Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Векторное уравнение (6.3.3) в проекции на направление, параллельное стенке, принимает внд РОг ( — Ь з)в а + Ь! — Ьг) = О. (6.3.15) Из закона сохранения массы Ь,+Ь (6.3.16) и из (6.3.15) получаем Ь,= — д(1+з1ва), Ьг= — Ь(1 — згпа). $ (6.3.17) Крогге того, можно получить некоторую информацию о распределении давления на стенке вблизи точки О. Уравнение (6.3.3) в проекции на направление нормали к стенке принимает вид рОгЬ сов а = ~ (р — ре) ЙАн = Р (6.3.18) где интеграл берется по поверхности стенки, и Р— величина нормальной силы давления струи на стенку (на единицу толщины по нормали к плоскости чертежа). Далее, рассмотрение момента количества движения относительно точки О, поступающего в контрольную поверхность и выходящего из нее, и сил, действующих на жидкость внутри контрольной поверхности, показывает, что центр давления С (т.
е. точка, в которой равнодействующая нормальная сила Р, действующая на стенку, имеет момент относительно точки О, равный моменту всех сил давления на стенку) есть точка, расположенная в направлении против часовой стрелки от нормали и на расстоянии с от точки О, определяемом уравнением сР— — рО Ь, — — рОгЬг. Следовательно, с =- — Ь Сйа.
1 2 (6.3.19) 490 Таким образом, если бы твердая стенка была шарнирно закреплена в точке О, то она стремилась бы установиться под прямым углом по отношению к струе. Этот последний вывод качественно справедлив также в случае твердой плоской пластины конечной ширины, шарнирно заире- пленной по одной из линий, делящей ее пополам, и помещенной в поток болыпой ширины; аналогично этому пластины прямоугольной формы падают через бесконечную жидкость таким образом, что они поворачиваются своей широкой стороной в направлении падения. Объяснение этих фактов следует искать в расположении на стенке или на пластине критической точки, в которой С.З.
Приложения теоремы Бернулли и теореыы о иолнчсстве движения 'Хт,'гчт„ ж ап Р не. 5.5.5. Коничесннй кумулятивный заряд. Справа снорсств иаображеим в асях, движущихся вместе с вершиной конуса. 1 — взрывчатое вещество; у — полый металлнчесний конус, давление максимально.
По мере того как угол а возрастает от нуля, критическая точка удаляется от центральной точки О в сторону точки В (рис. 6.3.4) по двум причинам. Первая состоит в том, что в набегающей струе больше жидкости движется в сторону точки А, так что разделяющая линия тока в струе (которая позже проходит через критическую точку) отклоняется от оси струи в сторону точки В. Вторая причина заключается в том, что разделяющая линия тока должна подходить к критической точке под прямым углом к пластине (поскольку любая линия тока, проходящая через критическую точку, в безвихревом течении должна быть параллельна главной оси локального тензора скоростей деформации, а линия тока на поверхности пластины является одной из главных осей) и для этого линия тока по мере своего приближения к пластине дол>нка поворачиваться в сторону точки В. Специальный случай осесимметричной струи, для которой уравнение количества движения как раз дает наибольшую часть требуемой информации, возникает в теории «кумулятивных зарядоввх) .
Типичный кумулятивный заряд состоит иа полого металлического конуса с открытым основанием и взрывчаткой, прилегающей к внешней части конуса, как изображено на рис. 6.3.5, а. Когда происходит взрыв (более или менее одновременно во всем взрывчатом веществе), металлическая стенка конуса вынуждена двигаться внутрь его под влиянием большого давления; при этом под действием очень больших напряжений она становится пластичной и способной течь подобно жидкости. Каждая часть стенки конуса движется сначала в направлении внутренней нормали, так что металлический слой продолжает сохранять форму конуса (хотя и с увеличивающейся толщиной стенки), за исключением области и такие заряды разработаны во время второй мировой войны для нснользовзния их в противотанковом и Фугасном оружии, предназначенном для пробивания толстой брони.
[иэлагаемая ниже теория была вйервые развита м. А. лаврентьевым — Рее.1 С.З. Приложения теоремы Бернулли и теоремы о колячаствс движения 17 1 — Ф вЂ” х 1 1 1 х 1 Р и с. б.л.б. Тсчсиис с кслснс трубы, вращающаяся относительно оси с, что константа Бернулли Н, видоизмененная с учетом действия центробежной силы, тем не менее постоянна во всей области установившегося течения. Когда все величины, характеризующие поле течения, отнесены к вращающейся с постоянной угловой скоростью 12 системе координат, уравнение движения (6.2.3) с включенной в него массовой силой инерции (3.2.10) записывается в форме ди дс — — и х (еу+ 2И) = — ~г ~ — дт+ — а х — — (И х х) у 11 р 1 (2 р 2 Следовательно, если течение по отношению к этой системе координат установившееся и имеет завихренность — 21л (соответствующую нулевой взвихренности абсолютного течения), то величина Н= — + — — й х — — (1сусх) чт р 1 а 2 р 2 (6.3.21) 493 постоянна всюду в поле течения.
Таким образом, получается простое явное выражение для давления через скорость, и оно может быть применено во многих других задачах. В качестве наглядного примера рассмотрим систеыу труб, изображенную на рис. 6.3.6, и. Жидкость выталкивается по вертикальной трубе и разделяется на два потока в соединенной с ней горизонтальной трубе, которая вращается относительно вертикальной оси х с постоянной угловой скоростью 12. Предположим, что скорость постоянна в каждом поперечном сечении вертикальной трубы, так что абсолютное течение везде безвихревое. По отношеншо к осям х и у, которые вращаются вместе с горизонтальной трубой, завихренность равна — 21с и параллельна оси л, так что когда все скорости в горизонтальной трубе на некотором расстоянии от места соединения труб становятся одного направления, их компоненты вдоль оси х равны Гя.
6. Теория беавихревого течеыия и ее приложеыия отсюда заключаем, что жидкость движется быстрее на передней по вращению стороне трубы. Тогда, согласно теореме Бернулли в приведенной выше форме, для давления во вращающейся трубе имеем ~ =Н вЂ” — (У-,'-2йу)а+ — Яа(ха+уз), 2 ' 2 (6.3.22) причем влияние силы тяжести не учитывается. Как и ожидалось интуитивно, давление больше на той стороне, вдоль которой жидкость движется медленнее, и к трубе нужно приложить крутящий момент, чтобы поддерживать ее вращение и сообщать потоку жидкости момент количества движения относительно оси з. Если вращающаяся труба имеет круглое сечение радиуса а, то крутящий момент, который должен быть приложен к прямому участку трубы длиной 22, чтобы сохранить ее вращение, легко определяется из выражения (6.3.22) и равен 2 ~ 2прНИавх Ых .—.
2прЮЯаЧа, о Оба конца вращающейся трубы могут быть открыты в атмосферу, где давление равно ре. Если длина трубы велика по сравнению с ее радиусом, то средняя скорость, с которой жидкость выбрасывается из двух ее открытых концов в направлении оси вращающейся трубы, определяется формулой 2 (Н ре ) + г)в(в (6.3.23) 494 где величину Н вЂ” полную знергию на единицу массы воды, подаваемой по вертикальной трубе — можно считать заданной. Даже если жидкость подается из резервуара, где ее скорость очень мала, а давление меньше ре (не считая перепада давлений, обусловленного силой тяжести), так что Н - ребр, жидкость еще можно откачивать из резервуара с помощью такого устройства.
В етом состоит принцип действия центробежного насоса. Если участки вращающейся трубы вблизи двух открытых ее концов слегка отклонены от оси вращения, то реакция вытекающих струй может быть использована, чтобы заставить трубу вращаться подобно водяной форсунке или «огненному колесу» фейерверка. В простом случае, изображенном на рис. 6.3.6, б, две струи вытекают под углом 6 к оси х со средней скоростью У (относительно вращающихся осей), и момент силы относительно оси вращения, действующей на колено трубы, приближенно равен величине ЫУз(а 6, умноженной на массу жидкости 2праЧУ, вытекающей из трубы в одну секунду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
