Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Это эффективное напряжение, появляющееся в результате увеличения амплитуды скорости и с увеличением расстояния от границы, будет изменяться поперек пограничного слоя и, таким обрааом, будет приводить к возникновению ненулевой средней силы, действующей на жидкость. Получающееся в результате установившееся движение жидкости может оказаться слабым, но, поскольку оно приводит к перемещению аначительного количества регулярно колеблющейся жидкости, его влияние иногда становится важным.
Такое установившееся течение, по-видимому, возникает при любом колебателъном движении, в котором имеется ненулевой средний поток количества движения через поверхности в жидкости; можно ожидать, что оно будет более значительным в том случае, когда существует пограничный слой, в котором имеется большой поперечный градиент амплитуды колебаний скорости (а также напряжения).
Для определения указанного установившегося течения вернел~- ся к уравнению пограничного слоя, в котором сохранены нелинейные члены. С целью упрощения выкладок движение будем считать двумерным. Пусть и, и (/~ — действителъные (не комплекс- Гл. 5. Течение при большом числе Ройкольдсэ; эффекты вязкости ные) скорости жидкости относительно границы, изменяющиеся по синусоидальному закону, соответственно внутри и на внешней границе пограннчного слоя; и! и П1 были выше определены линейной теорией; пусть и! + иэ и 1!'1+ с!'э удовлетворяют полным нелинейным уравнениям, которые применимы как внутри пограничного слоя, так и на его границе соответственно. Тогда, посколь- кУ (из) и ~П1~ пРеДположительно малы по сРавнению с )и1) и ! 1!'1~, получаем приближенное уравнение для иэ диз дзиз до'з д!!'1 ди! ди, — ч — — — == с!! — и! — — у! — .
(5.13.16) д1 дуз д1 дл дл ду Выражения для из и с!'з, очевидно, состоят из членов, пропорциональных з1в 2п~ и соз 2пд и постоянных. Последние и представляют искомое установившееся течение; выполнив осреднение всех шенов уравнения (5.13.16) по одному циклу, получим дзиз дб!! ди! ди! — Ч вЂ” = С!'! — — и! — — У! †.
дуз дл ди ду (5.13.17) Так как скорость с!! есть действительная часть выражения П (х) е!"' (где П вЂ” в общем случае комплексная величина), то можно записать ! Г!эл-1и1) 1= о где звездочкой обозначена сопряженная комплексная величина; далее, Г11 = —, ППэ. ! Скорости и! и у! — действительные части комплексных величаи и и и, определяемых соотношениями (5.13.6) и (5.13.15), так что их можно записать аналогичным образом. Исключая теперь зги три скорости из правой части уравнения (5.13.17), получаем ь 4 д (1 — (1 — л иэ)(1 — д "'э))+ + —.Я (Пэ — — е- 'У(ау — 1+о- в)~ =С(х, у), (5 13.18) где а = (1+ 1)/6.
Искомая скорость мз определяется зтнм уравнением с учетом граничного условия на твердой стенке мз — — О при у = О и условия, выражающего тот факт, что при у!6-~ оо скорость иэ стремится к постоянной. Уравнение (5.13.18) формально определяет скорость иэ установившегося течения, которое имеет аффективно неизменное 448 5.13. Колеблющиеся пограничные слои что соответствует отсутствию причины быстрого иаменения скорости установившегося течения вне пограничного слоя.
Решение уравнения (5.13.18) при этих граничных условиях было найдено Шлнхтингом (1932), и оно сложным образом зависит от у. Наиболее интересное свойство этого решения состоит в том, что при у -~- оо величина иа отлична от нуля; сейчас ыы убедимся в этом. Из (5.13.18) и приведенных выше граничных условий имеем отсюда находим, что иа-~ Юг при у-» оо, где 62=5»л У6(У)оу (5.13 19) 449 2» — 0»72 направление и возникло под действием массовой силы 6, направленной вдоль х; зта сила определяется просто приращением количества движения в направлении оси х в единицу времени, обусловленным малыми колебательными движениями жидкости в направлении оси у. Функция 6 (х, у) медленно изменяется по х, но быстро по у и обращается в нуль вне пограничного слоя; это свидетельствует о том, что все поле рассыатриваемого установившегося течения обусловлено эффективной касателъной силой, действующей на жидкость в тонком слое вблизи границы.
Посколъку 6 быстро изменяется поперек пограничного слоя, величина ил также должна быстро изменятъся по у; зто оаначает, что распределение скорости из имеет характерный для пограничного слоя вид. Следует отметить, что мы не предполагали, что число Рейнолъдса вторичного установившегося движения велико и что вяакая диффузия завихренности, связанной с этны течением, является пренебрежимо малой везде, кроме окрестности границы.
Скорость и« быстро изменяется поперек тонкого слоя вблизи гранвцы, что следует из обычных рассуждений, а быстрое изменение величины из поперек того же слоя обусловлено исключителъно характером распределения эффективной массовой силы 6. Если ограничитъся первым приближением скорости, т. е. и„ то распределение скорости в пограничном слое определяется течением вне его. Однако для «поправочного» члена иа справедливо обратное утверждение. При интегрировании уравнения (5.13.18) величина Га неизвестна, и мы вынуждены взять в качестве внешнего граничного условия — -+ 0 при у-»оо, до« дд Гл. б. Течепке прк болыпон чксле Рейкельдса; эффекты вкакостк Подставим в (5.13.19) выражение для 6 (у) из (5.13А8); после неко- торых преобразований, положив У = Ае'т, где амплитуда А и фа- зовый угол у зависят только от х, получим 3 !еАе а Ыте = — — ~ — + 2А* — ) эл ~ Ил Ыл ) (5.13.20) Пае/лч или за/ба, где е, как и выше, представляет собой амплитуду колебаний твердого тела в тех случаях, когда эти колебания служат источником движения; выписанные величины могут быть либо меньше, либо больше единицы в соответствии с налагаемыми условиями (5.13.4) и (5.13.2) (или (5.13.3)).
В первом случае перенос завихренности, связанной с установившимся течением, происходит главным образом за счет вязкой диффузии, а во втором случае всюду преобладает конвекция, за исключением некоторых тонких слоев, один из которых расположен на твердой границе и имеет толщину, намного большую толщины пограничного слоя первичного коле- 450 Это выражение определяет в точках на границе пограничного слоя величину средней скорости, которая обусловлена балансом между эффективной массовой силой 6, действующей на жидкость вблизи границы, и силами вязкости, вовникающнми эа счет изменения из в поперечном направлении.
Отношение У~ к Уе (амплитуде флуктуаций скорости) имеет порядок Щпй, т. е. мало по сравнению с единицей. Примечательно, что величина Уа не зависит от вяакости жидкости. Теперь мы можем, вообще говоря, определить распределение средней скорости во всей области вне пограничного слоя, испольауя в качестве граничного условия для этого распределения соотношение (5А3.20). Если вне пограничного слоя течение в точноств беавихревое, то в нем не может существовать какое-либо установившееся течение, поскольку безвихревое движение полностью определяется нормальной компонентой мгновенной скорости границ и должно быть колебательным, как и дввжение границы. Однако имеет место медленный перенос завихренности от установившегося течения вблизи границы, и в конечном счете попрошествив некоторого промежутка времени после начала движения из состояния покоя во всей жидкости должна появиться установившаяся завихренность второго порядка малости.
В|щ уравнения, которому удовлетворяет средняя скорость в области вне пограничного слоя, аависит от эффективного числа Рейнольдса Узап установившегося течения. С учетом (5.13.20) зто число Рейнольдса можно записать как 533. Колеблюн(исая пограничные слов блющегося течения. Соответствующие приближенные уравнения для описания этих двух случаев и решение этих уравнений мы здесь обсуждать не будем с). Приложения теории установивиегося вторичного течения Как было отмечено ранее, рассмотренное выше установившееся течение представляет особый интерес по той причине, что оно вызывает повсеместное перемещение элементов жидкости. Это перемещение связано со средней скоростью данного жидкого элемента, которая может отличаться от средней скорости ж)щкоств в точке; попытаемся найти аависимость между этими скоростями. Пусть чо (хо, с) — скорость в момент с элемента жидкости, который в предыдущий момент ге находился в точке хс, и пусть и (х, г)— скорость ж)щкости в момент 6 в точке х.
Тогда без каких-либо приближений получаем чт(хс, г) = и (хе+ ) чт(1(, () ° сс Для значений г — гс порядка периода колебаний перемещение элемента жидкости мало по сравнению с Ь, так что приближенно с (и (хе„с) ж п(хе, Ю)+ ( () чт(И) .((7п(х, с)), (5.13 21) с, и скорость )в в правой части (5.13.21) можно с достаточной точно- стью ааменить на и. Теперь можно получить второе приближение для скорости вторичного течения; с этой целью нужно воспользо- ваться первым приближением для оценки нелинейного члена, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
