Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Надлежащее понимание теории безвихревого течения и оценка ее многочисленных приложений необходимы во всех разделах гидродинамики. Глава 7 посвящена более общей ситуации, в которой существенную роль играет либо локализованная, либо распределенная завихренность. Примеры полей течения без твердых границ приводятся в обеих главах, поскольку такие поля дают широкий простор для приложения теории невязкой жидкости. Рассматриваются также безвихревые течения со свободной поверхностью, хотя вопрос о волнах на тяжелой жидкости, требующий отдельного подхода, в книге опущен. Теория подъемной силы, создаваемой тонкими телами, движущимися в жидкости, — одна из научных основ аэронавтики,— излагается в $ 6.7 и 7.8; в них применение теории невязкой жидкости становится возможным благодаря использованию простых правил, основанных на соображениях из гл.
5 относительно возникновения и последующего влияния отрыва линий тока на поверхности тела. Специфические динамические свойства жидкости при ее вращении как целого описаны в гл. 7 наряду с некоторыми проявлениями их в геофизике. Наконец, вспомним уравнения, которые описывают движение повязкой жидкости и на которых будет основан материал, излагаемыйвгл. 6и7. Мы будем цо-прежнему считать жидкость несясимаемой (условия справедливости этого предположения были рассмотрены ч в ряде случаев тем не менее будет предполвгвться в квчестве чести условяй пре Формулировке зздвчи сужествоввнне опреяеленнмх свойств течения, происхождение когормх связено с вляяяием вязкостя.
Твк, например, окажется Келесооерззнмм нредположитгь что «незязкзя» жидкость после прохождения через отверстие в тонкой плесенно вмгекеет из него в виде коидентрироввнной струи с вихревой пелеяой нз ее грвннне. 473 Гя. б. Теория беевяхревого течения я ее приложения в з 3.6), так что уравнение сохранения массы имеет вид '(г и = О, (6.1.1) и будем предполагать, что плотность р одинакова всюду в жидкости. Будем считать, что массовая сила, действующая на жидкость, есть сила тяжести, так что г =- и.
В некоторых полях течений жидкость будет иметь свободную поверхность, и в таких течениях сила тяжести влияет на распределение скорости. Для невязкой жидкости касательные напряжения всюду в нгидкости равны нулю, тензор напряжений сводится к — рбсь а уравнение движения записывается в виде — = в — — '(гр. гГо 1 И р (6 1.2) Если задана величина р, то две переменные н и р находятся как функции х и азиз уравнений (6.1.1) и (6.1.2). 6.2.
Общие свойства безвихревого течения Многие общие кинематические свойства безвихревого течения несжимаемой жидкости уже были указаны в з 2.7 — 2.10 при обсуждении соленоидальной и безвихревой части произвольного распределения скорости. Результаты, изложенные ния'е, дополняют это обсуждение. Если поле скоростей н беавнхревое, то, как объяснялось в $2.7, можно ввести потенциал скорости «р, а именно (6.2.1) и = ~7~р: тогда из уравнения сохранения массы для несжимаемой жидкости следует. что тге<р = О. (6.2.2) Хотя уравнение движения (6.1.2) нелинейно относительно и, распределение скоростей безвихревого потока полностью определяется линейным уравнением, соответствующим дополнительному условию (6.2.1) и уравнению сохранения массы. Эта линейность представляет собой характерное свойство безвихревого течения, которое позволяет применить многие мощные математические методы.
Нелинейное уравнение двин'ения пу'кно только для расчета давления, после того как будет определено распределение скорости; как мы увидим, уравнение движения можно проинтегрировать и найти явное выражение для давления. Поскольку уравнение (6.2.2) линейно, то путем наложения различных решений для потенциала скорости гр можно построить новое решение.
Соответствующее распределение скоростей также находится путем суперпозиции, однако этого нельзя сделать для распределения давлений из-за нелинейной зависимости р от н. 474 блк Общие свойства беавихревого течеиил В частности, можно построить новые безвихревые поля путем наложения потенциалов скорости, связанных (см. $ 2.5 и 2.6) с некоторыми сингулярными распределенкякеи дивергенцин Л и завихренности м (такими, что Л и ю равны нулю всюду, кроме одной точки, линии нлн поверхности, где они имеют бесконечную величину). Как было установлено, в случае точечной или линейной особенностей в распределении Л н ю «нндуцированная» скорость в точке х неограниченно возрастает при приближении х к данной точке или линии; очевидно, что это справедливо и для полной величины индуцированной скорости, связанной с несколькими наложенными сингулярными распределениями Л и ю.
Так, например, распределение скорости безвнхревого течения, связанное с точечным источником интенсивности т' в точке х' и точечным источником интенсивности т" в точке х", вычисляется по формуле (сы. (2.5. 2)) м' х — х', ~л" х — х" п(х) = —,,' + — —.. 4л Ка 4л аы где г'е = (х — х')' и а"е = (х — х")-; основной вклад в это поле скоростей вносит источник интенсивности лс', когда х близка к х', и источник интенсивности т", когда х близка к х".
Точечные или линейные особенности в распределениях Л н ю, рассмотренные в з 2.5 и 2.6, приводят к особенности потенциала скорости ~р на границе области соленоидального безвихревого течения. Например, если точечный источник интенсивности т расположен в точке х', то область соленоидального безвихревого течения не включает эту точку и ее нужно рассматривать окруженной замкнутой поверхностью, объемный поток т через которую известен; поскольку же скорость вблизи х' определяется главным образом индуцированной скоростью от источника в точке х', то граничное условие состоит в том, что во всех точках х на замкнутой поверхности бесконечно малых линейных размеров, окружающей точку х', должно быть м' ч Рй' к — — '.
вли 4л аа 4ла ' где е = х — х'. Аналогично для диполя источников интенсивности )а соответствующее условие на границе области соленондального безвихревого течения (см. (2.5.3)) р и ф 4лм выполняется во всех точках х замкнутой поверхности бесконечно малых линейных размеров, окружающей диполь в точке х'. Согласно известному общему свойству дифференциального уравнения (6.2.2), потенциал скорости <р и все его производные по х конечны и непрерывны во всех внутрекни точках области соленоидального безвихревого течения.
475 Гл. а. Теория безвядревого теченян н ее приложения Условия, при которых существует не более одного решения для скорости )у)р, были указаны в $2.7 — 2 20. Наиболее важный из полученных результатов состоит в том, что в односвязной области течения, которая может простираться в бесконечность во всех направлениях, если жидкость находится там в состоянии покоя, решение 27(р определяется единственным образом при заданной величине нормальной компоненты скорости и во всех точках границы.
Единственность решения для односвязной области обеспечивается также, если задана величина (р во всех точках границы, а когда жидкость простирается до бесконечности и находится там в состоянии покоя, то еще должен быть известен ее полный объемный поток через внутреннюю гранбщу. Если область соленоидального безвихревого течения не односвязна, то к упомянутым условиям единственности решения нужно добавить условия нахождения циклических постоянных течения.
гхнтегрирование уравнения движения Векторное тождество — ()) (и.и) = и Чи -)- и Х е) 2 позволяет записать уравнение (6,1.2) в форме дя (бе р — — и Х е) = — [у ~ — + — — й х), д( 2 р где дв = и и. когда и = (7(р и ю = О, из уравнения (6.2.3) следует 'у Ь+ 2 + — й х) =О. (6.2.4) Из выражения (6.2.4) видно, что величина в скобках должна быть функцией только одного 2; обозначим ее, например, Р (().
Вид этой неизвестной функции не имеет значения, так как можно определить такой новый потенциал скорости (р', что т'= р — ~Р(2) 7(, Чд'=Чр. и тем самым избавиться от функции Р ((), не нарушая распределения скоростей. Обычно произвольную функцию Р (() не учитывают и пишут интеграл уравнения движения — + — -'- — — й х=сопз( д( 2 ' р (6,2.5) справедливый во всей жидкости 2). ° ) интегРал (8.2.5) лногдв неемвлют янтегрвлом ножн — лагранжа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
