Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Если оно положительно, то положительна также величина —, поэтому дй ду' в формуле (22) можно отбросить черточки, обозначающие абсолютное значение. Тогда полное касательное напряжение, получающееся от сложения среднего вязкого напряженил и дополнительного касательного напрлжения, возникающего вследствие турбулентности, будет равно где м есть безразмерное число. Для рассматриваемой задачи о турбу- лентном движении это число нвляется существенной (универсальной) постоянной. Подставлля 1 = ку в уравнение (25), мы получим: пи ду откуда, принимая во внимание, что и, = сопэС и ннтегрирул, найдем: и = и,( — 1пу+ С). (26) При больших числах Рейнольдса такой закон измепенил скорости хорошо согласуется с наблюдениями, которые для числа к дают значение 0,417. Правда, при у = 0 формула (26) дает для и значение -со вместо действительного значения О, однако это вполне понятно, так как в наших приближенных вычисленилх мы пренебрегли членом,и — ".
ды ду' е уравнении (24), в то время как именно этот член играет преобладающую роль вблизи стенок. Если бы мы сохранилн в наших вычисленилх будем обозначать ее одной буквой и, и называть диналщческой скоростью. Согласно сказанному в 24, динамическая скорость и имеет порлдок величины турбулентных пульсаций и' и и' (точнее, и. = фи'ю'~). При сделанном выше предположении о постолнстве т величина и. также лвляется постоянной.
Пусть рассматриваемый поток ограничен двумя гладкими стенками, из которых одна совпадает с плоскостью у = 0 и безгранично простирается в обе стороны оси к, а вторая находится на таком расстоянии от первой, что совершенно не влинет на состояние течении вблизи нее, следовательно, вторую стенку можно считать удаленной от первой на бесконечное расстояние. Тогда скорость й будет зависеть только от у, поэтому вместо — ьп можно писать — "; кроме того, мы не будем ставить ду черты над и, так как в дальнейшем о пульсацнлх не будет речи. Теперь нам необходимо сделать правильное, с точки зренил размерности, предположение о зависимости длины пути перемешнвания 1 от факторов, определлющих поток.
Допустим, что влзкость не оказывает никакого влиянил на величину 1 (это подтверждается результатами наблюдений); тогда единственной правильной, с точки зрения теории размерностей, формулой для 1 будет этот член, то, составляя выражение для длины пути перемешивания 1, мы должны были бы включить в нее еще второе слагаемое — длину и рп ю' Постолнную интегрироваиил С удобнее заменить другой постоянной, учтл при этом то обстолтельство, что в непосредственной близости от стенок играет роль вязкость.
Очевидно, что выражение в скобках в правой части формулы (26) должно быть безразмерным числом, и это число не должно зависеть от применяемой системы единиц. Для того чтобы придать этому выражению безразмерный вид, необходимо вычесть нз 1пр логарифм упомянутой выше длины „и, следовательно, необходимо принять, что С = С вЂ” — 1п —. 1 и ос и' Тогда число Сг будет второй универсальной постоянной. Подставляя найденное значение С в формулу 126), мы получим: "'( 1" и + Сг) 127) Так как скорость быстрее всего изменнется в непосредственной близости от стенок, то, подставлня в формулу (27) мы сделаем ее пригодной для приближенных вычислении также в тех случаях, например, при движении в трубах, когда касательное напрлжение т изменяетсл вместе с расстоянием р от стенки. Как показывают измерения, получающиеся результаты довольно хорошо совпадают с действительными значениями скорости.
Если в этих случаях откладывать измеренные значения —" иак ординаты, а значения 1ояго — „— как абсциссы, то все полученные точки упрасположатся вдоль или вблизи некоторой примой. Составляя уравнение этой прлмой, можно определить значения лг и С1. Никурадзе1, обработав таким путем свои измеренил, выполненные в прямых трубах 1Ч1ьпгобле 3., бееегвгпалв16ье1сеп бег 1пгЬп1еп1ег 31ггйппб 1и 61виеп Еоьгеп, ЧР1-гогвсьппбеьей К1 356 11933).
[Имеетсл в переводе не русской ооык в сборннке «Проблемы турбулентностпэ, Москве. 19361 с гладкими стенками, получил для и и С, значения: м = О, 40, Сз = 5, 5. Следовательно, если перейти от натурального логарифме к десятичному (1п х = 2, 3026 18х), то получится следующая практическая формула: и = а„(5, 75 1л — „* + 5, 5) . (28) Если использовать результаты измерений только для точек, близких к стенкам, то зто даст приближенную формулу для идеального случая, когда т = сопаь В атом случае измерения дают длн м, как уже упоминалось выше, значение 0,417, а для Сз — значение 5,84, и практическал формула для вычнсленнл скорости и принимает внд: и = а (5,5218 +5,84).
(29) т=— У Так как т = ра~, то отсюда следует, что ц ул„ К и Лля турбулентной области, соответствующей значенилм —, равным Уэ приблизительно от 40 до 600, получаетсл степеннал зависимость 1/7 (30) с) При небольших значениях отношения длины у к длине „~ влияние влзкости на распределение скоростей проявллетсл, во-первых, непосредственно, поскольку она входит в первое слагаемое р †" уравнеоу ния (24), а во-вторых, косвенно, поскольку длина пути перемешиванил 1 зависит от вязкости.
Так как при допущении, что т = сопят, единственными безразмерными комбинацилми всех остальных величин, от которых зависит распределение скоростей, явллются „— и — „, то очеи У". видно, что совместное влилние обоих указанных обстолтельств должно выражаться в том, что при т = сопзс отношение „вЂ”" есть универсальная функция от — „. Оказываетсл, что именно такая зависимость между — „ Уэ И уе и †' существует в действительности. В непосредственной близости от стенки образуетсл, как уже упоминалось, ламинарный пограничный слой, в котором Следовательно, скорость и пропорциональна корню седьмой степени из у, что для движенил в трубах хорошо подтверждается примерно до чисел Рейнольдса К = 100000. При больших числах Рейнольдса скорость и приближенно пропорциональна сначала корню 8, а затем корнлм 9 и 10-й степени из —.
Однако следует иметь в виду, что эти уе зависимости лвллютсл лишь приближенными выраженилми более точной зависимости (29). 30 20 15 1О 0 1О 20 3 О 40 50 50 70 80 90 !00 Рнс. 100. Универсальный закон распределеннл скоростей Результат экспериментального определения универсального распределения скоростей длл т = сопзс изображен на рис. 100. Числа, отмеченные вдоль оси абсцисс, относлтсл только к кривой 1; длл кривых 2 и 3 эти числа следует умножить соответственно на 10 и 100. Кривые 2 и 3 можно рассматривать также как такие распределения скоростей, которые соответствуют вязкости, в 10 и 100 раз меньшей, чем длл кривой 1, но при условии одинакового касательного напрлже- ра нил на стенке.
Если на осн абсцисс откладывать вместо значений — „' их логарифмы, то универсальное распределение скоростей длл области, охваченной экспериментом, примет вид, изображенный сплошной кривой на рис. 101. Мы видим, что, начинал примерно от — = 50, эта ра кривая превращаетсл в прямую линию, иоторую можно экстраполиро- 30 25 20 15 0 2 5 10 2 5 10 2 5 1О 2 5 1О 2 Рис. 101. Универсальный закон распределения скоростей при логврифмическом масштабе вдоль оси з уз. вать до сколь угодно больших значений — *. Штриховал кривая 1 на рис. 101 изображает закон ламинарпого движенил и у" Ю Р кривал 2 — закон движения согласно уравнению (29), а кривые 3 и 4— законы движения согласно уравненилм (28) и (30). Заметим, что уравнения (28), (29) и (30) можно решить относительно и, и таким путем определить длл заданных значений и и у касательное напрлжение па стенке.
Например, из уравнения (30) мы получим: з г/4 з г/4 г (8 7)-т/~ рит/е (~~ = О 0225риг~ ~ ') (31) К такому же соотношению приводит эмпирический закон, найденный Блазиусом длл потери давления в гладких трубах (см. уравнение (66) в 211). Исторически уравнения (27)-(31) были получены в иной последовательности, чем зто сделали мы, из методических соображений, о приведенном выше изложении. Прежде всего был найден закон Блазиуса, из которого было выведено уравнение (31). Из этого уравнения для г, = сопзс было получено соотношение, согласно которому и пропорционально у'~~.~ Следующим шагом, который привел к нашему уравнению (27), было исследование Карманаэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
