Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 99
Текст из файла (страница 99)
е. тем же способом, который применялся при выводе уравнения (5Л3.16). Ваяв среднее за один цикл и снова положив () = Ае(т, мы найдем среднюю скорость элементов ж)щкости на границе пограничного слоя (где чт и и приближенно параллельны твердой границе) Таким образом, средняя скорость элемента жидкости, находившегося в точке хо, и средняя скорость жидкости в точке хе различаются по кинематическим причинам всякий раз, когда фаза у флуктуаций скорости иаменяется в аависимости от расстояния х по направлению скорости; зто различие, не аависящее непосредственно от вязкости, имеет тот же вид, что и один из двух членов в (5.13.
20), обусловленных влиянием вязкости у твердой границы. 1) этса еадаче яосвящсвы статьи Лсвгс-Хютввса (!963) и Стюарта (1966). 451 лзе Гл. 8. Течение прк большом чнсле Рейнальдсв; эффекты вявкастн Многие колебательные двшкения жидкости имеют вид либо «стоячей волны», когда фааа у колебаний не зависит от координаты, либо вид «прогрессивной волны», когда амплитуда А не аависит от координаты. Движение первого типа возникает в том случае, когда твердое тело колеблется около некоторого среднего положения; для этого движения сразу вне пограничного слоя, согласно (5.13.20) и (5.13.22), имеем — — 3 НАз Уз= И'з= — — — . отсюда видно, что элементы жидкости перемещаются в те области, где амплитудаА колебаний минимальна. В случае колебаний кругового цилиндра (радиуса а), скорость центра которого в направлении 0 = 0 по нормали к оси равна действительной части от усе'а', мы имеем У = А = 2У~ з1п О, так что скорость смещения элементов жидкости сразу вне пограничного слоя равна 801 Уг = И'г = — — о з1п 20 2яя — — ЗА ее .
4пв Уз=И'в= — — 'з1п— 8с Х (5.13.25) Ч Из вкустячесноа теории язвестяо, что прн выполяенян стого узловая атнасятельнае течепне вблнзн тела прнбвяженно будет тем же самым, нек есвн бы жндкасть была несжн. мясная; пазтаму здесь пряменнмы полученнме выше результаты. 452 (положительное аначение скорости соответствует увеличению угла О). Зто смещение жидкости вокруг поверхности цилиндра по направлениям к передней и кормовой критическим точкам приводит к возникновению циркуляции жидкости как целого внутри каждого квадранта; качественно такую картину можно наблюдать при колебании кругового цилиндра в баке с водой, поверхность которой покрыта блестящими частицами. Колебания жидкости типа стоячей волны воаникают также в том случае, когда неподвижное твердое тело погружено в жидкость, череа которую проходят плоские звуковые волны, при условии, что длина внуковой волны больше размера тела г); получающееся в реаультате установившееся вторичное движение называют «акустическим течением».
Другое акустическое явление, которое можно обьяснить рассмотренными выше аффектами колебаний вязкой жидкости, состоит в том, что мелкие частицы пыли стремятся скапливаться в узловых точках (скорости) на стенках трубы, в которой поддерживается стоячая звуковая волна (так называемая трубка Кундта). В этом случае снова применим анализ для несжимаемой жидкости, если Л )) 6, где Л вЂ” длина звуковой волны.
Поскольку здесь А = А, зсп (2ях/Л), то из (5.13.23) получаем ЗАЗ. Колеблюпгяеся пограничные слон где с = пЛ/2я — скорость распространения звуковой волны. Во внутренней области жидкости возникает циркуляция, соответствующая атому установившемуся течению по направлению к узловым точкам х = О, г/аХ, е„... сраау впе пограничного слоя; при этом пад пучпостями жидкость притекает к степке трубы, а пад уалами течет от стенок; поле установившегося течения в этом случае (без учета приближения пограничного слоя к исходному движению вблизи стенки) было вычислено Рзлеем (1883). Мелкие частицы пыли могут скапливаться ка стенке в таких местах, в которых оки пе испытывают возмущений от исходного периодического движения, т.
е. в узловых точках скорости, и опи переносятся в такие места под действием вторичного установившегося течения. Периодические течения, возникающие в воде постояппой глубины при прохождении фронта прогрессивной волны, служат примером течений другого вида, в которых фаза у изменяется с координатой. Смещение жидких элементов в таких течениях может иметь важные практические приложения, такие, как перенос осадочных пород вблизи дпа. Амплитуда сипусоидальных колебаний жидкости ораву впе пограничного слоя па гориаоптальпом твердом дке яе зависит от положения па пем, так что из (5.13.20) и (5.13.22) имеем Уэ= — — ' —, И"а=— — ЗАа Ыу — ЗАе Ат 4я Ъ' ая Ас (5А3.26) Кроме того, мы имеем здесь у = — 2лх/Х (направление распрострапения фронта волны соответствует увеличению координаты х), где 2.
— длина волны. Таким образом, сразу впе пограничного слоя па твердом дпе получаем средние скорости жидкости в точках и скорости жидких элементов соответственно — ЗАе — ЗАс г/э = — Игг =— 4с ' 4с ' (5А3.27) где с — скорость распространения фронта волны. Известно, что амплитуда А колебаний уменьшается с глубиной по акспопепциалькому аакопу, а дополнительная скорость смещения жидкости, обусловленная влиянием вязкости, имеет заметную величину только яа расстоянии от дпа, пе превышающем примерно одну длину волны. Наблюдения обнаруживают повсеместное установившееся смещение малых твердых частиц вблизи дка в направлении распространения волин, причем скорость смещения близка к теоретическому апачепию 5А'/4с.
Как мы увидим в следующем параграфе, имеется еще «пограничный слой» иа свободных поверхностях, который также приводит к смещению жидкости вблизи поверхности при прохождении фронта волны (Лонге-Хиггинс (1953)). 453 Гл. б. Те«елке ири большом числе Рейиольдсе; эффекты ияэкоети 5Л4. Течения со свободными поверхностями Пограничный слой на свободной поверхности Хотя твердые границы являются наиболее общим источником завихренности, а следовательно, и пограничных слоев в течениях при больших числах Рейнольдса, случай границы с нулевым касательным напряжением позволяет выявить интересные особенности и заслуживает обсуждения. Так, на «свободной» поверхности жидкости (~ З.З) нормальная компонента напряжения равна сумме постоянного члена и зависящего от поверхностного натяжения, а касательная компонента равна нулю.
Следуя порядку изложения в предыдущих параграфах, полезно рассмотреть течение жидкости, которое воаникает иа состояния покоя, если всем границам придать заданные скорости движения. Непосредственно после начала движения границ движение жидкости будет всюду безвихревым. Нам нужно выяснить, может ли такое движение удовлетворить полным граничным условиям; если ответ утвердительный, то безвихревое движение сохранится и установившимся состоянием всюду будет одно из безвихревых течений. Далее, если форма свободной границы была задана заранее, то безвихревое течение было бы полностью определено, а условия для нормальной и касательной компонент напряжений на свободной границе остались бы в общем случае неудовлетворенными.
В действительности форма свободной границы изменяется при движении жидкости и принимает тот или иной вид в соответствии с граничными условиями. Одно из двух граничных условий удовлетворяется первоначальным безвихревым течением — ато условие для нормальной компоненты напряжения; действительно, любое отклонение нормального напряжения на поверхности жидкости от заданного значения повлечет за собой возникновение бесконечного ускорения частиц жидкости на границе в направлении по нормали к ней и, таквм образом, проиаойдет быстрое иаменение формы свободной границы. Следовательно, мы можем предположить, что во все моменты времени форма свободной границы такова, что нормальное напряжение на границе равно сумме постоянной и некоторого скачка давления, обусловленного поверхностным натяжением. В общем случае этим полностью определяется начальное безвихревое движение и форма свободной границы.
Остается еще условие равенства нулю касательного напряжения на границе, которое в общем случае не может быть удовлетворено начальным безвихревым движением. При любом отклонении касательного напряжения в безвихревом течении от нулевого значения в точках вблизи свободной границы на граннце возникает бесконечное ускорение жидкости, параллельное границе и направленное так, чтобы касательное напряжение в жидкости приблизи- 454 5ЛЬ. Течения со свободными поверхностями лось к нулевому.
Это ускорение жидкости под действием сил вязкости порождает на границе завихренность, которая затем диффундирует в жидкость обычным образом. Однако если в случае твердой границы требуется ненулевой скачок скорости на границе и, следовательно, возникает слой (первоначально) бесконечной аавихренности, то в случае свободной границы требуется ненулевой скачок проиаеодных скорости и порождается конечная завихренность. Точная величина возникающей на свободной границе завихренности может быть легко вычислена следующим путем. Выберем систему ортогональвых крвволинейных координат (э, з), »,), такую, чтобы свободная поверхность в данный момент совпадала с одной из поверхностей ь = сопэС. Обоаначим череа и, и, ю соответствующие компоненты скоростей в нашей системе координат, а через Ь„Ь»з, Ьз — коэффициенты Ламе.
Тогда для $-компоненты взвихренности (см. приложение 2) имеем что можно переписать как оь = — — — +— Г Ьз д(и)йз) Ьз д(м/Ьз)) 2 дм 2е дйз у + — — — — —. (5.14.1) ( йз д4 Ьз д») ) Ьз д») Ьзйз д4 Выражение внутри фигурных скобок равно удвоенной величвне одного из внедиагональных элементов тензора скоростей деформации (см. приложение 2); этот элемент должен быть равен нулю на свободной поверхности, чтобы обеспечить на ней равенство нулю соответствующей касательной компоненты тензора напряжений. Нормальная компонента и» скорости, так же как и дп»»дз), должна быть непрерывной при переходе через тонкий слой у свободной поверхности; кроме того, требуется, чтобы касательная компонента и скорости не имела скачка, так что последние два члена в (5.14.1) можно считать непрерывными.
Таким образом, скачок завихренности оь в тонком пограничном слое, формирующемся на свободной поверхности, равен просто значению выражения в фигурных скобках из (5.14.1) на гранвце области исходного безвихревого течения, т. е. д Ьз»йе дч) Ьз (Ьз до) 142 ( йз д4 Ьз дэ ) лсср. слой' где»р — потенциал скорости беавихревого течения. Для скачка завихренности мч можно выписать соответствующее выражение, а скачок аавихренности о»г равен нулю. В тех случаях, когда свободная поверхность стационарна или может быть сделана таковой путем подходящего выбора поступательной и вращательной скоростей системы координат (при таких движениях системы координат тензор скоростей деформа- 455 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
