Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Член удеи/дхе, который отбрасывается в уравнениях пограничного слоя, адесь тождественно равен нулю, а давление поперек рассматриваемого слоя равно постоянному значению; таким образом, приведенное в $4.3 решение является также и решением уравнений пограничного слоя, причем довольно простым, поскольку в нем нет нелинейных членов. Установившийся свободный слой смешения по определению изменяется вдоль координаты х, и, следовательно, уравнения пограничного слоя теперь применимы. Один довольно общий вид такого слоя возникает, когда два однородных потока одной и той же жидкости движутся в направлении увеличения координаты х с разными скоростями 27"7 и Ут (( У,) и соприкасаются друг с другом при х = О, у =- О, — оо ( з ( оо (рис.
5 12.1). Если 433 2 — ЕВ72 Гл. 5. Течение при большом числе Рейиольдса; аффекты няакости Р и с. 5.12.1. Установившийся переводный слой иежпу двумя параллельными потоками. приведеннымя в соприкосновение при л = О. К г -г ы ~ -4 и' -б Р н с. 5.12.2. Профили екоростя в установямпемся переводном слое между двумя параллельными потоками жидностей с раалятнымя лестностями н вявкостямн (Лон (1951)). Ув = О, то мы имеем частный случай двумерного течения ка границе широкой щели, через которую вытекает первокачалько однородный поток жидкости. Уравнением пограяичкого слоя в этом общем случае является уравнение (5.12.1), поскольку давление постоянно впе слоя, а следовательно, и внутри него; граничные условия таковы: и -1- 5)1 при у -е оо, и -е- Г~ при у -ь — оо.
Легко можно показать, что существует автомодельиое решеиие, удовлетворяющее этим граничным условиям с переходным слоем, толщина которого пропорциопальпа (хт/(1*1)115; правда, результирующее обыкновенное дифферепциалькое уравнение для профиля скорости должно решаться численно. Эти профили скорости аависят от отношения ()'2/()'1, и оки показаны ка рис. 5 12.2 для бя2. Струи, свободные слои смешения и следы Уг/(/, = 0 и 0,5. Ясно, что жидкость верхней области никак не может ускоряться за счет контакта с нижним потоком; аналогично жидкость в нижней области не может замедляться.
Таким образом, на поверхности контакта этих двух областей ускорение всегда равно нулю и эта поверхность изображается линией тока, которая проходит через начало координат и на которой профиль скорости имеет точку перегиба. Подобное решение можно получить также и для двух параллельных потоков различных жидкостей, имеющих неодинаковые плотности и вязкости и соприкасающихся указанным выше образом (Лок (1951)). В этом случае независимыми переменными будут: г), = у (У,/о,х)ме для верхней области и т)г = у ((/~/огх)мг для нижней области (нельзя брать пг — — у ((/г/тгх) мг, так как с/г может быть равна нулю); уравнение, аналогичное уравнению (5.12.1), теперь нужно решать для каждой из областей с учетом условия непрерывности скорости и напряжения на поверхности контакта.
Из непрерывности касательного напряжения (г ди/ду следует (при рг ~ рг) разрывность производной ди/ду на поверхности контакта, хотя вторая производная дги/дуг, как и раньше, стремится к нулю при подходе сверху и снизу к этой поверхности. В автомодельных переменных упомянутое условие для напряжений показывает, что решение теперь зависит не только от б'г/с/„ но и от (Ргдг/Р~Рдпг. Это решение можно использовать для представления течения воздуха над водой при условии, что ограничение автомодельной формы распределения скорости выполняется всюду с момента соприкосновения потоков. Свободный слой смешения в однородной жидкости обнаруживает заметную неустойчивость, однако для слоя смешения на поверхности контакта воздуха с водой неустойчивость оказывается меньше из-за демпфирующего влияния на эту поверхность силы тяжести.
На рис. 5.12.2 показаны профили скорости для случая Уг/(/, = 0 при ргрг/Р, к, = 10, 100 и 5,97 10', последнее значение соответствует течению воздуха над водой. Следы Понятие следа обычно относится к области жидкости с ненулевой завихренностью за кормовой частью тела, обтекаемого в остальном однородным потоком жидкости. Распределение скорости в следе вблизи тела должно быть довольно сложным даже в случае установившегося потока, как это можно заключить из рассмотренных в 3 4.12 и 5.11 течений жидкости. Однако далеко вниз по по- о.12.
Струи, свободные слои смешения и следы 1 1З Р и с. 5.12.3. контрояьная поверхность (штриховая лииинь охватывающая жняимть, для ноеороа вычвсляетея погон нолиеества двяжения. 1 — грань 1, площадь лк г — поверхность а; е — грань х, площадь л.
Здесь () — постоянная, определяемая условиями при некотором начальном значении г с учетом того обстоятельства, что интеграл о Ц (У вЂ” и) 11у с1г = е.г ее (5.12ЛО) не зависит от х; в этом можно убедиться, если проинтегрировать обе стороны соотношения (5.12.9). Соответствующее решение для двумерного следа отличается только тем, что оно не будет содержать члены с г в (5.12.8) — (5.12.10) и множитель (П4птх) в (5.12.9) будет входить в степени 1/2. Таким образом, как для двумерного, так и для трехмерного случаев ширина следа, определяемого как область, в которой разность У вЂ” и больше некоторой доли ее максимального значения, увеличивается с расстоянием вниз по потоку по параболическому закону. Из скаванного следует возможность получить соотношение между постоянной Д и полным сопротивлением Р тела, порождающего след, несмотря на то, что остается неизвестным соотношение между 1г и условиями в следе вблизи тела, где уравнение (5.12.8) неприменимо.
Мы воспользуемся уравнением количества движения в интегральной форме, применив тот же подход, что был объяснен в 2 3.2 (и проиллюстрирован в $5.15). В качестве контрольной поверхности выберем цилиндр с образующими, параллельными невозмущенному потоку, и плоскими основаниями площади А, нормальными потоку (рис. 5Л2.3); боковая поверхность 8 цилиндра располагается достаточно далеко от тела, так что след находится внутри ее. На жидкость, содержащуюся в данный момент внутри этой контрольной поверхности, действуют силы, приложенные к самой поверхности, и силы, приложенные к поверхности тела; результирующая последних в направлении оси х равна — Р.
Приравнивая сумму х-компонент этих сил приращению потока количества движения в направлении оси х через Гл. 5. Течение кри волынок числе Рейиольдса; эффектм вязкости контрольную поверхность, имеем 1) = ~ (р,+ри,*— рт — ри,') с(А — р ~ ип пА8+ Р, (5.12.11) где и„рс и из, р, — значения компоненты скорости и вдоль оси и и давление жидкости на основаниях контрольной поверхности вверх и вниз по потоку соответственно,г' — силы вязкости, действующие на контрольную поверхность. Полный поток массы через контрольную поверхность должен быть нулевым, так что получаем дополнительное соотношение (5.12.12) и и ИЯ+ ) (из — и,) ИА = О.
Мы можем считать, что все элементы контрольной поверхности удалены на большое расстояние от тела, чтобы можно было пренебречь действием сил вязкости на поверхность тела и приближенно определить величины и, и„ие, рс и рз в (5.12.11). На криволинейной цилиндрической поверхности отклонение от условий свободного потока мало и можно положить и = — У во втором интеграле в (5Л2.11).
С помощью (5.12Л2) находим В = ) (р, + ри, (и,— У) — рл — риз(из — У)) ИА. (5Л2.13) Отсюда видно, что наличие дефекта скорости (и — У) в следе эквивалентно наложению на однородный поток некоторого добавочного течения, направленного к телу. Величина объемного расхода для этого течения равна ч из (5.12.10); относительно системы координат, фиксированной в жидкости на бесконечности, величина Д есть скорость, с которой объем жидкости переходит через стационарную плоскость позади тела. Это добавочное течение должно быть компенсировано, как это непосредственно следует из (5.12.12), равным по объему потоком жидкости, направленным в сторону от тела в область безвихревого течения вне следа.
Таким образом, наличие следа позади тела связано с некоторым дополнительным потоком типа источника в безвихревом течении, а интенсивность эффективного источника равна Ч; как показано в $ 2.9, 2.10, такой источник не может вызвать вдали от тела большого отклонения от однородного потока. Очевидно, что течение на больших расстояниях г от тела представляет собой наложение однородного потока и некоторого движения, схематически показанного на рис.
5.12.4, а в области вне следа отклонение скорости от значения в однородном потоке убывает с расстоянием как г-е в трехмерном случае и как г-' — в двумерном, В этой же области применимо уравнение Бернулли, и поэтому подвнтегрэльное выражение в (5.12.13) принимает вид —,р((и,— У)' — и',— в*,— (из — У)* ' и,'+иш); (5Л2Л4) 438 5.12. Струи, свободные слои смешения и следы Р и с. 5.!гя, Течение на большом расстоянии от тела, которое движется справа налево в жидкости, покоящейся нв бескояечности; оио состоит иа течения в следе и компенси- ртюжего его течения от источника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
