Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 96
Текст из файла (страница 96)
отсюда следует, что интеграл по той части площади А, которая лежит вне следа, стремится к нулю по мере увеличения расстояния между телом и основаниями цилиндра. Вдали от тела линии тока почти параллельны, а изменение давления поперек следа очень мало. Таким образом, предельная форма интеграла в (5.12.13), когда цилиндр становится бесконечно длинным, а значения иг, иг, р! и рг стремятся к значениям свободного потока (иг стремится медленнее других), имеет вид агч г= р(/ ~ ((/ — пг) с(А = рсг/(тт, (5.12.15) и величину ~! можно теперь оценить посредством интегрирования по поперечной площади следа.
Этим определяется постоянная, входящан в асимптотический профиль скорости в следе (5.12.9). Полученное соотношение (5.12.15) между сопротивлением тела и скоростью добавочного течения, обусловленного наличием следа, уже встречалось как следствие озееновского приближения уравнений обтекания сферы при малых числах Рейнольдса (3 4.10). Данный здесь вывод соотношения (5.12.15) на основе общих уравнений сохранения количества движения показывает, что опо выполняется для любого тела, имеющего нулевую подъемную силу и движущегося стационарно в покоящейся жидкости при произвольном числе Рейнольдса.
Профиль скорости (5.12.9) также имеет много общего с распределением скорости, которое было вычислено в $4 10 на основе уравнений Озеена для стационарно движущегося тела. Легко видеть, что функция тока (4.10.6), полученная для течения в области далеко вниз по потоку (г/а)) Ве ') за движущейся сферой и внутри параболоида вращения с (я — О)'г/а порядка 8/Ве, дает то же самое распределение продольной скорости, что и соотношение (5.12.9); при атом постоянная г) в (5.12.9) должна определяться из (5.12.15) и соотношения Р = бяа)ат/, справедливого 439 Гл. Ь.
Теченне нрн белыпен чнсле Рейнельдса; аффекты вязкости при обтекании сферы с малыми числами Рейнольдса. Это совпадение двух распределений скорости в следе, полученных при явно различных условиях из уравнений, в которых нелинейный член и ~и заменялся членом Ю ~п (здесь и — скорость жидкости относительно тела), можно объяснить двумя обстоятельствами.
Во-первых, асимптотические (г/а>) Ке ') функции тока (4.10.5) и (4.10.6), представляющие соответственно течение от источника, связанного со сферой, и добавочное течение к телу из-за наличия следа„зависят от формы тела только таким образом, что форма тела влияет лишь на величину объемного расхода добавочного течения, а она, как видно из (5.12.15), определяется полным сопротивлением. Во-вторых, члены, оставленные в первом из уравнений Озеена (4.10.2), но не в (5.12.8), становятся относительно малыми при увеличении расстояния вниз по потоку, так что решения этих двух уравнений совпадают при х-е- оо.
Значительные ограничения на применимость полученных выше выражений для распределения скорости возникают из-за неустойчивости установившихся течений в следе, хотя соотношение (5. 12Л5) остается справедливым и дает связь между средним сопротивлением и средним расходом добавочного течения в нерегулярном следе. Как уже отмечалось (см. фото 4Л2.6 и 5Л1.4), в следе за круговым цилиндром при числах Рейнольдса 2аУе/т в дяапазоне между ж70 и 2500 формируется интересная периодическая цепочка вихрей, или «вихревая дорожка».
Для чисел Рейнольдса свыше 2500 след позади кругового цилиндра становится турбулентным и имеет нерегулярные пульсирующие скорости; но даже и при более низких числах Рейнольдса на достаточно большом расстоянии вниз по потоку за вихревой дорожкой течение обычно оказывается турбулентным. Известно, что ширина турбулентного следа поаади цилиндрического тела увеличивается как хне, точно так же, как и для установившегося ламинарного течения, хотя коэффициенты пропорциональности имеют различные значения. Число Рейнольдса, основанное на ширине следа и характерной относительной скорости внутри следа (дефекте скорости),является решающнм критерием, который определяет при заданном расстоянии вниз по потоку устойчивость следа и его турбулентность. Как для установившегося ламинарного, так и для турбулентного следов позади двумерных тел указанное число Рейнольдса не зависит от х, так что следы остаются либо ламинарными, либо турбулентными до бесконечности вниз по потоку.
Таким образом, применимость соотношения (5.12.9) для двумерного случая ограничивается теми числами Рейнольдса для тела, при которых установившийся след устойчив; в случае кругового цилиндра требуемая величина 2аЩч должна быть меньше ж40. Условия неустойчивости следа позади трехмерного тела но изучены столь хорошо, хотя можно ожидать, что критическое 440 533. Колеблющиеся пограничные слои значение числа Рейнольдса для трехмерного тела выше, чем для цилиндра. Ширина турбулентного следа за трехмерным телом увеличивается как лага, а максимальное значение дефекта средней скорости уменьшается как х а~', таким образом, эффективное число Рейнольдса для определенного участка следа уменьшается как х-ыа и течение в следе перестает быть турбулентным на некотором расстоянии от тела, Поэтому можно ожидать, что профиль скорости (5 12.9) будет применимым в установившемся следе за трехмерным телом при числах Рейнольдса, достаточно малых для устойчивости, а также на достаточно большом расстоянии вниз по потоку от тела, след за которым первоначально был турбулентным.
5.13. Колеблющиеся пограничные слои В многочисленных прикладных задачах при больших числах Рейнольдса скорость течения изменяется периодически со временем; часто это происходит вследствие вынужденного колебания твердой границы. Для некоторых периодических течений уравнения движения допускают линеаризацию, что позволяет получить ряд интересных результатов. Основное предположение, которое применяется здесь для потока со средней нулевой скоростью, имеет следующий вид: ~ дп/д8 ~ >) ~ и С7п ~. Если скорость изменяется всюду по периодическому закону с частотой я и характерной амплитудой а/с и если через Ь обозначить расстояние вдоль линии тока, на котором скорость и заметно изменяется, то величина ~ и ~ги ~ имеет порядок У,'/Ь (т.
е. поперек линий тока в пограничном слое имеются большие градиенты скорости и) и условие (5.13.1) будет выполняться при ') я~/1/с )) 1. (5.13.2) В случаях, когда периодическое изменение скорости жидкости вызвано поперечным колебанием твердой границы с амплитудой порядка е, скорость г/е имеет порядок пз и условие (5.13.2) эквивалентно условию е(( Ь. (5.13,3) (Чтобы распределение скорости оставалось не зависящим от сжимаемости жидкости, как мы и будем предполагать здесь, должно выполняться условие пй/с (( 1, где с — скорость распространения звуковых волн в жидкости; это условие обсуждалось в 3 3.6.) Как известно, завихренность возникает исключительно на границах тела, и если имеется чисто периодическое движение жидко- Ч Веараамерима иарамеср мИПс иреасгаамаес солса число Ссргхаля (см.
$ алп 441 Гл. З. Течение прн большом числе Рейнольдеа; аффекты вязкостн сти относительно границы, то возникающая завихренность будет попеременно положительной и отрицательной. В этих условиях разумно принять, по крайней мере в качестве приближения, что в течение одного цикла в сумме не порождается никакой завихренности и что завихренность равна нулю всюду, кроме узкой области вблизи границы, где чередующиеся слои отрицательной и положительной завихренности диффундируют одновременно и взаимно уничтожаются' ).
Время диффузии взвихренности одного знака от границы равно 2л!и, так что толщина слоя ненулевой завихренности 6 имеет порядок (т(п)з~з. Введем условие )6(<Е, (5 13.4) которое эквивалентно предположению о том, что число Рейнольдса йзпзт велико по сравнению с единицей. В случае твердой плоской границы, колеблющейся в собственной плоскости, в 3 4.3 была получена явная оценка для глубины проникания завихренности, а именно 6 (т/п)519. При 6 (< з" течение почти всюду безвихревое, и, следовательно, зная мгновенные скорость и положение границы, можно определить потенциал скорости. В соответствии с этим безвихревым течением на границе должна существовать ненулевая касательная компонента скорости жидкости относительно этой границы; эту компоненту в случае синусоидального колебания можно записать как действительную часть выражения уезаг, где комплексная величина Г изменяется в зависимости от координаты на границе; указанная касательная скорость теперь служит скоростью «внешнего потока» по отношению к пограничному слою ненулевой завихренности.
Таким обрааом, имея в виду, что приближение (5.13.1) справедливо как внутри, так и вне пограничного слоя, для течения в пограничном слое получаем уравнение (см. (5.7.1) и (5.7.8)) (5 13.5) где действительная часть комплексной величины и представляет собой компоненту скорости относительно границы, параллельную ей (направление этой скорости совпадает с направлением «внешнего потокаа); через у обозначено расстояние по нормали к границе.
Ч Отметим, что аеегда еущеотеувт учаоткя грзяацм, где зазнхренноеть путем конзенцян перенооатоа а направленвн от граннцм, я мы будем предполагать, что, пока скорость нонеекцвн не яамеввла своего знака, зазнхреввоеть не уносится вдаль от позерхноетн. Это предположевне допустимо з том случае, когда не происходит отрмва погракячного слон. Таням обрааом, тела о еетрымн нромкамн здеоь раеематрнватьеа не будут, поекольку дла ннх отрыв пограннчвого слоя наогупаег почта ораву же пеле начала двкженяа.
Чем больше отановатоа чаотога к колебавнй, тем меньшего радиуса крнзкавы кромка тела можно вееледоеать. В 5 5.9 мы в1щеля, что еелв круговой шзлнндр евеазлно качннает дзагатьоя о поотоаввой навечной скоростью, то обратное теченяе в пограввчном елое еозвнкает лишь ловле того, нак цнлнндр пройдет раоотоавне прнмерно в одну треть радяуеа, а наетупленне огрыза провоходнт, по-вндвмому, еще позже; з елучае колеблшщетооа йругозого цнлвннра, амплитуда дзаженпя когорого мала по еразвевшо е рапяуеом, отрыв пограначного слоя едва ля воаможен. 442 вяз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
