Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Источники и стоки играют важную вспомогательную роль при гидродинамических расчетах. Например, если в жидкости движется удлиненное тело в паправлении своей продольной оси / ! (рис. 56), то его передний конец вытесняет перед собой жидкость, к заднему же концу, по мере его продвижения вперед, жидкость притекает. Следовательно, около концов тела движение жидкости такое, как если бы около переднего конца был источник, а около заднего конца — сток. В самом деле, потенциал скоростей Рнс.
57. Поток около движущегося тела. Система отсчета движется вместе с телом Рнс. 58. Потенциальный по- ток около шара Его линии тока изображены на рис. 57. Кривая внизу рисунка показывает распределение давленин на поверхности, найденное на основании уравнения Бернулли. Будем сближать между собой источник и сток, причем одновременно будем увеличивать их мощность в таком же отношении, в каком уменьшается их расстояние друг от друга. В пределе мы получим поток, называемый диполем. При таком сблимсении источника и стока поток, изображенный на рис. 57, переходит в поток около шара (рис. 58). Потенциал скоростей для такого потока равен 1+ где а есть радиус шара. Картина действительного обтекания шара имеет вследствие влияния трения несколько иной вид.
с) Плоское даилгение. Если прн движении жидкости все линии тока представляют собой плоские кривые, расположенные в параллельных плоскостях, и скорость течения во всех точках каждой прямой, перпендикулярной к семейству параллельных плоскостей, одинаковая, то такое движение жидкости называется плоскопараллелънылй или плоским двшкениеж.
Если совместить одну из параллельных плоскостей с плоскостью ху, то из трех составляющих скорости и, о, ш последняя будет равна нулю, а первые две будут функциями только от ш и р. В математической гидродинамике теория плоских потоков разработана особенно полно, так как существует мощный математический метод, облегчаюШий исследование таких потоков. Оказывается, что и вещественная, н мнимая части любой аналитической функции комплексной псременной з + гд всегда удовлетворяют уравнению Лапласа (41) и поэтому могут рассматриваться как потенциалы. В самом деле, пусть функция Г(х) = Ф+ И Но дл — = 3 ау Ф дх поэтому ог' дР' 1 дГ сЬ дх з ду' Подставлян сюда Р = Ф + вФ, мы получим: аФ .аф 1аФ аф + 3 — .
+ дх дх г ду ду Для того чтобы зта равенство соблюдалось, должны совпадать между собой отдельно его вещественные части и отдельно мнимые части. Сле- довательно, если учесть, что 1 1 то должны соблюдаться условия: — = — — (= о). аФ аф ду дх — = — (= и), дФ дФ дх ду (47) Составляя уравнение Лапласа (41), которое вследствие равенства азФ вЂ” =0 состоит теперь только из двух членов,мы получим: д з д'Ф а'Ф а'Ф а'Ф дхз дуз дУ дх дх дУ азф азф д'Ф а'Ф дх' ду' ду дх дх ду т. е.
обе функции Ф и Ф действительно удовлетворяют уравнению Лапласа и, следовательно, могут рассматриваться как потенциалы скоростей некоторых двух потоков. Из соотношений (47) легко видеть, что оба эти потока в каждой точке ортогональны друг к другу и имеют зцесь равные по абсолютной есть аналитическая функция комплексного переменного з = х + 1у, причем Ф есть вещественнан часть функции, а Ф вЂ” мнимая часть. Мы имеем: дГ дГ ал дР дР дл дх д» дх' ду дл ду' величине скорости.
В самом деле, скорость первого потока образует с осью х угол а, для которого дФ ду сйа = — = —. дФ дх. скорость второго потока образует с осью х угол,8, для которого дФ ду и скд = — =— дФ дх следовательно, 1 Фйа Абсолютная величина скорости и в первом и во втором потоке равна ~/из + из. Вследствие ортогональности обоих потоков линии равного потенциала одного потока являются линиями тока другого (скорость всегда направлена по нормали к поверхности равного потенциала).
Функция, значения которой остаются постоянными на линиях тока, называется фуяяциеб тома. Следовательно, если функция Ф выбрана в качестве потенциала скоростей, то Ф будет функцией тока. Функция тока имеет еще другое наглядное зачение; разность ее значений в двух точках равна объему жидкости, протекающему в единицу времени между обеими точками в слое с толщиной, равной единице. Рассмотрим несколько примеров плоских потоков.
Плоский поток перед стенкой определяется функцией В самом деле, мы имеем: а ~хз 2,х„„з) 2 следовательно, Ф= — (хз — у), Ф=аху. Последнее уравнение показывает, что линиями тока Ф = сопев являются равнобочные гиперболы, асимптотами которых служат оси х и у. Составляющие скорости равны дФ дФ и — =ах, и= — =-ау. дх ' ду Плоский источник определяется функцией Е = 61пх.
Так как в = х + 1у = т(сов во + в1п ~о) = те'т, где т и 1о суть полярные координаты, то 1п з = 1пт+ йр, следовательно, Ф = б(пт, Ф = бу. Таким образом, линиями тока Ф = сопев действительно являются прямые ~р, исходящие из начала координат. Линиями равного потенциала Ф = сопев являются окружности т = сопв$. В качестве третьего примера рассмотрим поток вдоль двух пересекающихся между собой стенок. Такой поток, если точка пересеченил стенок расположена в начале координат, а ось х направлена вдоль одной из стенок, определяется функцией а где п = ~~; св есть угол между обеими стенками. В самом деле, введя полярные координаты, мы получим: — х" = -т"[т(сов1о+1в1п1о))", или, на основании формулы Муавра, -в" = — т"(совпр+1в(пало). Следовательно, функцией тока будет Ф = -т" в1пу.
Она принимает нулевое значение Ф = О, т.е. совпадает со стенкой, при следующих значениях ео: л 2л у=О, —, —, ..., пли, если заменить и указанным выше его значением, при 4о=б,а,2а, а= — У=А г л л 4 ' а= л У=А.г е 2' а=л,г=А г з а= Л л,Г=А хг~ 2 а= 2л,рвА. /г Рис. 59. Потоки, определяемые функцией Г = Аг" при разных значениях и Поток около круглого цилиндра радиуса а в направлении, перпендикулярном к оси цилиндра, определяется функцией У=у г+ о Вычисляя функцию тока Ф, мы получим: а 4 Ф = У е1п у г — —,. ) .
Опа равна нулю на оси х, где и!п~о = О, и на окружности радиуса г, где г — о = О. Картина линий тока получается очень похожей на картину пиний тока при обтекании шара (см. рис. 58). Можно было бы привести еще много других примеров плоских потоков, определяемых функциями комплексной переменной, но мы ограничимсл разобранными. В теории функций комплексной переменной Таким образом, при разных значениях н = л мы будем иметь потоки вдоль двух стенок, пересекающихся между собой под углами а.
На рис. 59 изображены линии тока таких потоков, получающихся для значений а = —, —, л, -л и 2л. Как лепео видеть, для углов а < л скорость течения в начале координат равна нулю, а для углов а ) л она равна бесконечности. существует метод, позволнющий из известного потока около какого- нибудь тела получать новые потоки около других тел. Будем рассматривать две комплексные переменные з = х + >у и >, = С + »>. Каждой паре значений х, у соответствует точка в плоскости ху, а каждой паре значений с,» — точка в плоскости ~>~.
Всякая функция устанавливает между г и >, соответствие такого рода, что каждан пара значений (, » связывается с парой значений х, у, следовательно, каждая точка плоскости ~ц связывается с точкой плоскости ху. Такое соответствие между плоскостями ~ц и х>> называют отображением. При отображении каждан линия плоскости ху переходит в некоторую линию плоскости Сц, точка пересечения двух линий плоскости ху — в точку пересечения соответствующих линий в плоскости ~ц. Производные от вещественной и мнимой частей функции ~(~) удовлетворяют соотношениям такого же вида, как и равенства (47). Прямоугольная сетка одной плоскости отображается также в прнмоугольиую, но в общем случае криволинейную сетку другой плоскости, причем масштаб отображения в обоих направленннх получается одинаковым. Это означает, что в бесконечно малых частях отображение происходит с соблюдением подобия. Поэтому такого рода отобра>кения пазываютсн кояфорияыл>и о>яображениями.
Примеры плоских потоков, разобранные выше, одновременно являются и примерами конформных отображений, если только вместо Ф и Ф написать с и ц. Последний из примеров показывает, что функция г=У а+в отображает полуплоскость ФФ на область плоскости ху, ограниченную двумя отрезками оси х, простирающимися от — со до — а и от +а до +со, и половиной окружности радиуса а.
Важное значение конформных отображений длн гидродинвмики состоит в следующем. Если л' есть аналитическая функция от з, а л есть аналитическая функция от >,", то Р есть аналитическая функция также и от >,. Это означает, что в плоскости >, функция Е = Ф+>Ф также определяет некоторый поток. Следовательно, если в плоскости ху имеется какой-нибудь поток, что всякое конформное отображение плоскости ху на плоскость сц дает некоторый новый поток. Такой способ получения новых потоков нз заданного потока может быть повторен сколько угодно раз. ггг' — = и — то.
гь'» Эта величина, сопрллгенная с величиной и + ги, называется комплексной скоростью и обозначаетсл через и. Очевидно, что и явлнется аналитичес- ' А кой функцией от г или от л', следовательно, отображение плоскости ФФ зе на плоскость ие также является конРис. 60. Истечение через щель формным. Существуют такие случаи, когда, не зная функции Г[г), определяющей поток в плоскости ху, можно тем не менее заранее, на основании заданных граничных и других условий, построить картину распределения комплексной скорости и з плоскости ио. Так, например, при истечении жидкости через щель между двумя стенками [рис. 60а) заранее известны направлении скорости на стенках аЬ и с4 далее известно, что на границах свободной струи скорость постоянна [это следует из уравнения Бернулли, так как на границах струи давление одинаковое); наконец, нам известны предположительные направления линий тока до истечения из щели, а также предположительное направление струи после истечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
