вставленным в поток. В таком случае вес жидкости в трубках действует так, что давление, показываемое прибором, не зависит от геометрической высоты места измерения. Следовательно, прибор показывает давление такого же аида, как и р'. Если в качестве зонда взята трубка Пито, то неподвижный прибор покажет одинаковое давление вдоль всей линии тока.
Б случае, когда для всех линий тока постоянная в уравнении Бернуллы имеет одинаковое значение, прибор даст одинаковое показание во всем потоке. Ь) Уравнение Бернулли показывает, как изменяется давление вдоль линии тока. Для того чтобы получить представление о том, как изменяется давление в направлении, перпендикулярном к линии тока, следует рассмотреть вместо касательного нормальное ускорение. Это ускорение ~э направлено, как известно, по главной нормали траектории и равно ~~, где г есть радиус кривизны траектории. Выделим в жидкости небольшую призму, ось которой направлена вдоль главной нормали.
Для этой призмы уравнение движения, составленное для направления г, дает: Ниже, в 19, мы увидим, что равенство (21) выражает собой условие, при котором так называемая циркуляция вдоль прямоугольника, образованного дугами двух соседних линий тока и отрезками Ы двух радиусов кривизны, равнн нулю. Там же мы увидим, что при циркуляции, равной нулю, отдельные частицы жидкости двилсутсн без вращения. Следовательно, равенство (21) показывает, что при нашем криволинейном течении частицы жидкости не совершают вращеннн.
Длн примера рассмотрим движение в спиральной А ',, камере, изображенной на рис. Зб. Все линии тока начинаются в параллельном потоке в области А, в которой скорость и давление везде одинаковы, следовательно, постоянная в уравнении Бернулли, составленного для потока в спиральной камере, одинакова на всех линиях тока. Радиусы кривизны отдельных линий тока можно считать приближенно равными радиусу и, проведенному из центра камеры О, поэтому можно принять, что с1л' = г1г.
Тогда уравнение (21) примет вид: Рис. Зб. Течение в спиральной ка- мере — + — =О, Йп ганг или ш г ' откуда после интегрированна мы получим: 1пю = 1пС вЂ” 1пг, или С зп =— г где С есть постоянная интегрирования. Следовательно, скорость тече- нии по мере приближения к центру камеры сильно возрастает'.
Под- ставив найденное выражение скорости и в уравнение Бернулли (19), мы найдем давление: рс' р = сопй$ — —. 2г При постолнной высоте камеры радиальная составляющая скорости вследствие неразрывности потока также обратно пропорциональна радиусу г, позтому угол, образуемый линиями токе с радиусами, везде одинаковый, следовательно, линиями тока явллютсл логарифмические спирали. Если поток внутри камеры, достигнув радиуса г1, выходит через сделанное здесь отверстие в свободную атмосферу, где давление равно Ро, то здесь предыдущее уравнение дает нам: РС Ро = гопзФ вЂ”вЂ” 2гз Исключив из обоих уравнений постоянную (соплФ), мы получим С~А й Р Ро+Р 2 Гз .3) 1 Следовательно, если выходное отверстие внутри камеры мало, то при входе в камеру давление может сделатьсн очень большим.
с) При неустановившихся движениях для получения связи между давлением и скорость|о вдоль линии тока следует проинтегрировать уравнение (8), не отбрасывая члена —. Поэтому вместо уравнения дш д1 Бернулли (9) мы получим: Р 1лз Г д — + Лл + — + / — пл = сопэ$. Р 2 / дС о В случае движения в трубе с постоянным поперечным сечением скорость течения в каждый определенный момент времени одинакова во всех сечениях: кроме того, она одинакова также во всех точках ка1кдого сеченин, поскольку мы предполагаем, что жидкость не обладает трением.
В таком случае произ- др водная —, не зависит от э, и интеграл в лед~ Ркс. 37. Истечение из на- ,1,л СаДКа вой части уравненил (22) будет равен ~л. 1й Лля примера рассмотрим начальную стади1о истечения из сосуда через насадок длиной 1 (рис. 37). Применяя уравнение (22) к горизонтальной линии тока, совпадающей с осью насадив, мы получим для точки В, находящейся на расстоянии л от входа в насадок, уравнение Р шз йо — + — + — л = сопл$, Р 2 й а для точки А около входа в насадок (а = 0) — уравнение РА ~А Йо — + — + — 0 = сопаФ. Р 2 й Приравнивая левые части уравнений и имен в виду, что величиной ш~~ можно пренебречь как весьма малой по сравнению с шз и что Рл =Ро+ИРп где ро есть давление на свободной поверхности, мы получим: Р шз Иш Ро Р 2 й Р + + а= +а".
Рс шз йш Ро — + — + — (= — +йй, Р 2 й Р откуда В первый момент истечении и = О, следовательно, йо 6 = 4' Ш (23) По мере увеличении ш пропзводнан — все более и более уменьшается, йл юй пока не делается равной нулю. В этот момент течение преврашаетсл в установившееся, и скорость истечения принимает значение Нетрудно вывести точный закон изменения скорости и в зависимости от времени, однако мы этим заниматься пе будем. Для оценки времени, которое требуетсн длл того, чтобы течение сделалось приблизительно установнвшимсл следует принять что ускорение — остаетсл йи от До тех пор, пока — не равно нулю, давление уменьшаетсн вдоль на~йл садка пропорционально расстоянию а.
Длн концевого сечении насадив (а = (), в котором давление равно ро, уравнение (22) дает: Рис. 33. Колебания столба жидкости до момента достигкения скорости и1 — — ~/ай постоянным. Тогда, подставлня в равенство (23) — вместо —, мы получим: и1 Ии Т ог ' и1И 21 Т = — = —.
~Ь Другим простым примером неустановившегося движения жидкости явллется колебание столба жидкости в изогнутой трубе под действием силы тяжести (рис. 38). Пусть труба имеет постоянное поперечное сечение и пусть длина столба жидкости, измеренная вдоль осн трубы, равна й Обозначим отклонение столба жидкости от положения равновесия, измеренное в направлении оси трубы, в какой-либо момент времени через х (вследствие неразрывности это отклонение одинаково на обоих концах столба, а также во всех промежуточных точках).
Скорость везде одинакова и равна и = — х; следовательно, в равенстве (6) следует положить и= — =О, ди дз и поэтому ускорение равно Прн отклонении столба жидкости из положения равновесия на х один его конец поднимается на высоту 61 — — хаша, а другой конец опускаетсл на высоту Йз — — х лгпи, следовательно, разность геометрических высот равна + я х(ьчп а + з1п)3).
Давление на обоих концах одинаковое; обозначим его через ре. Приме- няя уравнение (22) к обоим концам столба жидкости, мы получим: ро — — йх я и (3 + О + — О = — + дх яп а ч- О + — 1, гРз Ро (2 Р гйз 1хз или лх(э1па+ яп,9) +1 — = О. г1зх 12 Решение этого дифференциального уравнения, совпадающего с диффе- ренциальным уравнением упругих колебаний, имеет вид: х = Асов(ш1+.г), где я(арпа+ в1п~3) Отсюда для периода колебаний Т получаем величину Т= — = 2к 2к а (э!п а + е1п Р) Для вертикальной У-образной трубки япа = э1п11 = 1, и поэтому пе- риод колебаний равен Т = 2х т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
