Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 100
Текст из файла (страница 100)
б. Течение кри большом числе Рейнольдсэ; эффекты энэкости ции остается неизменным), мы имеем ду/дь = О во всех точках свободной границы и (5.14.2) можно записать в виде где хч — кривизна линии пересечения свободной поверхности плоскостью, нормальной к координатной линии $. Отсюда, в частности, следует, что для плоской свободной поверхности скачок завихренности равен нулю.
Это свяаано с тем, что в прямоугольной системе координат дн/дь = дю/бт( для беавихревой области течения, и если ю = О во всех точках свободной поверхности, то имеем также ди/дь = О, а зто покааывает, что в беавихревом потоке касательное напряжение на свободной поверхности равно нулю. Таким обрааом, в случае стационарной плоской свободной поверхности, такой, как в баке с водой или в бассейне, когда движения воды настолько спокойны, что форма свободной поверхности не изменяется, безвихревое движение воды удовлетворяет всем граничным условиям на свободной поверхности, образования завихренности у свободной поверхности не происходит и пограничный слой на ней не возникает.
Что касается стационарной криволинейной свободной поверхности, то одну из координатных линий на ней можно направить параллельно вектору Щ в каждой точке; тогда будет ясно, что скачок завнхренности представляет собой вектор, лежащий в касательной плоскости к свободной поверхности и перпендикулярной к линии тока в каждой точке, а величина его равна йт» = (2Ж)еотэ. слое~ (5.14.4) где и — кривизна линии пересечения свободной поверхности плоскостью, нормальной ей н параллелвиой вектору Щ, а д = = 1чч> ~. Таким образом, в формирующемся на свободной поверхности пограничном слов аавихренность диффундирует аа счет вяакости и переносится потоком (подобно тому как она изменяется в трехмерных течениях за счет вращения и растяжения вихревых линий); завихренность на свободной поверхности всегда болыпе завихренности сразу вне пограничного слоя на величину, определяемую соотношениями (5.14.2) или (5,14.4), в тех случаях, когда они применимы (или слегка иамененным вариантом соотношения (5.14.2), если движение вне пограничного слоя не является безвихревым).
Скачок скорости при переходе через пограничный слой, очевидно, имеет порядок бЛш, где б — толщина пограничного слоя, и, таким образом, иаменяется как Ве г1э в тех многочисленных случаях, когда диффузия завихренности приводит именно к такому закону изменения толщины 6 пограничного слоя. Столь малое изменение скорости поперек пограничного слоя имеет три важных следствия. 456 6.14. Течения со свободными поверхностями а) Уравнения движения в пограничном слое могут быть линеаризованы, если их записать для отклонения скорости от ее аначения сразу вне пограничного слоя. Например, для двумерного пограничного слоя с использованием обозначений иа $5.7 уравнение сохранения массы (5.7.2) дает п ж — у д(7/дх, (5.14.5) а из уравнений (5.7.1) и (5.7.8) с достаточной точностью получается ди', дй ди' дй' ди' дги' — + и' — + У вЂ” у — — = и —,, (5Л4.8) дс ди дс дс ду дуг где и' = и — У.
Если течение установившееся, а (7 — известная функция от х, то полученное линейное уравненве для и' можно решить стандартными методами. б) Иавестная тенденция к возникновению обратного течения в пограничном слое прн замедлении внешнего потока оказывается намного слабее на свободной поверхности, чем на твердой стенке, и отрыв пограничного слоя едва ли произойдет, за исключением случая очень болыпой кривианы свободной границы в какой-либо точке. в) Поскольку градиенты скорости внутри пограничного слоя по порядку величины не больше градиентов скорости вне пограничного слоя, то скорость диссипации энергии на единицу объема жидкости будет одного и того же порядка во всей жидкости. Таким образом, полная скорость днссипации энергии обусловлена главным обрааом более обширной областью безвихревого течения; этот вывод противоположен выводу для течения с пограничным слоем на твердой границе, для которого часть полной диссвпации в области безвихревого течения мала.
Ниже мы остановимся на двух примерах применения этих результатов и течению жидкости с большими числами Рейнольдса при наличии свободной поверхности. Сопротивление сферического газового нуаырька кри его установшпиемея всплывании в жидкости В $ 4.9 было исследовано свободное всплывание в жидкости газового пузырька, имеющего настолько малый диаметр, что силы вязкости становятся основными. Число Рейнольдса такого течения быстро возрастает с увеличением раамера пузырька, и было бы интересно рассмотреть течение при таких числах Рейнольдса (определенных по скорости всплывания и диаметру пузырька), при которых применимо приближение пограничного слоя. Мы будем считать, однако, пузырек настолько малым, что под действием поверхностного натяжения он остается приближенно сферическиль Иаменения давления в жидкости на границе пуаырька, обу- 457 Гл.
б. Течение при большом числе Резнольдсл; эффекты зязкости словленные его движением, стремятся изменить форму пузырька, однако наблюдения показывают, что зто изменение невелико для пузырьков радиуса вплоть до ж 0,05 см (или объема вплоть до 6 10 з смз), движущихся в чистой воде; для пузырьков, имеющих размеры, близкие к указанному предельному значению, число Рейнольдса, несомненно, намного превышает единицу. Кроме того, на основе проведенного выше обсуждения мы предположим, что пограничный слой не отрывается от поверхности пуаырька. Наблюдения течения вблизи поднимающихся пуаырьков подходящих размеров подтвердили, что фактически при любой скорости движения в чистой жидкости обратного течения не возникает (Хартунян и Сирс (1957)). (Известно, что пузырьки объемом более т 5 смз принимают в воде форму, подобную сферическому сегменту, и на остром краю получающейся сферической чашечки пограничный слой отрывается (см.
$6.11); такие пузырьки мы адесь не будем рассматривать.) Наконец, мы предположим, что движение газа внутри пузырька не оказывает влияния на движение жидкости. В принятых предположениях завихренность должна локализоваться в тонком пограничном слое ва поверхности пузырька и в узком осесимметричном следе, а безвихревое течение вне пограничного слоя и следа приближенно будет таким же, как если бы жидкость была невязкой. Таким образом, для сферического пузырька радиуса а, движущегося со скоростью У в покоящейся на бесконечности жидкости, течение вне пограничного слоя и следа приближенно задается (см.
(2.9.26)) потенциалом скорости б з созе <р = — алев 2 гз (5.14.7) где дз = (ду/дхс)з, а последний из интегралов берется по поверхности А, ограничивающей объем )г (нормаль п направлена наружу из объема г). Итак, сопротивление газового пуаырька определяет- 458 где г и 6 — сферические координаты с началом отсчета в мгновенном положении центра сферы.
Чтобы оценить сопротивление Р пузырька при установившемся движении, нет необходимости анализировать течение в пограничном слое, поскольку скорость, с которой силы плавучести пузырька совершают работу, а именно величина Иу, должна быть равна полной скорости диссипации энергии в жидкости, и, таким образом, мы видим, что сопротивлением можно приближенно определить, акая только безвихревое течение. Общее выражение для скорости диссипации энергии в несжимаемой жидкости (4.1.5) в случае безвихревого течения в объеме )г жидкости принимает вид Ф= 2)ь ( т — тсЮ=р ( — чс()г=(з ~ и ~Г~7зЫА, (5Л4,8) д дл;дзу дзсдз! з дзсдзс 5.14.
Течения са свободными поверхностями ся соотношением УР= — )4) ( — ) 2яа з!В9(19; о вычисление этого интеграла для рассматриваемого течения (5.14.7) дает (5.14.9) Р = 12п)эа()'. Отсюда получаем коэффициент сопротивления 1) СР= 91 З вЂ” ~ » (5.14ЛО) где Ке = 2а(г'р/ч. Коэффициент сопротивления твердого тела при безотрывном обтекании пропорционален Ве и' (9 5.11), а для «тела» со свободной поверхностью он имеет меньший порядок, поскольку свободная поверхность замедляет жидкость в пограничном слое не так сильно, как твердая. Если учесть диссипацию энергии в пограничном слое на поверхности пузырька и в следе, то можно получить более точную оценку величины сопротивления пуаырька (Мур (1963))1 (5Л4Л1) кеты Теперь можно определить предельную скорость всплывания )г пузырька, движущегося только под действием силы тяжести; для этого надо приравнять силу сопротивления силе плавучести пузырька объема 4/эяаэ. С использованием первого приближения для силы сопротивления (5.14.9) имеем 1 Газ 9 ч (5Л4Л2) ° ) Чтобы получать потенциальное обтекание тела вязкой жидкостьв, следует предположить, что она имеет «антязную» нодвнжнув поверхность, поддерживающую попвщвавьнас течение, которое в пропжном случае превратилась бй в вихревое (это опкюатся как к твердому телу, так а к пузырю или каверне).
Полная сила, действующая нз сберг в потенциальном потоке вязкой жадкасти, определяется интегралом (4.7.5) с учетом сохранения в таком потоке константы Бернулли (см. прям. ред. на стр. 208). Как показывает простой расчет, ага сила слэгаягся вз силы сопротивления, результирующей нормальных к сФере сйл вязкости, Р~ = бякеп, и. как это ви удиввтелыю, аз силы тяга, получвощейся за счет касательных снл на подвижной обтекаемой поверхности. ти дзе сапы уразвовмвввавтся. а полная сила, действующая ва тело в потенциальном бесцвркуляционном) патоке вязкой жидкости, в точности раааа нулю.
(этот результат, в определенном смысле обобщающий парадокс Даламбера почта очевиден танже вз рзссматреная тенаора напряженна вэ бесконечно удэлевноб обере и применения теоремы о колячестве дввженая к об»ему жидкости, огранвченному этой соерой и поверхностью тела.) В то же врекя, как нетрудно проверить, днссипзпвя мехаивческой энерган (5.!4.8), производящая в атом павке, равна работе за едввяцу времеви касателыпв! сил ва гранвпе жидкости. Тажве образам, пргппггое условна УР Ф, которое, следуя В. Г. Леввчу (1980). исйольаует автор, в потенциальном павке ие емполвяегся.
(Меана указать н другие праткаоречащае примеры.) Вопрос о аааможнастн приблпжевного определения силы сопротивления пузыря в реальном потоке как «диссвпатввной» силы в иепольаовапия при агом модели потенциального патока для получеаия такам способам лрнбли. женвых Еармул (5Д4.9) в (5.14.11) требует болев подробно»а изучения з саван с известной проблемой асимптотнческого поведепвя ржвения уравнений Навье-стокса.— Пркм. р«0. 459 Гл. 5. Течение пря большом числе Рейиольдоа; аффекты вяакоетя -0,5 -1,0 10 Г,5 40 ДО 45 11 ве Р и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
