Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 19
Текст из файла (страница 19)
На основании этих данных мы можем построить в плоскости ио картину распределепин скоростей [рис. 60,Ь) и рассматривать ее нак некоторый поток. Если для этого потока функция Г = с'[ш), его определяющая, известна, то можно путем обращении найти функ- Подробности и укеавнин нв литературу можно найти в книгехг Всьп>>ог ~., Аегобупагп>Ь лев щплев, Нег!>п, 19291 М911ег г1>., МасЬегпагисЬе Бсгоп>ппу!еьге, пег!>п, 1998. [См. также Лаврентьев М. А,, Конформные отображении с привожениими к неиотарым вопросам механики. Москва, 1947.
[Прил>. иерее.)[ Существуют различные методы, позволяющие конформно отобразить область плоскости Д, лежащую вне контура, близкого по форме к профилям современных крыльев самолета, на область плоскости ху, лежащую вне окружности. Картина линий тока и динамические соотношения при обтекании окружности известны, поэтому, зная вид отображающей функции, можно из этой картины легко получить все, что относится к обтеканию профили крыла'. Производная †, как легко видеть, равна г[Г Лв цию ю = ю(7).
Тогда, проинтегрировав уравнение (р) ол мы получим: =/-. пГ шар') Наконец, отделив вещественную и мнимую части комплексной переменной г, мы найдем для каждого значения Ф и Ф соответствующие им значения к, р, т.е. построим картину линий тона. Приведенных примеров достаточно, чтобы дать представление о применении методов теории функции комплексной переменной в гидродинамике. В 11.
Потенциальное течение с циркуляцией. Подъемная сила крыла. Эффект Магнуса. Хотя при всех потенциальных теченинх циркуляция в любой малой области потока равна нул|о, тем не менее существуют такие потенциальные потоки, в которых цириулнция для всего потока в целом не равна нулю. Правда, необходимым условием для этого является многосвязность области, в которой происходит течение. Область пространства или плоскости называется многосаяэной, если в ней можно провести такие замкнутые кривые, поторые нельзя стянуть в точку, не разрывая их, т.е. не выходя за пределы области. Примерами двухсвнзной области могут служить комната с колонной посредине или область вокруг кольца. Пусть поток занимает многосвязную область, в каждой односвязной части которой частицы движутся без вращения, следовательно, в каждой такой части циркуляция равна нулю.
Далее, пусть в рассматриваемой области циркуляция вдоль какой-нибудь кривой, которую нельзя стянуть в точку, равна Г. Тогда, как легко доказать, циркуляцин вдоль любой другой кривой, которую нельзн стянуть в точку и которая получается из первой непрерывной деформацией, также равна Г. В ~ 10 мы определили потенциал в заданной точке как значение криволинейного интеграла при интегрировании между фиксированной тачкой и заданной точкой. Поскольку теперь в потоке существуют замкнутые кривые, вдоль которых циркуляция не равна нулю, а имеет некоторое значение Г, то это означает, что потенциал такого потока не нвлнется больше однозначным; наоборот, Рис.
61. Потенциальный поток с циркуляцией Рис. 62. Палый вихрь теперь он является многогначнььи, увеличиваясь при каждом обходе вестнгнваемой в точку кривой на величину Г. Простейший плоский поток такого рода определяется потенциалом скоростей Ф=с~р, где у есть центральный угол (рис. 61). Этот потенциал, удовлетворншщий, как легко видеть, уравнению (41), возрастает при каждом полном обходе замкнутой нестягиваемой в точку кривой (122 = у2 + 2л) па величину 2лс, которая, следовательно, и нвляетсн циркуляцией Г. Поверхностями равного потенциала нвляютсн плоскости, проходящие через начало координат, а линиями тока — окружности.
Скорость течения, согласно формуле (29), равна г1Ф СФ с Г Ыл т Н1о т 2лт' (48) н,г сг г = го — = го 28т2 Для т = 0 скорость получаетсн равной бесконечности; поэтому физически такой поток возможен только вне некоторого ядра конечного диаметра (на рис. 61 оно заштриховано). Ядро может быть образовано твердым телом или вращающейся жидкостью (движение которой не является потенциальным), наконец, оно может состонть из другой, более легкой жидкости, не принимающей участии в движении. Примером последнего случая является полый водяной вихрь, в котором вода совершает круговое движение вокруг ндра из воздуха.
Под действием силы тяжести свободная поверхность такого полого вихря принимает форму, изображенную на рис. 62. Уравнение этой поверхности получается путем примеиенин уравнения Бернулли к двум линиям тока и имеет внд: Рнс. 63. Поток около кры- Рнс. 64. Обычный петен- Рнс. 65. Цнркуляциоила цивльный поток около ный поток вокруг кры. крыла ла Подобного рода воронки часто наблюдаютсл в реках, в ваннах (при спуске воды) и т.д.
Во всех таких случанх мы имеем дело с потоками, в которых циркуляция уже существует и вызвана какими-то посторонними причинами. Другим примером потенциального потока с циркуляцией является поток около крыла самолета (рис. 63). Этот поток получатся из обычного потенциального потока без циркулнции (рис. 64) путем наложения на последний циркуляционного потока, изображеннго на рис. 65, вследствие чего при обтекании крыла также возникает циркуляция. С циркуляцией тесно связано возникновение яодьел1ной силы крыла.
Без всякого расчета легко видеть, что при наложении цнркуляцнопного потока на обычный потенциальный поток (рис. 64) скорость последнего пад крылом увеличнваетсл, а под крылом, наоборот, уменьшается. Согласно уравнению Бернулли это означает, что над крылом давление уменьшается, а под крылом увелнчиваетсн, следовательно, возникает сила, действующая на крыло снизу вверх, т.е.
подъемная сила. Кутта (Кпйа) и Н. Е. Жуковский независимо друг от друга нашли путем теоретических расчетов, что подъемная сила на единицу длины крыла равна А = рГУ, где р есть плотность жидкости, à — циркуляции, а У вЂ” относительная скорость крыла и жидкости. Следовательно, подъемная сила прямо пропорциональна циркулнции. Вывод указанной формулы будет дан ниже, в з13. Если движение начинается из состояния покои, то, согласно теореме Томсона., в получившемся потоке циркуляция не может возникнуть даже в том случае, когда движение происходит в многосвязной области. аннан Рнс.
66. Вихрь, обра- зующийся при разго- не крыла Рнс. 67. Вращающийся цилиндр Длн того чтобы от присутствия крыла область пространства сделалась Лвухсзязной, необходимо, чтобы крыло с боков было ограничена двумя паралнсльнымн стенками нлн чтобы крыло простиралось в обе стороны до бесконечности. Для действительных крыльев ни одно нз этих условий не соблюдается. Тем не менее циркуляция, без которой не может получиться подьсмпан сила, возникает н в этом случае.
Она возникает вследствие отрыва вихрей, образующихся нз поверхности раздела с поперечным скачком скоРости (рнс. 46). Подробнее об этом будет сказано в З 16 гл. ПП Если на вращающийся круглый цилиндр набегает поток воздуха а направлении, перпендикулярном к оси цилиндра (рис. 67), то вокруг В самом деле, в состоянии покон циркулнцин вдоль нонкой замкнутой кривой равна нулю, поэтому она должна остаться равной нулю и после начала движения. В действительности же циркуляция, как правило, возникает, и причиной этого нвляется образование поверхности раздела. Так, например, в спиральной камере, изображенной на рис.
36, в первый момент начала движения образуется иа остром ребре я поверхность раздела, нз которой возникает вихрь такого же вида, как па рис. 43. В дальнейшем вихрь отрывается от ребра и уплывает вместе с потоком, но вызванная им циркуляцин остаетсн в потоке на все время. Совершенно аналогичная картина наблюдается и прн движении крыла.
В начале движения поток под крылом огибает задшою кромку крыла снизу вверх (рис. 64). вследствие чего здесь образуется поверхность раздела, превращающансн в вихрь (рис. 66). В дальнейшем вихрь отрывается от крыла и уплывает вместе с потоком, но оставлнот в нем циркуляцию, равную по абсолютной величине своей циркулнции, но противоположно направленную. При этом вдоль жидких линий, заключающих внутри себя крыло и вихрь вместе, циркуляция остается равной нулю, как этого и требует теорема Томсона. него возникает циркуляция такого же вида, как и вокруг крыла.
В дальнейшем, в ~ 7 гл. П1, мы увидим, что причиной возникновения этой циркуляции является трение. Циркуляция вокруг цилиндра создает силу, действующую на цилиндр в направлении, перпендикулярном к направлению потока, и называемую поэтому поперечной силой. На единицу длины оси цилиндра эта сила равна, как и при циркуляции вокруг крыла, рГЪ'. Такая же сила возникает и при набегании потока на трехгранную или четырехгранную призму, вращающуюсн вокруг продольной оси, на вращающийся шар и т.д.
Направлена пояеречнан сила всегда к той стороне вращающегося тела, на которой направление вращения л направление потока совпадают. Возникновение при указанных условиях поперечной силы называется, по имени ученого Магнуса (Мвбппз), впервые открывшего (в 1852 г.) это нвление, эффектож Магнуса. До изобретения нарезных артиллерийских орудий часто случалось, что шаровые снаряды после вылета из ствола значительно отклонялись в сторону от той траектории, по которой онн должны были бы лететь. Магнус показал, что причиной такого поведения снарнда служило вращение вокруг поперечной оси, которое шаровой снаряд получал вследствие случайных причин.
На основании сказанного выше это создавало условия, необходимые для возникновения поперечной силы, которая и вызывала нежелательное отклонение снаряда от намеченной траектории. Такие зке боковые отклоненил, часто очень значительные, наблюдаются и при полете «срезанного» мяча при игре в теннис или гольф. Несколько лет тому назад А. Флеттнер (Г1еьспег) использовал эффект Магнуса длн прнведеннн в движение корабля энергией ветра, причем вместо парусов он установил вертикальные быстро вращающиеся цилиндры (роторы). На концах цилиндров помещались выступающие круглые диски (рис.
67), так как иначе воздух, расположенный выше и ниже цилиндра, засасывался в область потока с пониженным давлением и, возмущая поток, уменьшал поперечную силу. Испытания показали техническую пригодность такого роторного корабля, но в энономическом отношении он оказалсн менее выгодным обычных моторных судов и поэтому не получил дальнейшего применения. Эффект Магнуса можно продемонстрировать при помощи следующего опыта. Поставим на рельсы легкую тележку с вертикальным цилиндром, приводимым во вращение маленьким электромоторчиком, и начнем обдувать этот цилиндр потоком воздуха, направленным поперек рельсов (для получения такого потока молсно воспользоваться настольным вентилятором).
Тележка сейчас же начнет двигаться вдоль рельсов. Устанавливан вентилятор так, чтобы поток воздуха набегал на цилиндр под непрямым углом к направлению рельсов, можно исследовать движение цилиядра-паруса на разных курсах. Можно даже заставить тележку катиться против ветра под острым углом. При перемене направления вращения цилиндра тележка катитсн в обратную сторону. Можно произвести также следующий опыт. Приведем в быстров вращение легкий цилиндр, расположив при этом его ось горизонтально, и предоставим цилиндру падать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
