Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Перейдем теперь от точки В к точке С, находящейся от В на расстос янин дв, и вычислим криволинейный интеграл )»л ° дв. Так как при А составлении этого интеграла мы, очевидно, можем следовать от точки А к точке С, проходи через точку В, то мы будем иметь: с в ш. Нв = з~ш Нв+»л Нв, А А т. е. (27) Фс = Фв+ шсовадв. Обозначая проекцию элемента Нв на направление скорости через ай, мы можем представить равенство (27) в виде: (28) Фс = Фв+шдй Для а = 90' мы имеем: сов»» = О, и поэтому Фс = Фв- — = юсова, дф дв (29) Обратно, если Фс = Фв, то отрезок Ыв = ВС всегда перпендикулярен к направлению скорости ш. Совокупность всех точек, для которых потенциал Ф равен Фн, т.
е, имеет некоторое постоянное значение, образует поверхность, проходящую через точку В и отделяющую область, в которой Ф > Фв, от области, где ф > Фв. Плоскость, касательная к этой поверхности в точке В, согласно только что сказанному, перпендикулярна к вектору скорости ш в точке В. Отсюда следует, чтв линия тона, направление которых в каждой точке совпадает с направлением вектора скорости, везде ортогональнь» я поверхностям равного потенциала ф = сопл». Обозначан Фс — Фв через НФ, мы получим из уравнения (27) для произвольных значений угла»» соотношение а из уравнения (28) — соотношение дФ вЂ” = зо, дй (ЗО) (31) го = агась Ф. Введенное нами геометрическим путем понятие потенциала совпадает с понятием потенциала сил, с той только разницей, что градиент потенциала сил равен напряженности силового полн, а градиент нашего потенциала равен скорости течения.
Поэтому введенный нами потенциал называют, в отличие от потенциала сил, потенциалолс скоростей, илп потенциалом течения. Заметим, что между обоими потенциалаын имеется еще одна, чисто условная разница: обычно принимают, что напряясенность силового поля равна а = — бтайУ, а скорость течения равна ш =+пгвдФ. Можно было бы перед пгад Ф взять знак минус и тем самым обеспечить более полную аналогию с потенциалом сил. Так иногда и делается, однако для гидродинамических расчетов удобнее брать перед ктвд Ф знак плюс, что мы в дальнейшем и будем делать.
Из всего сказанного следует, что при всяком движении однородной жидкости без трения, возникающель из состояния покоя, существует функция, называемая потенциалом и обладающая тем свойстволц что ее градиент определяет скорость течения в любой точке потока. движения жидкости. обладающие потенциалол~ скоростей, называются потенциальныл~и течениялщ. При потенциальных течениях частицы жидкости не совершают вращения, что и лвгястся отличительным причем отрезок НЬ, согласно сказанному выше, перпендикулярен к поверхности Ф = сопеь.
Из равенства (29) следует, что наибольшее изменение потенциала Ф происходит в направлении нормали к поверхности Ф = сопз1. Это наибольшее изменение, равное —, называетсл гради- дФ дЬ' ентом потенциала Ф и обозначается через пгадФ. Градиент представляет собой векторную величину. Так как вектор скорости ш, согласно сказанному выше, перпендикулярен к поверхности Ф = сопвс, то из равенства (ЗО) следует, что скорость течения по величине и направлелшо равна градиенту потенциала Ф.
В векторной форме равенство (30) записываетсн следующим образом: Г = ~ ш ° Нл = ~ шг. гор = шгт~~р~~ ~= 2я г "ш. Если, кроме вращательного движения, зкидкость обладает также посту- пательным движением, то последнее не надо учитывать, так как оно не влияет на циркуляцию. разделив циркуляцию на площадь окрул1нос- ти Р = яг', мы получим: — = 2ш. Г Р' Следовательно, величиной — удобно пользоватьсл в качестве меры вра- Г щения жидкости. Если площадка расположена в плоскости, образующей с осью вращения угол а, то,как нетрудно видеть, — = 2шз1па. Г Е (32) Таким образом, максимальное значение — получается в плоскости, пер- Г пендикулярной к оси вращения.
Итак, при потенциальном течении циркулнция вдоль любой замкнутой линии, проведенной внутри жидкости, равна нулю, следовательно, частицы жидкости движутся без вращения. В прежнее время отсюда пытались вывести как следствие, что при движениях однородной, лишенной тренин жидкости, возникших из состояния покоя, никогда не могут возникнуть вихри. Однако, если мы более внимательно рассмотрим процесс движения при образовании поверхности раздела Я 7), то окажется, что все жидкие линии, проведенные внутри жидкости в состоянии покоя, движутся и деформируются так, что ни одна из них не свойством таких течений.
В самом деле, мерой вращении частицы может служить циркулнция вдоль небольшой замкнутой кривой, но эта циркуляция в теченилх однородных жидкостей без трения, возникающих из состояния покоя, согласна сказанному выше, равна нулю. В качестве противоположного примера рассмотрим жидкость, которая вращается как твердое тело с угловой скоростью вокруг некоторой оси. Возьмем в плоскости, перпендикулярной к оси вращенил, площадку в виде окружности радиуса т с центром на оси вращения и вычислим циркуляцию вдоль этой окружности. Так как линейная скорость течения в точках окружности равна шг и направлена по касательной к окружности, то — + — =О, дш ш дв' г где г есть радиус кривизны линии тока.
Вычислим циркуляцию вдоль небольшого четырехугольника, образованного дугами двух соседних линий тока и отрезками двух смежных нормалей (рис. 54). Мы получим: Рис. 54. Четырехугольник, вдоль которого вычисляется циркулнцня Г = ш гдр+О ° Нв' — ш+ ~дв' (с+ де')йр — О ° дв' = дв' = — Нв ° Йр( г — + ш+ — дв ) . дш дш (, дв' дв',/ Последний член в скобках можно отбросить как величину более высокого порядка малости по сравнению с первым членом, сумма же первых двух членов равна нулю согласно приведенному выше равенству. Таким образом, при рассмотренном движении циркуляция вдоль любой замкнутой малой кривой равна нулю, следовательно, это движение потенциальное. Обратно, можно доказать (см.
ниже), что если течение пересекает поверхности раздела. Поэтому теорема Томсона не позволяет сделать никаких заключений о взаилсоотношении между частями жидкости, лезкащилш яо разные стороны от поверхности раздела. Следовательно, возникновение в жидкости, практически лишенной трения, поверхностей раздела, а вместе с ними и вихрей, нисколько не противоречит теореме Томсона. В реальных жндкостнх, которые всегда обладают вязкостью, вместо поверхностей раздела образуются слои раздела, правда, обычно очень тонкие. Слой раздела всегда образуется из частиц, двигающихся в непосредственной близости от поверхности твердого тела, где влиянием трения нельзя прееебрегать даже при очень малой вязкости.
Поэтому точный анализ явлений, происходящих внутри слоя раздела, возможен толька на основе учета вязкости. Для изучения явлений, происходящих вне слоя раздела, но связаняьж с его существованием, обычна достаточно рассматривать вместо слоя раздела поверхность раздела. Влияние трения будет подробно рассмотрена в З 1-6 гл.
1П. Рассматриван в бб течение, в котором постоянная Бернулли для всех линий тока одинакова, мы нашли, что в направлении, перпендикулярном к линии тока, скорость изменлетсн согласно уравнению потенциальное, то для него обязательно соблюдается уравнение Бернулли. Математическое дополнение. Докажем теорему Томсона. Криволинейный интеграл скорости можно представить также в следующем виде: ш ° Иа = / (ибх+ ебу+ ш дл), где и, о, ш суть проекции скорости ш на оси координат х, у, л, а Их, Иу, <Ь вЂ” проекции на те же осн линейного элемента И». Найдем производную ат етого интеграла по времени в предположении, что кривая, вдоль которой производится интегрирование, состоит все время из одних и тех жа частиц жидкости.
Будем обозначать такое диференцирование символом — (иногда И в литературе встречается также обозначение — ). Сначала вычислим произ- В Пс водную — ) иИх, которую можно представить следующим образом: И пг — у идх = у1 — Их+ у и — (дх). дс / / дс / дс Первый член правой части на основании уравнений Эйлера 5 4, уравне- ния (13)) равен ди 1 др — = Х вЂ” — —. дг Р дх' Что касается второго члена, то, очевидно, для фиксированной частицы Но в такам случае И ос — (х + Их) =. и + Ыи, следовательно, — (дх) = Ии, б Ф причем пад Ыи следует понимать разность одновременных значений составляющей скорости и для двух частиц жидкой линии, находящихся в точках с координатами х+ Ых и х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
