Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Колеблющиеся пограничные слои Граничные условия для и суть и ~ Уе'я' при у -е оо и условие на твердой стенке и=О при у=О. Из уравнения (5.13.5) и выписанных граничных условий следует, что зависимость (Уе'я' — и) от у и е в заданной точке на поверхности тела точно такая же, что и распределение скорости в покоящейся на бесконечности жидкости, ограниченной бесконечной плоской стенкой, скорость которой параллельна этой стенке и равна действительной части выражения Уе'я', таким образом, используя (4.3.16), имеем и (у е) — (7е~я~(1 е-и+1зае) (5.13.6) где для удобства записи мы положили (5.13.7) Демпфирующая сила, действующая па колеблющееся тело Как следует из (5.13.6), напряжение трения на границе представляется действительной частью выражения )е ( — ) =р(1+г) — е"".
I дог У ду ) е=е б (5.13.8) Трение на поверхности опережает по фазе на Ы4 скорость внешнего потока Уе'я' (т. е. оно проходит свой цикл раньше на одну восьмую периода колебаний); это связано с тем, что градиент давления, обусловленный колебаниями, действует на все слои жидкости одинаково и вследствие этого в замедленных слоях вблизи границы происходит более быстрое нарастание скорости в направлении ускорения,чем это происходит в удаленных от границы слоях.
Из-за того, что это различие фаз не равно я/2, в случае колебания твердого тела относительно фиксированного положения на каждом цикле тело совершает отличную от нуля работу против напряжений трения и на тело действует демпфирующая сила. Зная форму тела и скорость внешнего безвих- 443 Тот факт, что У изменяется в зависимости от координаты на границе, не влияет на местное распределение величины и, поскольку мы предполагали, что толщина пограничного слоя мала по сравнению с длиной Ь, на которой У заметно изменяется.
Полученный внешний безвихревой поток и связанное с ним течение в пограничном слое (5.13.6) дают приближение для полного распределения скорости течения в предположениях (5.13.2) и (5.13.4). Гл. б. Течение нри большом числе Рейнольдсз; зффекты вязкость ревого течения усом на границе, мы можем легко определить величину силы, действующей на колеблющееся в покоящейся на бесконечности жидкости тело, поступательная скорость которого равна действительной части выражения УДе'о' (где Уе— действительное число, а )с — постоянный единичный вектор); эта сила обусловлена касательным напряжением на поверхности тела, определяемым соотношением (5.13.8). Однако имеется еще вклад нормального напряжения на поверхности в результирующую силу, действующую на тело.
Давление на поверхности приближенно равно тому, которое было бы в случае полностью невязкой жидкости и всюду безвихревого течения; точность этого приближения увеличивается по мере стремления отношения 6/Ь к нулю, т. е. при ЬяызМlз — оо. Следовательно, в качестве первого приближения для результирующей силы давления на поверхность тела можно ваять полную силу, действующую на то же самое тело, колеблющееся в невязком потоке. Но безвихревое течение, возникшее в результате движения тела в невязкой жидкости, определяется единственным образом ваданием его мгновенной скорости и должно периодически изменяться с той же самой частотой п, что и частота колебаний тела; аналогичным образом кинетическая энергия жидкости является чисто периодической величиной, а поскольку никакого накопления энергии здесь не происходит, то результирующая работа, выполненная телом за один цикл для преодоления нормальных напряжений, в безвихревом потоке равна нулю.
(См. также $6.4, где непосредственно показано, что сила сопротивления при ускоренном движении тела в невязкой жидкости имеет фазу, отличающуюся на я(2 от фазы скорости тела.) Таким образом, необходимо найти болев подходящее приближение для давления на поверхности. Касательные силы на поверхности дают вклад в демпфирующую (безразмерную) силу порядка Ве нз. Это определяется тем, как именно вязкость р входит в выражение (5.13.8); вклад от нормальных напряжений должен иметь такой же порядок.
Однако доказать это нелегко. Стоке (1881) сумел вычислить поле течения для случая малых колебаний сферы и цилиндра без использования каких-либо предположений о величине числа Рейнольдса; как можно увидеть из его результатов, при 6 (( Ь имеется вклад в давление на поверхности тела, обусловленный наличием пограничного слоя; поправка к давлению на поверхности в безвихревом потоке оказалась в точности такой, как если бы, во-первых, сферу или цилиндр заменили другими, радиусы которых превышают прежние на величину порядка 6, а, во-вторых, центры этих эффективно увеличенных тел сместили вниз по потоку от центров исходных тел на величину порядка 6; первое приводит к небольшому увеличению мгновенной результирующей силы, обусловленной нормальными напвяжениями, а второе дает вклад в силу ЬЛ3.
Колеблющиесл лограиичные слои давления, который находится в фазе со скоростью тела, т. е. это вклад в демпфирующую силу. Для определения демпфирующей силы мы используем несколько иной (и более простой) метод. Как уже отмечалось, безвихревое течение и связанное с ним течение в пограничном слое (5.13.6) дают хорошую аппроксимацию распределения скорости во всем поле течения.
Следовательно, мы располагаем всем необходимым, чтобы оценить полную скорость диссипации энергии в жидкости и тем самым определить среднюю скорость, с которой тело производит работу. Итак, полная скорость диссипации в пограничном слое (толщина которого 6, а скорость внешнего потока (/о) имеет порядок рР„'/бе на единицу объема жидкости или р,(/,'А/6 в расчете на всю площадь А поверхности тела; вклад от области безвихревого течения имеет порядок рУ,'/а'е на единицу объема жидкости или р(/ееА/Ь для всего поля течения; ясно, что последним вкладом можно пренебречь. Внутри пограничного слоя местная скорость жидкости почти параллельна границе, так что для скорости диссипации энергии на единицу объема в некоторой точке пограничного слоя из (5.13.6) получаем р ~Я ( — )) = —,е-зе~есозе(п/+ —" — — "), (5.13.9) где через Я обозначена действительная часть соответствующей комплексной величины; здесь величина (/ действительная, так как все области внешнего безвихревого потока совершают колебания в одной и той же фазе.
Среднее аначение за один цикл скорости диссипации энергии в пограничном слое на единицу площади поверхности тела для точки, где безвихревой поток колеблется с амплитудой (/, таким образом, равно ОО з зе — е зе/еле, кое рце И (5А3.10) 445 а средняя полная скорость диссипации получается путем интегрирования по поверхности тела А. Теперь, если через Лсе™ обозначить демпфирующую силу, действующую на тело в фазе со скоростью тела с/оке'е', то средняя скорость, с которой тело совершает работу против приложенных к нему сил со стороны жидкости, равна '/а с/ег'; следовательно, -"=Я"" (5. 13.
11) Чтобы продвинуться дальше, нам нужно знать форму тела и по ней определить У. Для сферы из (2.9.28) (после подходящего изменения обозначений) находим (/= а/з(/ з(п О, ) (/едА = 6пае(/'„ Гл. б. Течение при большом числе Рейиольдса; аффекты вязкости а для кругового цилиндра (на единицу длины) из (2Л0.12) полу- чаем 0=27/оз!п0, ) Г/вс(А=4ла(/в, где а — радиус, 0 — полярный угол, причем направление 0 = 0 совпадает в обоих случаях с направлением вектора )б.
Таким образом, Р = блатаре/6 длЯ сфеРы, Р = 4лар(/ /6 для кругового цилиндра (на единицу длины). Из (5.13.8) можно легко найти, что вклад в Р от касательных напряжений на поверхности тела составляет 2/3 полной вели- чнны Р для сферы и 1/2 — для цилиндра; остальная доля демпфи- рующей силы, очевидно, обусловлена действием нормальных напряжений, зависящих от наличия пограничного слоя. Выразим в безразмерных коэффициентах, как это обычно принято, полу- ченные выше демпфирующие силы: ,=12 б — — 6 р'2 ( — ) для сферы, (5Л3.12) /вр е Е т 1!/2 го '/вР//о Рцоб ,=4л — =2л Р'2 ( — 1 для кругового цилиндра, 1 С/ов ) (5АЗА3) где з = Ч3о/и — амплитуда колебаний центра тела. Изменение демпфирующей силы по закону Ве '/' в случае безотрывного течения в пограничном слое нами уже отмечалось; новое состоит в том, что число Рейнольдса основано на амплитуде е колебаний, а не на линейном размере тела.
Для свободно колеблющегося упругого кругового цилиндра плотности р„такого, как струна фортепиано, средняя полная энергия цилиндра равна '/вла'р,Г/е на единицу длины и затухание колебаний под действием сил вязкости 2) определяется уравнением — ! — ла рвУ,) = — — У Р = — 2л —. в в! 1 пр//о б!1г ) г б Таким образом, Г/о* е З"', и поэтому удельное уменьшение энергии цилиндра за один цикл приближенно равно 2л))=8л — =4л — ! —,) р р / гт!1/2 (5.13.14) ер,нб р !! яов ) Измерения скорости потери энергии свободно колеблющегося кругового цилиндра за счет демпфирования жидкости показали, '! часть внергив колеблющегося цилянира ватрачивастся также на прнмую генерацию ввуковыв волн в жидкости, но она обычно намного меныне расводуемоб на преодоление сил вявкссти; что же касается косвенное потеря внергяя ва счет акустичесного излучения ревонатором, то оиа может и не быть малов.
5.13. Колебавши»се пограничные слои что при больших значениях отношения а'и/ч измеренная демпфирующая сила хорошо согласуется с полученной выше оценкам для колебаний с амплитудой е, не превышающей ж0,1 а. Установившееся вторичное течение, обусловленное колеблющимся нограничным слоем Интересные следствия связаны с другим свойством распределения скорости (5. 13.6), а именно с быстрым иаменением амплитуды колебаний поперек пограничного слоя. В этом случае, когда либо амплитуда, либо фаза скорости «внешнего потока» Уе™ в двумерном течении изменяется с иаменением координаты х, направленной вдоль этого внешнего потока, из уравнения сохранения массы видно, что должна существовать ненулевая компонента скорости порядка бс(«//Ых, нормальная к границе пограничного слоя; в явном виде она выражается действительной частью от Вг вв о о епа !у + е и+о„~в~ (5 13 15) Вв 1 1+1 $+! Если окажется, что действительные части величин и и о в некоторой точке изменяются с разностью фаа, отличной от н/2, так что среднее их произведения не равно нулю, то в течение одного цикла колебания должен происходить перенос х-компоненты количества движения через элемент поверхности, нормальный направлению у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
