Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 101
Текст из файла (страница 101)
5.11.1. кааффипиевт еапротиаиенвя газовых пузырьков, подивнаюшвхея в разлячных жвдкеотях. Эноаерикентальные даяние для двух жяакоетеа ваяты по енепери- ыентаиьвыы кривыы Хаберыане н Мортона (1913Ь Были проведены наблюдения скоростей всплывания пузырьков различных размеров в разных жидкостях, свободных от примесей; на рис. 5.14.1 показаны аначения предельных коэффициентов сопротнвления для двух жидкостей в зависимости от числа Рейнольдса (в котором в качестве длины а взят радиус сферы, имеющей тот же объем, что и пузырек).
Для чисел Рейнольдса, превьппающих ж 20 и меньших критического значения, при котором начинается резкое возрастание коэффициента сопротивления, согласование наблюдаемых значений с расчетными данными по (5.1410) удовлетворительное, а с расчетными данными по (5.14.11) довольно хорошее. Критические значения числа Рейнольдса для рааличных жидкостей различны, и, по-видимому, они связаны с началом искажения сферической формы пузырька. Перепад давления воды на поверхности пузырька, всплывающего с постоянной скоростью У, приближенно равен регт, и пузырек можно считать сферическим под действием поверхностного натяжения с коэффициентом у только в том случае, когда руз(( у/а, или, принимая в качестве у предельную скорость движения (5.14.12), когда Для чистой воды отсюда получается ограничение на радиус пузырька а(< (6,1.10 1)пз см = 0,06 см; 5д4.
Течения со сзсбсдяымв поверхностями это значение в действительности близко к тому аначению радиуса воздушного пузырька в чистой воде, при котором впервые наблюдается его несферичность. Когда перепад давления впервые становится сравнимым с поверхностным натяжением, пузырек принимает форму эллипсоида, сплющенного в направлении от передней критической точки к кормовой под действием давления торможения. Можно было бы вычислить полную диссипацию энергии в безвихревом течении, вызванном движением сплющенного эллипсоида, и получить новую оценку предельной скорости пузыръка, но результат вычислений будет, вероятно, иметь меньшее практическое значение, так как форма пузырька и пределъная скорость зависят теперь также от поверхностного натяжения, а движение пузырька становится неустойчивым и он поднимается зигаагообраано или по спирали.
Однако приведенная теория все же хорошо описывает наблюдаемый минимум коэффициента сопротивления в зависимости от объема пузырька. Затухание волн на поверхности тяжелой жидкости Вопрос о волнах на поверхности тяжелой жидкости не входит з круг рассматриваемых в этой книге, однако здесь будет уместно привести некоторые замечания относительно влияния пограничных слоев, образующихся на свободной поверхности. Мы рассмотрим только простой случай, в котором скорость жидких частиц изменяется по синусоидэльному закону (помимо слабого ее затухания) с частотой п, обусловленной прохождением волны, и в котором движение безвихревое в тех областях, где вязкостью можно пренебречь.
Если в канале с твердыми стенками или в жидкости глубиной, меньшей одной длины волны, на поверхности возникает волна (стоячая или прогрессивная) и если частота достаточно велика, то на каждой из твердых стенок формируется колеблющийся пограничный слой, подобный рассмотренному в предыдущем параграфе; если к тому же частота и амплитуда волнового движения удовлетворяют условию (5.13.2), то, используя описанные выше методы, можно получить оценки как для затухания волн под действием диссипацин энергии в пограничном слое, так и для скорости установившегося вторичного потока сразу вне пограничного слоя. Однако, если влиянием боковых стенок можно пренебречь, а глубина превосходит одну длину волны, то только пограничный слой будет оказывать (очень слабое) влияние на свободную поверхность.
Можно показать, что колеблющийся пограничный слой ка свободной поверхности приводит к возникновению установившегося вторичного движения и может оказаться, что это вторичное течение не будет локализовано в пограничном слое; однако в то 461 Гл. б. Течекзе арк большом числе Рейяольдса; эффекты эяэкоотк время, как для твердой гранвцы скорость указанного течения на внешней границе пограничного слоя стремится к определенному значению, зависящему только от местных условий, в случае свободной поверхности к определенному аначению стремится величина нормального градиента скорости установившегося течения (Лонге-Хиггинс (1953, 1960)). Наличие пограничного слоя на свободной поверхности служит, кроме того, причиной малого изменения фазы нормального напряжения на границе области безвихревого течения; в результате работа этого нормального напряжения в течение одного периода подъема и опускания свободной поверхности оказывается отличной от нуля и отрицательной.
Таким образом, амплитуда волнового движения медленно уменьшается; скорость этого уменьшения можно определить для прогрессивной волны следующим простым способом. Потеря полной энергии жидкости (кинетической и потенциальной) за один период равна скорости вязкой диссипации энергии эа один период при условии, что в объеме рассматриваемой жидкости суммарный поток энергии равен нулю. Эта диссипация происходит главным образом в области беавихревого течения и, таким образом, может быть определена, если известен его потенциал; этот способ позволяет вычислить затухание волн, не обращаясь непосредственно к рассмотрению течения в пограничном слое на свободной поверхности. Предположим, что скорость жидкости изменяется по синусоидальному закону вдоль одной иа горизонталъных координат, скажем, х (с волновым числом Й), и лежит в плоскости (з, л), где з — вертикальная координата, отсчитываемая вниз от среднего положения свободной поверхности.
Таким образом, в области безвнхревого течения ~р = А (1) з1п (ял — я1) е ь*; (5.14.13) множитель, зависящий от з, обеспечивает выполнение уравнения Лапласа для потенциала ~р; амплитуда А медленно изменяется по мере уменьшения энергии волны. Для определения скорости диссипации энергии мы можем снова восполъзоватъся соотношением (5.14.8) и найти, что скорость диссипации энергии движения в целом на единицу площади гориаонталъной плоскости равна 2рлэАэ(1), если амплитуда волны мала по сравнению с длиной волны (интеграл в соотношении (5.14.8) вычисляется в плоскоств невозмущенной свободной поверхности з = О). Теперь полная кинетическая энергия жидкости на единицу площади горизонтальной плоскости, осредненная за один период, равняется '/, ряАэ(Г).
Жидкость обладает еще и потенциальной энергией, а поскольку все материальные частицы совершают малые колебания под действием силы тяжести и взаимодействий между собой, то средняя полная потенциальная энергия равна среднев полной кинетической энергии. Следовательно, получаем уравнение 462 ЗЛ5. Прямеры прямеяепяя теоремы о количестве деяжеяяя постепенного уменьшения энергии А ЯуйАз)~й 2рйзАз показывающее, что амплитуда А убывает как е З"', где р = 2чйз/л. (5. 14.
14) Из теории поверхностных волн известно, что частота волн длиной 2пй на глубокой воде л = (фс)з~з так что демпфирование уменьшает амплитуду волн за один период на ехр ( — 4пч (яз/у)пз) часть ее величины. длину (ч/л)пз следует рассматривать в свете рассуждений предыдущего параграфа как меру толщины колеблющегося пограничного слоя. Проведенное обсуждение пригодно только в случае, когда эта толщина мала по сравнению с длиной 2пlй, характеризующей поле течения в целом, т.
е. когда выполнение этого условия обеспечивает, таким образом, малое изменение амплитуды волны в течение одного периода. В качестве числового примера рассмотрим волну длиной $0 см; тогда период будет равен ж 0,25 сек, длина (ч~п)мз, характеризующая толщину пограничного слоя, будет равна ж 0,02 см для воды, а амплитуда будет уменьшаться за один период на 0,0022 часть своей величины. На практике не часто случается, чтобы пограничный слой на свободной поверхности был основной причиной затухания поверхностных волн и чтобы была приемлемой полученная выше оценка для (); в самом деле, для случая волн в лабораторных условиях диссипация энергии в пограничном слое на твердых стенках, как правило, будет основной, а в случае волн на озерах или на море случайные возмущения воды под действием ветра служат обычно более сильной причиной диссипации энергии волнового движения.
5Л5. Примеры применения теоремы о количестве движения Как упоминалось в 3 3.2, существуют условия, при которых можно получить полезные и вполне точные результаты для установившихся течений путем применения теоремы о количестве движения, т. е. уравнения количества движения в интегральной форме (3.2.4).
Успех аависит от того, удастся ли выбрать контрольную поверхность таким образом, чтобы непосредственно по доступным данным можно было вычислить поток количества движения и на- 463 Гл. б. Течение ири большом числе Рейнольдсл; аффекты няакости 1 и.рх, Т -+ Р и с. Ь.1Ь.1. Испольаевание теоремы о ноличестве движения для определения силы, деаствтвщеа на решетка твердых тел пряжения во всех точках контролъной поверхности. Приводимые в этом параграфе два примера применения теоремы о количестве движения связаны с переходом одного однородного потока в другой; такой вид течения, по-видимому, наиболее пригоден для применения указанной теоремы. Сила, действующая яа периодическую решетку твердых тел в потоке В первом довольно простом примере поток жидкости, имеющий постоянную скорость У, набегает на решетку одинаковых твердых тел, распределенных периодически в плоскости, нормальной потоку (рис.
5.15.1); эти твердые тела имеют малые линейные размеры и расположены близко друг от друга, как, например, проволочки в сетке, а поток ограничен в поперечном направлении стенками, иараллелъными потоку. Установлено, что в условиях, близких к рассматриваемым, скорость жидкости снова становится постоянной на некотором расстоянии вниз по потоку и принимает то же самое значение с1 в соответствии с законом сохранения массы (если плотность жидкости не изменяется заметным образом). Жидкость действует на решетку с силой, которая направлена вниз по потоку, если твердые тела симметричны относительно нормали и решетке; мы выясним сейчас, можно ли по условиям вверх и вниз по потоку определить среднюю силу, действующую на единицу площади плоскости решетки, Выберем контрольную поверхность так, как указано штриховой линией на рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
